Свойства функций, непрерывных в точке х0

1. Функция f(x)±g(x) непрерывна в точке х₀, если функции f(x\g(x) не­прерывны в точке х₀.

2. Функция f(x)-g(x) непрерывна в точке х₀, если функции f{x\g{x) не­прерывны в точке х₀.

3. Функция— непрерывна в точке х₀, если функции f(x), g(x) непре­рывны в точке хq и g(x₀) ф 0.

4. Функция f(g(x)) непрерывна в точке х₀, если функция f(z) непрерывна в точке z₀ = g(x₀), а функция g(x) непрерывна в точке х₀.

Определение. Функция называется непрерывной на интервале (а; Ь\ если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция Дх) называется не­прерывной на отрезке [g; b], если она непрерывна на интервале (а; Ь), а также непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ъ (т.е. lim fix) = f(a\ lim fix) = fib))

Определение. Функция называется разрывной в точке х_q, если в этой точке нарушается хотя бы одно из условий критерия непрерывности функции в точке. В этом случае точка х₀ называется точкой разрыва функции.

13

Классификация точек разрыва функции

1) Точка х₀ называется точкой устранимого разрыва, если в этой точкесуществуют, конечны и равны между собой пределы справа и слева, т.е.

ton /О) = ton /О). Но при этом значение функции в точке х₀ либо не опре-

делено, либо не равно указанным односторонним пределам.

2) Точка X₀ называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке су­ществуют, конечны и не равны между собой пределы справа и слева, т.е.

ton /(jc)* ton /00

х^>х₀+0 х^>х₀-0

3) Точка X₀ называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке хотябы один из пределов справа и слева не существует или бесконечен.

ПРИМЕР. Исследовать функции/(х), /₂(jc), /₃(jc) на непрерывность, опре­делить точки разрыва, если таковые имеются, и установить характер разрыва. РЕШЕНИЕ.

sinx

1) f1(x)⁼ . Функция не определена в точке х = 0, поэтому эта точ-

ка является точкой разрыва. Определим род разрыва. Используя первый заме­чательный предел (см. формулу (1)), получим

sinx . sinx sinxHm = Hm = lim = 1 следовательно, x = 0 является точкой уст-

x^0 x x^0-0 x x^0+0 x

ранимого разрыва.

2) /₂(jc) = 3^X . Функция не определена в точке х = 0, значит, в этой точ­ке функция терпит разрыв. Покажем, что это разрыв 2-го рода. Найдем пределысправа и слева в точке х = 0. Вспомним предельные свойства показательнойфункции d (а > 1), известные из школьной программы: Hm a¹ = +oo, Hm а¹ = 0.

/->+да f-»-oo

Отсюда получим:

1

lim 3^х = lim3* =

x->0+0 *->0

x>0

= t ^+00 X

при x —» 0, x > 0

lim 3^f = +oo,

14

1

1

£-»-00

lim 3^х =ШпЗ*

х^О-0 х^О

х

= lim У = О.

/-»-00

х<0

И/7И Х^О,Х<0

Так как предел справа равен бесконечности, то х = 0 является точкой раз­рыва 2-го рода. Схематичный график исследуемой функции представлен на ри­сунке 1.

Рис. 1. Схематичный график функции f₂(x)

jc + 3 ,jc < 0

3) /₃(*)

х³ + 3 , 0 < х < 1 3-jv: , jc > 1

Функция f₃(x) задана различными аналитическими выражениями на про­межутках (-оо;0), [0;1), [1;+ оо) . На каждом интервале (-а>;0), (0;1), (1;+ оо) данная функция непрерывна, но в точках перехода из одного аналитического выраже­ния в другое (при Xi = 0, х₂ = 1) условия непрерывности могут нарушиться. Для исследования точек Х\, х₂ на разрыв используем критерий непрерывности.

JC!= 0. В точке xi функция определена и /₃(0) = (х³ + 3) Найдем пределы справа и слева в этой точке:

lim /₃(jc) = lim f₃(x) = lim(x³ + 3) = 3,

x^O+0

x^O

x^O x>0

x=0

3.

lim /,(x) = lim /,(x) = lim(x + 3) = 3.

x^O-0 x^O ^J x^o

x<0

15 Получили, что пределы справа и слева равны между собой и равны зна­чению функции в точке х₁ = 0, следовательно в этой точке функция непрерывна.

2.

x=l

х₂=1 . В точке х₂ функция определена и /₃(1) = (3 - х)\ Найдем пределы справа и слева в этой точке:

ж->1 х>1

lim /3 (jc) = lim/3 (jc) = lim(3 -x) = 2,

ж->1

х->1+0

x-»l х<1

lim /₃(jc) = lim /₃(jc) = lim(x³ + 3) = 4.

x-»l

x-»l-0

Рис. 2. График функции f₃(x)

Получили, что пределы справа и слева существуют и конечны, но не рав­ны между собой, следовательно в точке х₂ = 1 функция терпит разрыв 1-го рода. График исследуемой функции представлен на рисунке 2.

16

1.3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение. Пусть функция у = f(x) определена на некотором проме­жутке Х. Производной функции Дх) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремле­нии этого приращения к нулю:

f(x + Ax)-f(x)f'(x) = lim

Av^O Ax

Значение производной в точке х₀ е Х обозначается/^) или у'\ .

J V и/ х=х₀

Под производной всегда понимается конечная производная (если предел конечен), случаи, когда допускается бесконечная производная, оговариваются специально. Операция вычисления производной функции называется диффе­ренцированием.

Геометрический смысл производной функции в точке: значение произ­водной /\хо) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции у =J{x) в точке с абсциссой х₀.

Уравнение касательной в точке (х₀; у₀) к графику функции у =/х) имеет вид:

y-y₀=f(x₀)-(x-x₀). (3)

Уравнение нормали в точке (х₀; у₀) к графику функции у = /х) имеет вид:

1

У-У₀=-тг(^х-^х₀). (4)

/О₀)

Для нахождения производных функций пользуются основными свойст­вами и таблицей производных, которые получены на основании определения производной.

17

Свойства производных (u = u(x) и v = v(x) – функции, C = const)
1) С7 = 0.
2) (u + v)' = u' + V.
3) (u-v)' = u'-V.
4) (w-v)' = w'-v + w-v'.
5) (C-u)' = C-u'.
		f и v-uv'
6)		v 2 ■
7)	[f(v(u))]' = f'-v'-u'.

Таблица производных элементарных функций

1. (х"У = п-х"-\

2. (а^х)' = а^х\па, (е^х)' = е^х.

3) (log jcV =^, (ln*)' = -.

^а ) хАъа ⁾ х

4. (cos*)'=-sin*.

5. (sin*)'= cosx

1

6) (tgjc)'

cos² *

1

7. (ctg*)' = - —

8. (arcsin*)'

1

1

\ + x²

1

\ + x²

9) (arccos*y =

10. (arctg*)' =

11. (arcctg*)'

18

12. (chx)' = shx

13. (_Shjc)' = chjc.

14. (thjc)' ^l

15. (ctiuc)'

ch²x -1

sh²*

гиперболический косинус ch x гиперболический синус sh x

Замечание. В таблице производных по формулам 12 - 15 определяются производные для гиперболических функций, которые связаны с экспонентой следующими соотношениями:

е^х+е~^х

2

shjc е^х-е~^х

2 е^х-е~^х

chjc e^x+e~^x chjc е^х+е~^х

гиперболический тангенс th x =

гиперболический котангенс cth* =

Если совместить свойство 7 для нахождения производной сложной функ­ции с таблицей производных элементарных функций, получим следующие формулы, которыми удобно пользоваться при вычислении производных слож­ных функций, если и = и(х):

1. {и^п)' = п-и^п-¹-и'.

2. {а^и)' = а^и\па-и\ (е^и)' = е^и-и'.

3) (log и)' = , (1пм)' = —.

^а иЛпа и

4. (cosu)' =-smu-u'.

5. (sin и)' = cos и -и'.

6. (tgw)' = ^ .

cos w

19

и и'

7) (ctg_M)' = -^

8. ^{^/Г^2~}

   и'

   (arcsinw)' =

9. (arccosw)' =

10. и'

    и'

    (arctgw)' =

11. (arcctgw)'

\ + и²

12. (chw)' = shww'.

13. (shw)' = chww'. и'

ch²w -и'

shV

14) (thw)'

15) (cthw)'

ПРИМЕР. Найти производные заданных функций: 1)у = 4х\ 2)у = ^5,

3)_у = 7^х2"^8х,

4)^ = 1п(х⁴-2х³ + 6),

5)>> = cos Зх.

РЕШЕНИЕ.

1) / = 4-(jc²)' = 4-2jc = 8jc,

^П 1 ^-i 1 -² 1

(х-5)

-0-5)³ .(jc-5)' = -(jc-5) ³-l =

3 3 3(^5)²

3) У = (7^л2-^8л)' = 7^х2-^8х-1п7-(х²-8хУ = 7^л2-^8л-1п7-(2х-8),

, _n 4 з ™ (x⁴-2x³+6)' 4x³-6x²+0 2x²(2x-3)

4) v = (\n(x - 2x + 6У) = = =

^{У У} )^} x 4-2x 3+6 x 4-2x 3+6 x 4-2x 3+6'

5) у' = (cos 3jc)' = - sin 3x ■ (3 jc)' = - sin 3x ■ 3 = -3 sin 3 jc.

20 ПРИМЕР. Найти производные функций

1) y = x-mctgx, 2) y = arccos^,3) у = log^(3 + 5"^x).

РЕШЕНИЕ.

х

1. 1 + х²

   1 1

   ч2

   У = О • arctg jc)' = х' ■ arctg x + х ■ (arctg jc)' = arctg x +

2. y = (arccos^y = - . ^Х -Щ =- . * _г

Vi-(V^) 2 ^{v ;} Vi-(^) 2 2v*

3) y = (log³₂(3 + 5-^x))' = 31og₂²(3 + 5-^x)-(log₂(3 + 5-^x))' =

= 31og 2 (3 + 5-x )- ' = 31og 2 (3 + 5-x ) ^{l j}

(3 + 5"^x)ln2

(3 + 5"^x)-ln2

-3 log² (3 + 5"*)

5"Mn5 (3 + 5"^x)ln2

ПРИМЕР. Найти производные функций1) ^=--л/1-4л:2 , 2) у₂=\ь •

2х РЕШЕНИЕ.

1) Вычислим производную у[, используя свойства 6 и 7, а так же табличную производную 1:

1

•(-8x)-x-Vl-4x²-l

2-Vl-4x²

Ух

Ы¹^)

X

V

у

X

-4x²-(1-4x²)

-1

;

² x² -1-4x²

x² -1-4x2 2) Используя свойства логарифмов и 2-ое свойство производных, получим:

У₂

(_л l + Vl-4x ²lIn

2х

(ln(l + Vl-4:c²)) -(1п2)'-(1шс)'

21

-(1W1-4x2) -0 — =

(1 + 1-4x 2 ) ^v ' *

1

1 .(-8jc)-- 4^x

(1 + 1-4x²) 2-1-4x² * (1 + 1-4x²)-1-4x² *

_{-4х2-(1 + 1Г4 2)-л1Г47 -4x2-^1Г47-(^1::47)2}

zz

4J²₊^1Г47₊1-4J² 1 + л1Г47 -1

+

х-(1+л1Г47)-1Г47 х(1+л1Г47)-л1Г47 *-л1Г47

ОТВЕТ:

-1 , -1

1) У₁ = / 2) ^₂

— 2) 2 / 2

1-4jc jc-V1-4jc

ПРИМЕР. Составить уравнение нормали к кривой у = 3(3Jc - 2<У*) в точ­ке с абсциссой х₀ = 1.

РЕШЕНИЕ. Для того чтобы составить уравнение нормали, найдем у₀ = у(х₀) и /(jc₀):

у ₀ = 3(1 - 2) = - 3;

/'(jc) = (3-( 3*-2V*)) = 3-(— -jc 3 -2 — jc 2 )

32 ³[х2 J*'

/'(jc₀) = /'(1) = 1-3 = -2. Подставим х₀ =1, у₀ = - 3, /^/(х₀) = - 2 в уравнение нормали (см. формулу (4)):

j/-(-3) = (л-1).

-2

После преобразования получим искомое уравнение нормали:

х - 2у - 7 = 0. ОТВЕТ: х - 2у - 7 = 0 - уравнение нормали.

22 Производная степенно-показательной функции у = (Ф)У^(х) находится с помощью метода логарифмического дифференцирования. Этот метод состоит в том, что исходную функцию сначала логарифмируют; затем преобразуют к произведению, используя свойства логарифмов, и находят производную от ле­вой и правой части уравнения, в котором содержится заданная функция; нако­нец из полученного уравнения выражают искомую производную. Покажем вы­вод формулы производной степенно-показательной функции методом лога­рифмического дифференцирования:

y = u^v, 1п>' = 1п(м^у), \ny = v-\nu, (\ny)'=v'-\nu + v(\nu)\

£ = v'-1nu + v- — ,

У и

V • 1Jy' = y.(_V'-\nU + ),

и

и Таким образом, получили формулу для вычисления производной степен­но-показательной функции:

V • U

(u v )' = u v-(v'-\mi + ). (5)

и

ПРИМЕР. Найти производную функции у = (sinx)^cosx . РЕШЕНИЕ. В нашем случае и = sinx, v = cosx, следовательно, и' = cos x, v' = - sin x Поэтому из формулы (5) следует

((sin*)⁰⁰")' = (smx)"»* .(-smx.\nsmx₊^C0SX-^C°^SX\^{v 7} sinx

y' = (sin x)^cosx • (ctg x ■ cos x - sin x ■ In sin x). ОТВЕТ: у' = (sin x)^cosx • (ctg x ■ cos x - sin x ■ In sin x).

23

Утверждение. Производная у'(х) по переменной х от функции, заданной

(х = X(t),

в параметрическом виде i , определяется по формуле [ у = Y(t)

J^

_х:

(6)

Определение. Производной п-го порядка f ⁽ⁿ⁾{x) от функции j/ = f{x) на­зывают первую производную от (и-1)-ой производной, т.е.

/^(и)(*) = (/^(и_1) (*))'•

Из определения следует, что вторая производная от заданной функции есть первая производная от первой производной этой функции, и вычисление производных порядка больше первого сводится к вычислению первой произ­водной от новых функций.

Получим формулу для вычисления второй производной у" по перемен-

\х = X(t\ ной х от функции, заданной в параметрическом виде j = y(t) :

у" =(у'У

У XX \УХУХ

\X'tJx

Необходимо вычислить первую производную от новой функции, задан­ной в параметрическом виде, применив формулу (6) к функции

\х = X(t),

\ > Yt

V —

_{Vх х\}

Следовательно,

У

_{(у У}

х[

t

(J)

24 ПРИМЕР. Найти первую и вторую производную функции, заданной в па­раметрическом виде

fx = lncos?, [.у = In sin?.

РЕШЕНИЕ. Для того чтобы найти первую производную у, вычислим первые производные по переменной ? от х и у:

x_t —

sin/¹ , cos?

sint

cost

Тогда по формуле (6) имеем

. COS?COS? 2

У\ = - , =-ctg²?. sin? sin?

Вторую производную находим по формуле (7):

(y'J_t (-ctg²p; g^K _Sm²?

sin t

sin t

V = =

cost

cost

У XX

)

^cost

sint

2 cos?

sin³?

2cos²?

sin⁴?

ОТВЕТ:

^=-ctg²?,

„ 2 cos²?

V —

^Ухх sm4?

25 I.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение. Дифференциалом функции у = (*) называется произведе­ние производной функции на дифференциал переменной и обозначается dy = f(x)-dx. Дифференциал независимой переменной есть приращение этой переменной: dx = Ax.

Из определения дифференциала следует еще одно представление первой производной через дифференциалы:

S„ <fy

1 (х) = —

dx . Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции в не­которой точке равен приращению ординаты касательной, проведенной в этой точке: Ду_кас = dy (см. рисунок 3). Это следует непосредственно из уравнения касательной в точке (см. формулу (3)). Если обозначить у~y₀=Аy_кас., х - х₀ = Ах = dx, то уравнение касательной можно записать в виде: Ау_кас = f'(x₀)■ Ах, или Ду_кас = dy

Рис. 3. Геометрический смысл дифференциала

26 Из геометрического смысла дифференциала следует формула прибли­женного вычисления функции через дифференциал. При малых приращениях переменной приращение функции можно заменять приращением касательной (см. рис. 3), т.е. при малых Ах справедливо приближенное равенство

Ау~Ау_кас = f'(x₀)-Ax.

Так как Ay = f(x₀ + Ах) - f(x₀), то получаем формулу приближенного вычисления функции в некоторой точке близкой к х₀:

f(x₀ + Ах) « Дх₀) + f(x₀ ) • Ах. (8)

ПРИМЕР. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение

'tw^

функции /(*) = _A4/2*-sin

\ ^ J

в точке х = 1,02.

РЕШЕНИЕ. Для того чтобы применить формулу приближенного вычис­ления (8), сначала необходимо определить, что взять за х₀. Так как Ах должно быть маленьким и желательно, что бы функция хорошо вычислялась в точке х₀, то предпочтительно взять х₀ = 1. Тогда Ах = х-х₀ = 1,02-1 = 0,02. Теперь необходимо найти значения функции и производной в точке х₀ = 1:

' 7DC ^

/(jc ) = /(!) = 4 2-1 -sin

/'(*)

4/2х - sin

V ^ J

_Г—1

v 2 ,

]/

4v

*[Га=*Ц = \,

_2JJ

2х - sin

2-cos

IZX

71

2

_Vzy2;

/'(jc ) = /'(!) = -

2 • 1 - sin

^•lVf⁴ 2 JJ

2-cos

'л-1^ 7^

v, 2 /2

= --(2-l)"i(2-0) = --l-2 = -. 4 v / v / 42

Подставляем полученные значения в формулу (8), вычисляем прибли­женное значение функции:

/(1,02) */(1) + /'(1)- Ах «1 + 0,5-0,02 «1 + 0,01 «1,01. ОТВЕТ:(1,02) ≈ 1,01.