Основные свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме(разности) интегралов от этих функций:

ъ ъ ъ

j(f(x) ± g(x))dx = \f(x)dx ± jg(x)dx.

а а а

2. Постоянный множитель может быть вынесен за знак определенного

интеграла:

ъ ъ

jkf(x)dx = kjf(x)dx.

а а

3. При изменении порядка интегрирования (если меняются местами верх­ний и нижний пределы интегрирования) определенный интеграл меняет знак:

Ъ а

\f(x)dx = -jf(x)dx.

а Ъ

4. Интеграл по отрезку нулевой длины равен нулю:

а

jf(x)dx = 0.

а

5. Если интервал интегрирования [а; Ь] разбит на две части [а; с] и [с; Ь],то справедливо равенство

Ъ с Ъ

jf(x)dx = jf(x)dx + jf(x)dx.

а а с

Замечание. Равенство в свойстве 5 справедливо и в том случае, когда точ­ка с лежит вне интервала [а; Ь] при условии, что функция интегрируема на всех трех интервалах.

38

Оценки определенного интеграла

1. Если/х) ≥ 0 на интервале [а; Ь], то при условии а <Ь определенный интеграл неотрицателен:

ъ

jf(x)dx > 0.

a

2. Если в каждой точке х интервала [а; Ь] выполняется неравенство у/(х) ≤

fix) ≤ fix), то при а < Ъ справедливо неравенство

ъ ъ ъ

\y/(x)dx < jf(x)dx < j(p(x)dx.

a

a

a

3. Значение определенного интеграла заключено между произведенияминаименьшего и наибольшего значений подынтегральной функции на длину ин­тервала интегрирования:

ъ т{Ъ -а)< jf(x)dx < М{Ъ - а\

а

где т = max/(x), M = ттДк) на интервале [а;Ь] иа<Ь.

4. Внутри интервала интегрирования [а; Ь] существует хотя бы одно зна­чение х = £, для которого справедливо равенство

ъ

jf(x)dx = f(£)-(b-a).

а

Замечание. Свойство 4 называют теоремой о среднем. Значение /0 в ра­венстве этого свойства называется средним арифметическим значением у_ср не­прерывной функции/х) в интервале [а; Ь]. Таким образом, среднее значение функции определяется по формуле:

ъ

Ъ-а

а

_{у, — \я^-}

39 Теорема (Формула Ньютона - Лейбница). Значение определенного ин­теграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла:

J f(x)dx = F(x) _a = F(b) - F(a)

a

где F(jc) первообразная для функции (х).

Вертикальная черта с нижним и верхним индексами, стоящая справа от символа функции, называется знаком двойной подстановки. Она указывает на то, что из значения функции, принимаемого ею при верхнем индексе, нужно вычесть ее значение, принимаемое при нижнем индексе.

Теорема (Замена переменной в определенном интеграле). Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а; Ь]. Если функция х = (p(t) удовлетворяет усло­виям:

23. (p(t₁) = a, <p(t₂) = b,

24. (p(t) и (р (t) непрерывны на отрезке [t1; t₂],

3) [К)] определена на отрезке [t1; t₂],то выполняется следующее равенство

ъ

h

\f(x)dx = \f[(p(t)](p^/(t)dt.

h

a

(11)

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной (по формуле (11)) не надо возвращаться к старой переменной, т.к. результатом вычисления определенного интеграла является некоторое число, которому равен правый и левый интеграл в равенстве (11).

40

Интегрирование по частям в определенном интеграле. Если функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a; b], то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла

6

6

\udv = uv -\vdu

J a J .

a

a

ПРИМЕРЫ.

2

3 2

!) j(3x 2 -2х + Y)dx = (3~-2~ + x)

1

1

(8-4 + 2)-(l-l + l) = 5.

x ax =

2)

4

JVl6-x²dx

0

заменах = 4sint ^dx = 4costdt

x = 0 при t = 0, x = 4 при ?

2

2

2

2

JVl6-16sin²f-4cosfc# = 4J4^Jl-sm²t • costdt = 16Jcos² tdt

0

0

0

ж

2

cos 2t

dt

1 +

= 16 dt = S(t +

i 2

sin 2t 2

ж

2

0

= 8(- + 0)-8(0 + 0) = 4;r.

2

1

₃₎ j xe'dx

0

u = x, dv = e^xdx du = dx,v = je^xdx = e"

= xe

1

0

^jV

^ = e-0-e

1

0

e-(e-T) = l.

41 I.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА