27 I.5. Полное исследование функции

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для полного исследования функции одной переменной и построения ее графика можно рекомендовать следующую схему:

1. указать область определения функции, установить наличие или отсут­ствие чётности, нечётности, периодичности функции;

2. найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3. найти точки разрыва и асимптоты графика функции, исследовать по­ведение функции на границах области ее определения;

4. определить интервалы монотонности и экстремумы функции;

5. определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки его перегиба;

6. провести при необходимости дополнительные расчеты координат вспомогательных точек;

7. построить график функции с указанием асимптот и экстремальных то­чек.

1. Определение. Областью определения функции y = f(x) называется множество всех значений аргумента, при которых функция имеет определен­ные действительные значения.

Все исследования проводятся только для значений аргумента, принадле­жащих области определения функции.

Определение. Функция y = f(x) называется чётной [нечётной], если выпол­няются условия: 1) областью определения является множество, симметричное относительно нуля; 2) для любого х из области определения функции справед­ливо равенство f(-x) = f(x) [f(-x) = - f(x)].

Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, называют обычно функциями общего вида.

28

Свойство. График чётной функции симметричен относительно оси орди­нат (OY), график нечётной функции симметричен относительно начала коорди­нат.

Определение. Функция называется периодической, если существует от­личное от нуля число Т, такое, что для любого х из области определения функ­ции справедливо равенство Дх + Т) = Дх - Т) = Дх). Наименьшее положитель­ное число Т, обладающее таким свойством, называется периодом функции.

2. Точка пересечения с осью ординат OY находится при подстановке х =0, если в этой точке функция определена. Точки пересечения с осью абсцисс ОХ находятся из решения уравнения/(х) = 0.

3. Исследование поведения функции на границах области определения сводится к установлению характера стремления функции вблизи точек разрыва и при х → ± ∞. Для этого необходимо определить пределы lim f(x) и

lim f(x) если х = а является точкой разрыва; а так же пределы lim f(x) и

lim /О), которые характеризуют поведение функции на бесконечности.

х->-<ю

Определение. Прямая называется асимптотой графика функции у = J[x\ если расстояние от точки графика (х; у) до данной прямой стремится к нулю при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности.

По своему расположению асимптоты могут быть вертикальными (х = а), наклонными (у = кх + Ь) и горизонтальными (у = Ь).

Утверждение. Прямая х = а является вертикальной асимптотой графика функции у = Ах), если lim f{x) = +« и (или) lim f(x) = +« .

У J\ / x^a-0 x^a+0

Если прямая х = а является вертикальной асимптотой, то а - точка разры­ва функции второго рода или граничная точка ее определения.

29

Утверждение. Прямая у = кх + Ъ (к≠ 0) является наклонной асимптотой

графика функции у = f[x), если lim(/(*) -kx-b) = 0.

X—>СО

График имеет наклонную асимптоту в том случае, когда существуют ко­нечные пределы

, г /О)

k = hm±^(k≠ 0), (9)

X—>СО X

b = \im(f(x)-kx). (10)

X—>СО

Следует различать правые и левые асимптоты, так как для ряда функций они могут быть разными. Для поиска правой наклонной асимптоты пределы (9) и (10) берутся при х → + ∞, для нахождения левой наклонной асимптоты эти пределы берутся при х → - ∞.

Утверждение. Прямая у = Ъ является горизонтальной асимптотой графи­ка функции у = Ях), если ton /(*) = Ъ.

Х->СО

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной, когда ее угловой коэффициент к = 0, отсюда возникает необходимость различать правые и левые горизонтальные асимптоты.

Заметим, что для большого количества функций пределы, вычисляемые в процессе поиска наклонной и горизонтальной асимптот при х → + ∞ и х → - ∞, равны друг другу. Поэтому их вычисляют одновременно. Но это не распро­страняется на абсолютно все функции.

4. Определение. Функция у = f(x) называется возрастающей [убывающей! на некотором интервале, если большему значению аргумента из этого интерва­ла соответствует большее [меньшее] значение функции, т.е. при jci < x₂ выпол­няется неравенство f{x_x) < f[x₂) [ f{x_x) > f(x₂)].

Признак возрастания (убывания) функции. Если функция у = Дх) непре­рывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема внутри него и выполняется неравен­ство f'(x) > 0 [/'(х) < 0], то функция возрастает [убывает] на этом отрезке.

30

Определение. Точка х₀ называется точкой локального максимума [локаль­ного минимума] функции/(х), если для всех х из некоторой окрестности х₀ вы­полняется неравенство(*) < f(x₀) [ f(x) > f(x₀)].

Определение. Точки локального максимума и минимума называются точ­ками экстремума.

Необходимое условие существования экстремума функции. Если функция f(x) имеет в точке х₀ локальный экстремум, то производная в этой точке равна нулю (f'(x₀) = 0) или не существует.

Определение. Точка называется критической, если производная в этой точке равна 0 или не существует.

Достаточное условие существования экстремума функции. Пусть функ­ция определена в точке х₀ и дифференцируема в некоторой ее окрестности, за исключением, может быть, самой этой точки. Тогда точка х₀ является точкой экстремума, если при переходе через нее производная функции меняет знак. Если производная меняет знак с «+» на «-» ( т.е. f'(x₀)>0 при х < х₀ и

f'(x₀) < 0 при х > х₀), то в точке х₀ функция имеет локальный максимум. Если производная меняет знак с «-» на «+» ( т.е. f'(x) < 0 при х < х₀ и f'(x) > 0 при х > х₀), то в точке х₀ функция имеет локальный минимум.

Для отыскания экстремумов и промежутков монотонности функции по­ступают следующим образом: с помощью первой производной находят все критические точки; определяют знаки производной в интервалах, на которые критические точки делят область определения функции; исследуют каждую критическую точку с целью выяснения существования в ней максимума или минимума.

5. Определение. График функции называется выпуклым [вогнутым] в точ-ке, если в некоторой ее окрестности он расположен ниже [выше] касательной, проведенной к нему в этой точке. График называется выпуклым [вогнутым] на промежутке, если он обладает таким свойством в любой его точке.

31 Определение. Точка х₀ называется точкой перегиба графика функции

у = Дх), если функция определена в некоторой окрестности этой точки, а при

переходе через нее график меняет свое поведение с выпуклости на вогнутость

или наоборот.

Признак выпуклости [вогнутости] графика функции. Если функция два­жды дифференцируема на некотором промежутке и ее производная второго по­рядка на всем промежутке отрицательна [положительна], т.е. f"(x)<0 [/"(*)> 0 ], то график функции является выпуклым [вогнутым] на этом про­межутке.

Необходимое условие существования точки перегиба. Если в некоторой точке х₀ график функции имеет перегиб, то производная второго порядка функ­ции в этой точке равна нулю (f"(x₀) = 0) или не существует.

Достаточное условие существования точки перегиба. Пусть функция определена в точке х₀ и дважды дифференцируема в некоторой ее окрестности, за исключением, может быть, самой этой точки. Тогда точка х₀ является точкой перегиба графика функции, если при переходе через нее производная второго порядка функции меняет знак.

Для отыскания точек перегиба и промежутков выпуклости и вогнутости графика функции поступают следующим образом: с помощью второй произ­водной находят все критические точки (т. е. точки, в которых вторая производ­ная обращается в 0 или не существует); определяют знаки производной второго порядка в интервалах, на которые критические точки делят область определе­ния функции; исследуют каждую критическую точку с целью выяснения суще­ствования в ней перегиба.

6. К дополнительным исследованиям можно отнести определение точек пересечения графика функции с ее наклонными асимптотами из решения урав­нения: Дх) = kx + Ъ. А так же вычисление координат некоторых вспомогатель­ных точек, уточняющих поведение графика функции.

32

7. График исследованной функции строят в декартовой системе коорди­нат, указывая при этом все асимптоты, координаты экстремальных точек, точек перегиба и пересечений с осями координат.

ПРИМЕР.

(х + З)²

Провести полное исследование функции .У = f и построить ее график.

х-4

РЕШЕНИЕ.

Исследуем данную функцию по предложенной схеме.

1) Областью определения функции является множествохe(-a);4)U(4;+a)), так как при х = 4 знаменатель функции обращается вноль. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

2) Если х = 0, то У = — = -2,25 . Следовательно, пересечением графика

— 4

функции с осью OY является точка (0; -2,25).

(х + 3)²

Если v = 0, то = 0, откуда х = -3. Следовательно, пересечением

х-4

графика функции с осью ОХ является точка (-3; 0).

3) Изучим поведение функции на границах области определения: в окре­стности точки разрыва х = 4 и при х → ± ∞.

Сначала вычислим пределы данной функции слева и справа в точке х = 4:

_х^4-о х-4 ^х^4 х-4 ^х^4 ^х^4х-4

х<4 х<4 х<4

(х + 3)² -+1² = 49прих^4,х<4 x-4 = t^t^0,t<0 при х —» 4, х < 4

49-Нт^ = -оо;

/<0

lim = lim = limO + 3)Mim

х^4+о _х-4 *-и х-4 ^4 ^х^4х-4

х>4 х>4 х>4

33

О + З)² ^7² = 49 при х ^ 4, х> 4 x-4 = t^t^0,t>0 при х —» 4, х > 4

49-limi = +oo.

/-»0 f />0

Отсюда следует, что х = 4 является вертикальной асимптотой.

Далее находим наклонные асимптоты, используя формулы (9) и (10):

1 ^ А

_{= hm */=1±°±°=1,}

*^±» 4 1-0

х² ■ (1 + )²

_{к = ш i£±3)L = lim}

*->**> jc ■ (jc - 4) *->**>

1-

х

х

х2 •(!--)

1

10х + 9

Г(х + 3)²

-1-х = lim

х - 4 J *->±»

6= ton

х² + 6х + 9-х² + 4х х-4

х-(10 + -) 10 + - 1_Л _

= lim

= lim

Х^±00

= 10.

4

4

1-0

1-

х х Ю + 0

х-(1-

xx Следовательно, существует единственная наклонная асимптота

y = x + 10.

4) Для определения промежутков монотонности и экстремумов найдем первую производную:

, 2-(х + 3)-(х-4)-(х + 3)² 2х²-2х-24-х²-6х-9 х²-8х-33

V — — —

^У (х-4) 2 (х-4) 2 (х-4) 2 .

Найдем критические точки:

х²-8х-33 = 0, [ х-4^0,

[Гх = 11,

х = -3, х*4.

На числовой прямой отмечаем критические точки и определяем знаки первой производной функции на каждом из полученных интервалов, входящих в область определения функции (знаки производной изображены над прямой на рисунке 4).

34

Рис.4. Критические точки первой производной, знаки первой производ­ной, промежутки монотонности функции

Функция возрастает при хe(- ∞; -3) и хе(11; +∞), так как на этих проме­жутках /О)>0; функция убывает при jce(-3; 4) и хе(4; 11), так как в этом случае у'(х) < 0 .

В точке х = -3 функция имеет максимум у_тах = у(-3) = 0, а в точке х = 11 функция имеет минимум y_min = у(11) = 28 (см. достаточный признак существо­вания экстремума и рисунок 4).

5) Для определения участков выпуклости и вогнутости графика функции и точек перегиба найдем вторую производную:

у" = (у')

2

х² -8х-33 (х-4)²

(2х-8)-0-4)²-0²-8х-33)-2-р-4)

(х-4)⁴

(х - 4) • ((2х - 8) • О - 4) - 2 • О² - 8х - 33))

О - 4)⁴

98

(х-4)³

2х² -16* + 32 - 2х² +16* + 66 (х^4)³

Вторая производная не равна 0 ни при каких х (так как 98 ≠ 0) и не опре­делена при (х – 4)³ = 0, т.е. при х = 4. Следовательно, точки перегиба отсутст­вуют у исследуемой функции. На числовой прямой отмечаем критическую точ­ку х = 4 и определяем знаки второй производной слева и справа от этой точки (см. рисунок 5).

Рис.5. Критическая точка второй производной, знаки второй производной, промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

35 График функции является выпуклым на интервале (-∞; 4), так как

у"(х) < 0 на этом интервале. График функции является вогнутым на интервале (4; +∞), так как у"(х) > 0 на этом интервале (см. признак выпуклости [вогнуто­сти] графика функции и рисунок 5).

(х + З)²

свою наклон-

х-4

y 6) Проверим, пересекает ли график функции

ную асимптоту y = x + 10:

х + 10 => \ {

(х + 3)² х-4

\(х + 3)² = (х-4)х + 10),

хфА,

=>

х²+6х + 9 = х²+6х-40, Г49 = О,

[ х ф 4, [хфА.

Получили противоречие, следовательно, график функции не пересекает свою наклонную асимптоту.

Найдем дополнительные точки, уточняющие поведение графика функ-

ции:

X	-10	2	8	18
у	-3,5	-12,5	30,25	31,5

7) Строим график функции, который показан на рисунке 6.

36

Рис.6. График функции y

О + З)² x-4

37 II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ

«ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

1. Функция, способы задания, свойства, классификация, графики основных элементарных функций.

2. Основные характеристики функций.

3. Определение предела функции одной переменной.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

5. Основные свойства пределов функции, виды неопределенностей.

6. Односторонние пределы.

7. Первый замечательный предел, следствия. Второй замечательный предел, следствия.

8. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентов.

9. Непрерывность функции в точке. Основные свойства непрерывных функ­ций, непрерывность функции на промежутке.

10. Критерий непрерывности функции в точке.

11. Классификация точек разрыва. Примеры.

12. Производная, механический, геометрический смысл, основные свойства.

13. Определение дифференциала функции, его геометрический смысл.

14. Правила вычисления производной.

15. Таблица производных основных элементарных функций.

16. Производная степенно-показательной функции, логарифмическое диффе­ренцирование.

17. Дифференцирование функции, заданной в параметрическом виде.

18. Производные высших порядков.

19. Правило Лопиталя.

20. Монотонность функции, признак убывания и возрастания функции.

21. Определение локального экстремума. Необходимое условие существования локального экстремума.

38

22. Первый достаточный признак существования экстремума.

23. Направление выпуклости графика функции. Достаточный признак выпукло­сти вверх (вниз).

24. Точки перегиба, необходимое и достаточное условия существования точки перегиба графика функции.

25. Асимптоты графика функции.

26. Схема полного исследования функции.