I.5.1. Площади плоских фигур

1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах.

Если на интервале [a; b] функция f(x) ≥ 0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми x = a, x = b и графиком функции y = f(x), равна определенному интегралу (см. геометрический смысл определен­ного интеграла и рисунок 2):

_s

b

\f(x)dx

a

(12)

Если f(x) ≤ 0 на [a; b], то определенный интеграл так же не положителен. По абсолютной величине он равен площади соответствующей криволинейной трапеции (см. рисунок 3) и, следовательно, в этом случае справедливо равенст-

во:

S

6

-\f(x)dx

a

Если фигура ограничена графиками функций f₁(x), f₂(x) и прямыми x = a, x = b (см. рисунок 4), при условии f₁(x) ≤ f₂(x) на [a; b], то ее площадь определя­ется по формуле:

	b		b	b
S	= !	f2 (x)dx	-\fx(x)dx	= J[/2(*)-/i (*)]<&
	a		a	a

(13)

Замечание. Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиками заданных функций, необходимо сначала построить эту фигуру в системе коор­динат, далее выбрать нужную формулу и определить пределы интегрирования.

42

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис.5.

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функ­ций;/ = 2х-х² и у = -х.

РЕШЕНИЕ. Находим точки пересечения данных линий:

\у = 2х-х²,

=> { У = ~х,

(2х-х²=-х) =^> (х²-3х = 0) =^> (ф-3) = 0) =^> или\

1=0, U=-3.

Строим графики данных функций, искомую фигуру (рис. 5) и выбираем формулу (13) для вычисления ее площади. Пределы интегрирования в этом случае совпадают с абсциссами точек пересечения.

S

3

3

\[2х-х² -(-x)]dx = \(3x-x²)dx

0 0

— - 9 I - 0 = 13,5 - 9 = 4,5.

^2 )

(3х² х³

2 3

3

0

ОТВЕТ: S = 4,5 (кв. ед.).

43

2. Вычисление площадей в полярной системе координат. Площадь криволинейного сектора ОАВ (см. рисунок 6), ограниченного кривой г = г(ф) и радиус - векторами ср = аи(р= Д определяется по формуле:

Иг S = -\r\(p)dcp

ПРИМЕР. Вычислить площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой г = 4со83<р(рисунок 7).

РЕШЕНИЕ. Площадь S_mmp. шестой части всей фигуры (половины одного лепестка, штрихованная область на рис. 7) определяется интегралом:

ж

6

ж

6

S

иапр.

ж

6

1 j(4cos3(p) 2 d(p = 8jcos 2 3<pd(p = 8 j *⁺ °°^S 6^(pdcp =

2

о

о

о

2

ж

6

4\(l + cos6(p)d(p = 4\(p + ^^)

V 6 )

о

n sin;r

—I—

^6 6

О

In

_{) Т'}

Следовательно, площадь розы равна

S = 6-S_umn = 6 —

ишр. 3

4л.

ОТВЕТ: S = 4tt (кв. ед.).

О F

Рис. б. Криволинейный сектор

Рис. 7. Трёхлепестковая роза

44 1.5.2. Длина дуги кривой

Рассмотрим дугу АВ, лежащую на кривой у =J{x) и ограниченной точками А и В (рис.8). Разобьем дугу точками М_ь М₂, …, М_п – i на п частей и проведем хорды АМ_и МгМ₂, …,М_п–_хВ. Получим ломаную линию АМ_ХМ₂…М„ – _ХВ, впи­санную в дугу АВ. Длины хорд обозначим за /_ь /₂, …, /„, тогда длина ломаной / будет равна

п

' = !'*•

Определение. Длиной L дуги ^45 называется предел, к которому стре­мится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

п

Рис.8. Разбиение дуги кривой

45 1. Пусть дуга АВ лежит на кривой y = f(x), заданной в прямоугольной сис­теме координат. Точке A соответствует абсцисса x = a, точке B соответствует абсцисса x = b. Тогда длина L этой дуги определяется по формуле:

2. Пусть дугаАВ лежит на кривой, заданной в параметрическом виде:

\х = X(t),

Точке А соответствует параметр t = t\, точке В соответствует параметр t t₂. Тогда длина L этой дуги определяется по формуле:

£ = }7(яг,'(оЫг/(*))²<*

h

(14)

3. Пусть дуга АВ лежит на кривой г = г{ср), заданной в полярной системе координат. Точке А соответствует полярный угол (р = а, точке В соответствует полярный угол ф=р. Тогда длина L этой дуги определяется по формуле:

ПРИМЕР.

Вычислить длину дуги AB, лежащей на астроиде (см. рисунок 9), которая задана уравнениями в параметрическом виде:

я" О < t < —.

4

[x = 2cos4

j/ = 2sm4

РЕШЕНИЕ. Кривая, на которой лежит дуга, задана в параметрическом виде, поэтому используем формулу (14).

46

Рис. 9. Астроида

Находим производные X_t^/ ,Y_t^/ :

3 /

Х; =2(cos^J0 =2-3cos^-(-sin0 = -6cos^-sin^ Y/ =2(sin³t)' = 2-3sin²;cos; = 6sin²;cos?. Вычисляем длину дугиАВ по формуле (14):

к

L

jV(-6cos²rsinr)²₊(6sm²rcosr)²^

о

4

4

jV36cos⁴ fsin² / + 36sin⁴ г cos² fc# = 6JVcos²1sin² *(cos² / + sin² t)dt

0

0

ж 4

я^-4

6jcosfsinfc# = 3jsin

0

0

2fc# = 3

cos It

_{V 2 J}

7Г

4

0

^

0-(--) 1 = - = 1,5. 2 J 2

Следовательно, искомая длина L = 1,5.

ОТВЕТ: L = 1,5 (ед.).

47 I.5.3. ОБЪЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

Пусть на интервале [a; b] функция f(x) ≥ 0. Если тело образовано враще­нием вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной линией y = f(x), осью OX и прямыми x = a, x = b (см. рисунок 10), то объём V этого тела опре­деляется по формуле:

V

b

= 7r\f\x)dx

a

(15)

Пусть на интервале [c; d] функция g(y) ≥ 0. Если тело образовано враще­нием вокруг оси OY криволинейной трапеции, ограниченной линией x = g(y), осью OY и прямыми y = c, y = d (см. рисунок 11), то объём V этого тела опре­деляется по формуле:

V

d

= n\g\y)dy

(16)

с

Рис.10. Тело вращения Рис.11. Тело вращения

вокруг оси OX вокруг оси OY

48

ПРИМЕРЫ. 1) Вычислить объем тела, образованного вращением цепной линии

y = 4ch-4

вокруг оси ОХ на участке от х = - 2 до х = 2 (см. рисунок 12).

РЕШЕНИЕ. Тело образовано вращением вокруг оси ОХ, поэтому его объ­ём вычисляем по формуле (15):

х

Т., л2 2 Il + Ch-

2

-2

il ₄J J J

-2

воспользовались свойством гиперболического косинуса (аналогичным формуле

ch^za =

l + ch2a

2

(10) для обычного косинуса):

U \(1 + ch-)dx = U • ( х + 2sh- I

2

2

-2

te(2 + 2shL-(-2 + 2sh(rl)) =

sh(-a) = -sha = 8тг • (4 + 4shl) = 32тг(\ + shl).

Следовательно, искомый объём V = 32π(1 + sh1).

ОТВЕТ: V = 32π(1 + sh1) (куб. ед.).

Рис. 12. Тело, образованное вращением цепной линии вокруг оси OX

49

y 2) Вычислить объём тела, образованного вращением кривой

1

х

во-

круг оси OY на участке от y = 0,25 до y = 2 (см. рисунок 13).

РЕШЕНИЕ. Тело образовано вращением вокруг оси OY, поэтому его объ­ём будем вычислять по формуле (16), предварительно выразив x через y:

х =

у

Тогда получим

-1

2

V = it \

0,25

1

\У )

2

2

dy = 7i ]y~²dy

0,25

= 71 •

у

-1

2

0,25

= -71 •

1

у

2

— —тг

^1_4

-я- • (-3,5) = 3,5л-.

Следовательно, искомый объём V = 3,5π.

ОТВЕТ: V =3,5π (куб. ед.).

Рис. 13. Тело, образованное вращением гиперболы вокруг оси OY

50 П. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПО ТЕМЕ

«ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ»

IL1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И ЕЕ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Определение. Величина z называется функцией двух переменных величин хи^на множестве D, если каждой точке (х; у) этого множества соответствует одно определённое значение величины z. При этом множество D называют об­ластью определения функции z =J[x; у).

Способы задания функций двух переменных, как и в случае одной пере­менной, могут быть различными [2 - 5].

Пусть у = const (фиксированная величина), тогда f{x; у) будет функцией одной переменной х. Зададим в некоторой точке х приращение Δх (при фикси­рованном значении у), тогда функция z = J{x; у) получит частное приращение по переменной х

Δ_x z = f(x + Δx; y) - f(x; y).

Аналогично вводится частное приращение функции по переменной у. Предполагая, что х = const , задаем в некоторой точке у приращение Δу, тогда функция z =J{x; у) получит частное приращение по переменной у

Δ_y z = f(x; y + Δy) -J{x; y).

Определение. Частной производной fl(x\y) по переменной х от функ­ции z =J{x; у) называют предел отношения частного приращения функции Δ_x z к приращению аргумента Δх при стремлении Δх к нулю:

/-(^)=im^=im^^+A^>-^.

Д*->о Дх д^о Дх

Аналогично определяется частная производная по переменной у:

_/vW)₌limV ₌ lim/(*;^)-/(^)

Av-o Ду Av->o Ду

51 Для частных производных используют следующие обозначения (см. ли­тературу [2 – 5, 9])

, д/(х;у) dz ,

по переменной x: f_x^/ (x; y)

X X

дх дх

_{W ч} df(x;y) dz ,по переменной у. f'_y (х; у) = ^J = — = z'_y.

Замечание. Правила вычисления частных производных функции двух и более переменных совпадают с правилами нахождения производных для функ­ций одной переменной. При нахождении частной производной по какой-либо переменной все остальные переменные в процессе дифференцирования счита­ются постоянными. После того, как частная производная найдена, все перемен­ные могут принимать любые значения.

ПРИМЕР. Найти частные производные функции

/х; у) = 2 х² + у² - 3 ху - 2 х в точке М(0; 1).

РЕШЕНИЕ. Считая постоянным у, находим частную производную по переменной jc:

/^(х;у) = (2х²+у²-Зху-2хУ_х=2-2х + 0-Зу-2 = 4х-Зу-2,

тогда xx

/>(М) = /;(0;1) = 4х-Зу-2

_х=о =0-3-2 = -5.

у=\

Считая постоянным x, находим частную производную по переменной y:

f'(x\y) = (2x² +у² -Зху-2х)'=0 + 2у-3х-0 = 2у-3х,

_х=о =2-0 = 2.

тогда y

Г (М) = /' (0; 1) = 2у- Зх

у=\

ОТВЕТ: /_х' (АО = -5, // (М) = 2.

52 Определение. Пусть функция z = f(x; y) имеет частные производные

z_x^/ ,z_y^/ , которые являются некоторыми функциями двух переменных. Тогда

частные производные от этих функций называются вторыми частными произ­водными (или производными второго порядка) от функции z = f(x, y).

Так как z_x^/ ,z_y^/ являются функциями двух переменных, то каждая из

них имеет две частные производные. Поэтому получаем четыре частные произ­водные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

f„(x;y)

f^{/ /}(x;y)

d²z

_// Ё()

дхдх дх²

— Z

d²z

_// <L(?L)

ду дх дхду

— Z

ху

d²z

д dz d²z

= z

2 уу.

ух уу

дх ду дудх

д dz

/^(_Х;_у) = ^(^)

= z

f^{/ /} (_X;y) = —(—)

ду ду ду

ПРИМЕР. Дана функция z = arctg^. Доказать, что выполняется

х

dz dz _{2 2} d²z

х + у + (х + у ) = 0.

ду дх дхду

РЕШЕНИЕ. Для того, чтобы доказать тождество, найдём частные произ­водные, входящие в это тождество.

у

у

у

_ил

х² х²+у

1 +

/

^у 1 +

дх

ду

х

у

(arctg±) / _x

(arctg^-) /

X

1 +

1 +

1

у

_КХ; 1

у

_КХ;

2

у

2

1 -1

2 У

у

2

X

X

1 1

—

/ х х²+/

х²

;

«)/=(

d²z дхду

у

);

;с²+/

^Zx)y =( 2 2) =

1-(*²+/)-y2j> jc²-/

jc²+/

(jc²+/)²

Подставим полученные функции в равенство, которое требуется доказать:

53

dz dz ₂₂ d²z 0

x \- у \-(x + у ) = ,

ду дх дхду

_ ² _ ²

х-( ^Х ₂) + у( ^У ₂) + (х2+у2 )-(—₂) = 0,х₂+/ х₂+/ (х₂+/) 2

х² / *²-У² 0

х²+у² х²+у² х²+у²

х²-у²-х²+у²

⁼ 0,

х₂+у₂

0 = 0.

ОТВЕТ: выполнение равенства доказано, так как получено тождество.

54 II.2. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Графиком функции двух переменных z = f(x; y) является некоторая по­верхность в пространстве. Касательная плоскость в точке M₀(x₀; y₀; z₀) к по­верхности z = f(x; y) задаётся уравнением:

z-z₀=fUx₀;y₀)ix-x₀) + f;(x₀;y₀)-{y-y₀). (17)

Определение. Полным дифференциалом функции z = /x; у) называют сумму её частных дифференциалов и обозначают

dz = d_xz + d_vz = z'_x-dx + z'-dy,

i /

где d_xz = z_x • dx и d_yz = z_y • dy – частные дифференциалы функции по

переменной х и у соответственно;

dx = Δх и dy = Δy - дифференциалы переменных, равные по определению приращениям этих переменных.

Геометрический смысл полного дифференциала. Полный дифференциал функции z =J{x; у) при х = х₀, у = у о является приращением аппликаты точки ка­сательной плоскости, проведённой к поверхности z = f(x; у) в точке касания М₀(х₀; уо; z₀). Это следует непосредственно из уравнения касательной плоско­сти. Если обозначить z - z₀ = Az_{ка с} ,х-х₀=Aх = dx, у - y₀ = Ay = dy, то уравнение касательной (17) можно записать в виде:

Az_кас =f_x^/(x₀;y₀)-Ax + f_y^/(x₀;y₀)-Ay,

или

Az_кас = dz

х=х₀ у=у₀

55 Из геометрического смысла полного дифференциала следует формула приближённого вычисления функции с его помощью. При малых приращениях переменных приращение функции можно заменять приращением аппликаты

касательной плоскости, т.е. Az « Az_{кас .} = f/_x (x₀;у₀) • Ах + f/_y (x₀;у₀)-Ау при

малых приращениях Δх и Δу. Так как Δz =J(x₀ + Δх;у₀ + Δy) -J(x₀; y₀), то полу­чаем формулу приближённого вычисления функции двух переменных в неко­торой точке (jc₀ + Δх;у₀ + Δу) близкой к точке (х₀; у₀):

f(x₀ + Ах;у₀ + Ay) « f(x₀;y₀) + fi(x₀;y₀) ■ Ax + f^/(x₀;y₀) • Ay

(18)

ПРИМЕР. Дана функция z = 2xy и точки А(2; 1) и 5(2,01; 0,98). Требуется:

25. вычислить точное значение функции z в точке В;

26. вычислить приближённое значение функции z в точке В с помощью дифференциала;

27. составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = 2xy в точке А.

РЕШЕНИЕ.

28. z(B) = z(2,01; 0,98) = 2·2,01 0,98 = 3,9396.

29. Точка 5(2,01; 0,98) получается из точки А(2; 1), если мы дадим х₀ = 2 приращение Δх = 0,01 и у₀ = 1 приращение Δу = - 0,02. Приращения доста­точно малы, поэтому можно применить формулу (18). Вычислим значение функции в точке А(2; 1):

z(A) = 2ху _х=2 = 4.

у=1

Найдем частные производные по переменным х и у:

f/(A) = (2ху)/ = 2у; f/(A) = (2ху)/ = 2х

56 Вычислим значения найденных частных производных в точке A(2; 1):

U(A) = (2xy)^/

x=2 y=1

= 2y

x=2 y=1

= 2;

/

fi(A) = (2xy)^/

x=2 y=1

= 2x

x=2 y=1

= 4.

Подставив полученные значения в формулу (18), найдём приближенное значение функции:

z(B) * z(A) + fl(A)- Ах + f/(A)- Ау * 4 + 2-0,01 + 4-(-0,02) * 4-0,06 *3,94.

3) Подставим в формулу (17) найденные в пункте 2) величины

_Z0 = _Z(A) = 4, f/ _x (jc₀ ;y₀) = f/_x (A) = 2, f/_y (jc₀ ;y₀)= f/_y (A) = 4.

Получим уравнение касательной плоскости в точке А:

z-4 = 2-(x-2) + 4-(y-1),

или 2x + 4^-z-4 = 0.

ОТВЕТ: 1) z(B) = 3,9396;

30. z(B) « 3,94;

31. 2x + 4y-z-4 = 0.

57 III. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПО ТЕМЕ

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»