III.1. Основные определения теории дифференциальных уравнений

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = f(x) и её про­изводные y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾. Символически дифференциальное уравнение можно за­писать в виде:

F(x, y, y^/, y^//, …, y⁽ⁿ⁾) = 0

или

f dy cfy dⁿy

0.

Определение. Если независимая переменная одна (т.е. искомая функция есть функция одной переменной), то дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Если переменных несколько (т.е. искомая функция есть функ­ция многих переменных), то дифференциальное уравнение называют уравнени­ем в частных производных.

Определение. Порядком дифференциального уравнения называется поря­док наивысшей производной, входящей в уравнение.

Определение. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), которая при подстановке в уравнение обра­щает его в тождество.

Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

58 Определение. Общим решением дифференциального уравнения п-го по­рядка называется функция^ = ср(х, С\, С₂, …, С_п), зависящая от п произвольных постоянных С\, Сг, …,С„и такая, что:

а) она удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных С\, …, С„;

б) при заданных начальных условиях у(х₀) = у₀, У(х₀) = у\, …, У" ^Х\^хо) = у_п-\постоянные С_иС₂, …,С„ можно подобрать так, что функцияу = <р(х,С_и…, С„)будет удовлетворять этим условиям (предполагая, что значениях₀,уо,у\,…,у„-\принадлежат к области, где выполняются условия существования решения).

Определение. Соотношение вида Ф(х, у, С_ь С₂, …, С„) = 0, неявно опре­деляющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Определение. Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С\, Сг, …, С„, называется частным решени­ем.

Определение. Решить (проинтегрировать) дифференциальное уравнение п-го порядка значит:

• найти его общее решение, если начальные условия не заданы,или

• найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет за­данным начальным условиям, если таковые имеются.

Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение диффе­ренциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, называется задачей Коши.

59 Замечание. Из определений для дифференциального уравнения п-го по­рядка следуют основные определения для дифференциальных уравнений пер­вого порядка.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка F(x, у, у) = 0 называется функция у = (р(х, С), которая зависит от одной произвольной постоянной С и удовлетворяет следующим условиям: а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значе­нии постоянной С; б) каково бы ни было начальное условие у(х₀) = у₀ можно найти такое значение С = С₀, что функция у = (р(х, С₀) удовлетворяет данному начальному условию.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция у = <р(х, С₀), которая получается из общего решения у = <р(х, С), если в общем решении произвольной постоянной С при­дать определённое значение С = С₀.

Определение. Равенство вида Ф(х, у, С) = 0, неявно задающее общее ре­шение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка, а соотношение Ф(х, у, С₀) = 0, неявно задающее частное решение, на­зывается в этом случае частным интегралом дифференциального уравнения.

Геометрический смысл решения дифференциального уравнения. Общий интеграл Ф(х, у, С) = 0 представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от произвольной постоянной С. Эти кривые называются интегральными кривыми дифференциального уравнения. Частному интегралу Ф(х, у, С₀) = 0 соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую заданную точку плоскости (х₀; .у₀).

60 III.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Ш.2.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися пере­менными называется дифференциальное уравнение вида (где правая часть есть произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от у)

y'=Ax)g(y) (19)

или вида

fi(x)-gi(y)-dx = f₂(xyg₂(y)dy. (20)

Метод решения уравнения с разделяющимися переменными. Для решения уравнения с разделяющимися переменными (19) нужно преобразовать его так, чтобы в одной части уравнения стояло выражение с одной переменной у, а в другой части - с другой переменной х (тогда говорят, что переменные разделе­ны):

y^/ =Ax)g(yl

^У = f(_X) . g(y\

dx

dy = f(x)-g(y)-dx,

^ = f(x)-dx.

g(y)

Полученное при этом преобразовании уравнение можно рассматривать как равенство двух дифференциалов. Проинтегрировав левую часть уравнения по у, а правую по х, получаем соотношение связывающее решение у, независи­мую переменную х и произвольную постоянную С, т.е. получаем общий инте­грал исходного уравнения (19):

f^= \f(x)ax + C. ^J g(y) ^J

61 Дифференциальное уравнение вида (20) решается аналогичным образом

путем разделения переменных.

ПРИМЕР. Решить дифференциальное уравнение

3 + y²dx-ydy = x²ydy.

РЕШЕНИЕ. Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, так как с помощью преобра­зований его можно привести к виду (2):

3 + у²ск - ydy = x²ydy,

3 + у²ск = x²ydy + ydy,

yl3 + y²dx = y(x² +1)dy.

Разделим переменные в преобразованном уравнении и, интегрируя, полу­чим общее решение:

1 dx= . ^У dy,

*²+1 д37²

_f dx г ydy

= + с

^JX2+1 ^J 3 + у2

d(—) 2

3 + у²

arctgx = J , ² + С,

1

arete л: = - \(у² + 3) ² flf(y² + 3) + С,

2

1

1 (у² + 3)² ^

arete л: = - • ^ + С,

⁶ 2 1

2 arete л: = у/у² +3 + С.

ОТВЕТ: Общее решение arete x = д//+3 + С.

62 Ш.2.2. ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Определение. Функция Дх; у) называется однородной функцией /и-го по­рядка относительно переменных х и у, если при любом t справедливо равенство

J{tx; ty) = t ^mJ{x;у).

Определение. Однородным дифференциальным уравнением первого по­рядка называется дифференциальное уравнение вида (где правая часть есть функция, зависящая от отношения у к х)

_{У = /(z)}

(21)

х

или вида (где F(x; у) и G(x; у) - однородные функции одного и того же порядка)

F(x; y)dx + G(x; y)dy = О. (22)

Метод решения однородного уравнения. Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены

y = t-x, (23)

или

у

(24)

f ZZ

X

где t = t(x) некоторая неизвестная функция от переменной х. В этом случае у' = t'x + t. Подставляя это выражение производной в урав­нение (21) с учетом замены (23), получим:

t'x + t = ДО, t'x = ДО -1,

t={f(t)-t)--,

х полученное уравнение является дифференциальным уравнением с разде­ляющимися переменными. Решая его, определяем функцию t(x), а затем, воз-

63 вращаясь к переменной у = t ■ х, получаем искомое решение однородного урав­нения.

/ ^ху~ у²

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения У = ₂_ .

РЕШЕНИЕ. Данное уравнение является однородным, так как вынося х² в числителе и знаменателе правой части исходного уравнения, получаем диффе­ренциальное уравнение вида (21):

/ ху ~У²

У

х²-2ху

у

X

X

2

У У

уХ X j

1_2у^

у

у

2

/ X \Х

у

yXj

У ⁼ —

1-2-

Замена (5) y = t · x приводит к уравнению с разделяющимися переменны-

ми

t/ -x + t

t-t

1-2-t

t/ -X

t-t

1-2-t

t,

t/ -X

t

t-t -t + 2-t

t

1-2-t 1

1-2-t x

t

1

dt

dx 1-2-t x

64 Разделяем переменные, затем интегрируем

(\-2-t)dt dx

2

t

x

-1

-1

Г

dx

1 2

dt=\— + C,

t)

^J x

2In * =ln x -In

С

1

In f² = In

t

ln^2+- = -ln

t

X

С

X

С

1

\nt² +\ne^l =ln

C_ x

In

1

t-e^l

In

C x

1

t² -е^г

С

x

Возвращаясь к переменной у по формуле (24), приходим к общему реше-

нию

С_ х

у

х²

2 х

•е^у =

X

•е^у =

С_ х

X

2 v

у -е^у = С • х.

X

2 ~у

ОТВЕТ: у -е^у = С • х.

65 Ш.2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Определение. Линейным уравнением первого порядка называется уравне­ние, которое является линейным относительно неизвестной функции и её про­изводной. Оно имеет вид

y/ + p{x)y = q{x\ (25)

где р(х) и q(x) - известные функции независимой переменной х.

Метод решения линейного уравнения первого порядка. Решение уравне­ния (25) ищется в виде произведения двух функций от переменной х:

y = u{x)v{x). (26)

На одну из этих функций можно наложить некоторые условия, тогда другая будет определяться на основании уравнения (25). Подставим у = и v в уравнение (25) и преобразуем:

{uvi + p{x)uv = q{x),{и)'-v + u-{v) + p{x)uv = q(x),v{{uj'+ p{x)u) + u{v) = q{x). (27)

Выберем функцию и = u{x) такой, чтобы выражение в фигурных скобках в (27) обратилось в ноль, т.е. потребуем выполнение условия

(и)^, + р(х)и = 0. (28)

При выполнении этого условия уравнение (27) примет вид:

u{vi= q{x). (29)

Таким образом, получаем систему двух дифференциальных уравнений (28) и (29) первого порядка с разделяющимися переменными:

\и'+р(х)-и = 0,

i i (³⁰)

[ u-v =q(x).

66

Решаем сначала уравнение (28), т.е. первое уравнение системы (30), опре­деляя функцию и = и(х), при этом полагая свободную постоянную равной нулю:

(и)^,+р(х)и = 0, и¹ =-р(_х)-и,

— = -р(х)-и,

dx

— = -p(x)dx,и

j— = -jp(x)dx,

In и

-jp(x)dx,

-\p{x)dx

U =

Подставляем найденное значение и(х) в уравнение (29), т.е. во второе уравнение системы (30), решаем его и определяем функцию v = v(x):

и • v¹ = q(x),

v'

q(x)

и dv q(x)

p(x)dx

dx e-\

^V_ \p(_X)J_X

dx

dv = q{x) • J^P(x)dxdx,

\dv= \q(x)-e*^P * *dx,

v =

frxyJ^dx + C.

Подставляя найденные функции и и v в формулу (26), окончательно получим общее решение уравнения (25):

у = e~$^P(x)dx • { \q(x) ■ J^P(x)dxdx + С

67

ПРИМЕР. Решить задачу Коши у' = О + I) 3 , у(0) = 1.

х + 1

РЕШЕНИЕ. Полагаем y = uv и подставляем в исходное уравнение:

(wv)'-^^ = (jc + 1) 3 ,

х + 1

2-u-v х + 1

(х + 1)³,

и' -v + u-v'

/

v-u

—} + u-v'= (х + 1) 3 .

{ х + 1

Требуем выполнения условия – равенства нулю выражения в фигурных скобках, отсюда получаем систему уравнений:

и

2-й

0, (I)

<

х + 1 u-v' = (x + \)\ (II)

Сначала решаем уравнение (I) и определяем функцию и:

и

2-й

ZZ

х + 1

/ 2-йи = ,

х + 1

du 2-й

О,

dx (х + 1)

du 2dx

и

х + 1

и и

и

^{J*=2j A}

In In

х + 1 21п|х + 1

ln(x + l)\

и = (х + \у

68 Далее решаем уравнение (II), подставляя найденную функцию и, и опре­деляем функцию v.

u-v'=(x + l)\

(x + l)²-v'=(x + l)\ v' = х +1,

JC + 1,

dv = (x + \)dx,

\dv = \(x + l)dx, (x +l)²

V

2

+ C.

Перемножая найденные функции u и v, окончательно получим общее ре­шение исходного уравнения

y = (x + l)²

((x + 1)²

2

+ C

Подставляем начальное условие у(0) = 1 в полученное общее решение и определяем С:

1 = (0 + 1)²

f(0 + l)²

2

+ c

1 = - + С, С = -, С = 0,5.2 2

Подставляем найденное значение произвольной постоянной С в общее

решение и находим решение задачи Коши:

y = (x ₊ lf-{0,5-(х ₊ lf₊04 у = 0,5-(х + l)²((х + l)²+l).

ОТВЕТ: у = 0,5 • (х +1)2 ((х +1)2 +1).

69 Ш.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ш.3.1. ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка называют уравнение вида

y^,, + a_гy^/ + a₀y = 0, (31)

где a_иa₀ - действительные числа.

Метод решения линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка. Для нахождения решения уравнения (31) составляется квадратное алгебраическое уравнение

λ² + a_уλ + a₀ = 0,

которое называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (31). Корни характеристического уравнения определяются извест­ными формулами (через дискриминант D = a_г² - 4 a₀)

-а₁ + Ja₁² -4• а₀ -а₁ - Ja₁² -4-a₀

1 2 2 2

Общее решение уо уравнения (31) строится в зависимости от корней ха­рактеристического уравнения следующим образом:

если к_х и к₂ действительные и неравные между собой числа, т.е. λ ≠ λ₂, то

у₀=С_ге^Кх + С₂-е^Х2Х; (32)

если λ_г и λ₂ действительные и равные между собой числа, т.е. λ = λ , то

_У0=С_ге^Кх + С₂-х-е^Кх,

или

y₀ = е^к'^х • (С, + С₂ • х);

(33)

70

если Х\ и А₂ комплексные числа, т.е. Х\_>2 = а ± |3-/, где / — л/— 1, то

у₀ =е^а'^х -(С -cos(3x + С₂ sin|3х).| (34)

ПРИМЕРЫ. Найти общее решение следующих уравнений:

1) у^/ + у - 2у = 0; 2) у⁷ + 2у + 5у = 0; 3) у - 8у + \6у = 0.

РЕШЕНИЕ. Все приведенные выше уравнения являются линейными од­нородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициента­ми, потому решение будем искать с помощью соответствующего характеристи­ческого уравнения.

1) Составляем для дифференциального уравнения / + у/ - 2у = 0 характе­ристическое уравнение и определяем его корни

X² + X - 2 = 0,

, -l + Vl + 4-2 . -l-Vl + 4-2

Л, = = 1, An, = = —2.

¹ 2 ² 2

Найденные корни действительные и неравные между собой числа, следо­вательно, применяя формулу (32), получаем общее решение исходного уравне­ния

у₀=С₁-е^х+С₂-е-^гх.

2) Составляем для дифференциального уравнения / + 2у/ + 5у = 0 харак­теристическое уравнение и решаем его

X² + 21 + 5 = 0,

. -2 + ^4-4-5 -2 + V^:46 -2 + 4-г _л „ .

А, = = = = — 1 + 2 • 1,

¹ 2 2 2

-2 - л/4 - 4 • 5 -2->/-16 -2-4-/ , „ .А₉ = = = = — 1 — 2 • 1.

² 2 2 2

Найденные корни Х\ и Х₂ комплексные числа, следовательно, применяя формулу (34), получаем общее решение исходного уравнения

_Уо = е~^х • (С • cos 2х + С₂ • sin 2х).

71 3) Составляем для дифференциального уравнения / - 8j/ + \ву = О харак­теристическое уравнение и решаем его

λ² - 8λ + 16 = 0,

_Л 8 + ^64-4-16 _Л 8-V64-4-16

\ = = 4, Х= = 4.

1 2 ₂ 2

Найденные корни действительные и равные между собой числа, следова­тельно, применяя формулу (33), получаем общее решение исходного уравнения

у₀=е^Лх-(С_х+С₂-х).

ОТВЕТ: 1)у₀=С₁-е^х+С₂-е-^2х;

2) _Уо = е~^х • (Q • cos 2х + С₂ • sin 2x);

3)у₀=е⁴*^с-(С₁+С₂-х).

Ш.3.2. НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМ И СО СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами или уравнением с правой ча­стью называют уравнение вида

y^,, + a_ryⁱ + a₀y = f(x\ (35)

где a_ha₀ - действительные числа; а функция/(х) ≠ 0 называется правой частью уравнения.

Метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения (35) у находится в виде суммы

У = УО + У част , (36)

72 где уо - общее решение соответствующего однородного уравнения (31), а

Участ – частное решение неоднородного уравнения (35).

Алгоритм поиска общего решения однородного уравнения у₀ был рас­смотрен в предыдущем пункте III.3.1. Нахождение частного решения неодно­родного уравнения у_чаСт зависит от вида правой части Дх).

В общем случае существует метод вариации произвольной постоянной. Если же правая часть Дх) специального вида, то частное решение для уравне­ний второго порядка можно искать, руководствуясь следующими правилами.

• Если правая часть является произведением многочлена Р_п(х) степени пна показательную функцию (специальная правая часть 1-го типа)

Дх) =Р_п{х)е^а\ (37)

то частное решение ищется в виде

Участ = x^s-(A_nxⁿ + A_n –_rxⁿ -^l + … +А_гх + А₀) ■ е^а\ (38)

где А_п, A_n –i, …, A\, Aq- неизвестные числа, которые определяются мето­дом неопределённых коэффициентов при подстановке (38) в неоднородное уравнение (35);

s = 0, если действительное число а не является корнем характеристиче­ского многочлена (т.е. а≠ λ\иа≠ λ₂);

s = 1, если действительное число а совпадает с одним из различных дей­ствительных корней характеристического многочлена;

s = 2, если действительное число а совпадает с двумя равными действи­тельными корнями характеристического многочлена.

• Если правая часть является произведением показательной функции насумму одного многочлена Р_п(х) степени и, умноженного на косинус, и другогомногочлена Q_m(x) степени т, умноженного на синус (специальная правая часть2-го типа)

Дх) = е^ах\Р_п{х) ■ cosbx + Q_m(x) sinbx], (39)

то частное решение ищется в виде

Участ = X^s- e^ax\Udx) cosbx + Vj^x) sinbx], (40)

73 где N = max{n, m};

U_N(x) =A_N-x^N + A_N –y/^l-^l+ … + A_rx + A₀ ;

Vn(x) = Bvx* + B_N - _rx^N –^l + … + B_rx + B₀ ; Am-, A_N - i, …, Ay Aq, B_n-, B_n – i, …, B\, B₀ - неизвестные числа, которые оп­ределяются методом неопределённых коэффициентов при подстановке (40) в неоднородное уравнение (35); s = 0, если пара комплексных сопряженных чисел а ± b-i не является корнями характеристического многочлена; s = 1, если пара комплексных сопряженных чисел а± bi является корнями характеристического многочлена (т.е. а = α, Ъ = β).

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения

у^,, + 2у^, + у = (\6х² + 48х) -е^3х.

РЕШЕНИЕ. Сначала находим у₀ - решение соответствующего однородно­го уравнения. Составляем характеристическое уравнение и определяем его кор­ни:

λ² + 2λ + 1 = 0,

(λ + 1)² = 0,

λ2 = - 1.

Найденные корни действительные и равные между собой числа, приме­няя формулу (33), получаем решение однородного уравнения

y₀ = e-^x{d + C_rx).

Далее находим частное решение неоднородного исходного уравнения у_част . Правая часть fix) = (\6х² + 48х) е^3х является специальной правой частью 1-го типа вида (37), где Р_п{х) = \вх² + 48х, п = 2, а = 3. Следовательно, частное решение ищем по формуле (38), учитывая, что а = 3 не является корнем харак­теристического уравнения, а значит s = 0:

Участ = х⁰-(А_гх² +Аух + А₀)-е^3х,

Участ = (А_гх² +Аух + А₀)-е^3х.

74 Чтобы определить А₂, A_h A₀ , необходимо подставить у_част в исходное

уравнение. Для этого находим первую и вторую производную частного реше­ния:

у^,_част = [(А₂-х² + Аух + Ао) ■ е^3х]< =

= (2А₂-х+А_х) ■ е^3х + (А_гх² +Аух+А₀) ■ е^3х-3 =

= е^3х • (ЗА₂-х² + (2А₂ + ЗА_г)х + А_х+ ЗА₀),

т.е. У _част = е^3х (ЗА₂-х² + (2А₂ + ЗА_х)х + А_х+ ЗА₀);

у"_част = [е^3х • (ЗА₂-х² + (2А₂ + ЗА_г)х + А₁+ ЗА₀)]' =

= Зе^3х- (ЗА₂-х² + (2А₂ + ЗА_х)х + А_х+ ЗА₀) + е^3х- (6А₂-х + 2А₂ + 3^)=

= е^3х • (9,4₂х² + (12А₂ + 9^i)-jc + 2А₂ + 6^+ 9Л),

т.е. / _част = е^3х(9А₂х² + (\2А₂ + 9А_х)х + 2,4₂ + 6А_г+ 9А₀).

Подставляем у_част и производные у¹ _чаотъ, / _част в исходное уравнение, и преобразовываем, предварительно сократив на е^3х:

у"_част + 2у'_част + у_част = (\6х² + 48х) • е^3х-е^3х (9А₂х² + (\2А₂ + 9А₁)х + 2А₂ + 6^+ 9Л₀) +

+ 2-е^3х-(ЗА₂-х² + (2у4₂ + ЗА_х)х + А_х+ ЗА₀) + + е^3х (А₂-х² +А_гх +А₀) = (\6х² + 48х) • е^3х;

х²{9А₂ + 6А₂ + А₂) +х{\2А₂ + 9А₁ + 4А₂ + 6А_г + А_х) +

+ (2А₂ + 6А_г + 9у4о + 2А_г + 6Л₀ + Л) = 16х² + 48х;

х²(16у4₂) + jc-(16^₂ + 16^0 + (2А₂ + &4i + 16Л) = 16х² + 48х.

По методу неопределенных коэффициентов приравниваем коэффициен­ты, стоящие при одинаковых степенях переменных х в левой и правой частях последнего уравнения:

16^= 16, 16^+ 16^1 = 48, 2А₂ + М₁ + 16А₀ = 0.

75 Решаем систему полученных линейных уравнений и определяем неиз­вестные А₀ , 4 , А₂:

\ \ \

164=16, А₂=1, А₂=1,

9

у4_п ⁼ —

8

\ 164+16^=48, =>J A₂+A_l=3, ^\ А_х=2,

4+44+84 =0;

24+84+164 =°;

Таким образом, получаем частное решение в виде

у_част = (х² + х-р-е^3х.

Окончательно, по формуле (36) выписываем общее решение исходного уравнения с помощью найденных у₀ и у_чаСт

у = e–^x{d + С₂х) + е^3х{х² + х- -). ОТВЕТ: у = e–^xid + С₂х) + е^3х-(х² + х- -).

ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения

y^,, + 2y^, + 5y=\0cosx. РЕШЕНИЕ. Данное уравнение является неоднородным линейным урав­нением с постоянными коэффициентами со специальной правой частью вида (39). Решение соответствующего однородного уравнения у₀ было найдено в примере 2 предыдущего пункта Ш.3.1:

у₀ = e - ^x (C_rcos2x + C₂sin2x).

При этом корнями характеристического уравнения является пара ком­плексных сопряженных чисел λ\ = -1 + 2 / и λ₂ = -1 - 2 / (в этом случае α = -1, β = 2).

Правая часть исходного неоднородного уравнения имеет вид, соответст­вующий формуле (39) при а = 0 и Ъ = 1:

fx) = е^ах[Р₀(х) • cosbx + Q₀(x) sinbx] = Р₀(х) cosx = 10 cosx.

76 Частное решение у_чаСт ищем по формуле (40), учитывая, что пара ком­плексных сопряженных чисел а ± Ъ i^: = 0 ± 1 •/не является корнями характери­стического уравнения, а значит s = 0:

У част =

или

JW_OT=^C0SX + 5sinX.

Находим первую и вторую производные этого частного решения: У част = [A-cosx + Вsinx]⁷ = - A-smx + B-cosx; у" част = [–A-smx + 5 cosx]⁷ = -A-cosx - 5 sinx. Подставляем найденные производные в исходное уравнение и преобразо­вываем левую часть уравнения, собирая коэффициенты при косинусе и синусе:

У" част + 2y'_4acm + 5у_част = 10'COSX,

(-A-cosx - £ sinx) + 2-(-Л-sinjc + B-cosx) + 5-(A-cosx + £ sinx) = 10 cosx,

cosxi–A + 2-B + 5A) + sinx (-B- 2-A + 5-B) = 10 cosx. По методу неопределенных коэффициентов приравниваем коэффициен­ты, стоящие при косинусе и синусе в левой и правой частях последнего уравне­ния, и решаем систему полученных линейных уравнений, определяя неизвест­ные^, В:

cosx sin x

А + 2-В + 5-А = \0, \4-А + 2-В = \0,

=> i =>

В-2-А + 5-В = 0; [4-В-2-А = 0;

2-А + В = 5, 4-В + В = 5, \В = 1,

[ А = 2-В; { А = 2-В; [А = 2.

Таким образом, получаем частное решение в виде

jW™ = 2-cosx + sinx.

Складывая найденные у₀ и у_част (по формуле(Зб)), выписываем общее решение исходного уравнения

у = e – ^x (dcos2x + С₂ sin2x) + 2cosx + sinx.

ОТВЕТ: у = e – ^x (d cos2x + C₂ sin2x) + 2 cosx + sinx.

77 IV. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ»