МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный университет дизайна и технологии»

Кафедра «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

«Предел, непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной переменной»

(для выполнения контрольной работы по математике № 2)

для направлений подготовки

262200 – Конструирование изделий лёгкой промышленности

262000 – Технология изделий лёгкой промышленности

261700 – Технология полиграфического и упаковочного производства

240100 – Химическая технология

151000 – Технологические машины и оборудование

100800 – Товароведение

080200 – Менеджмент

Новосибирск, 2012

2

УДК 516/517

Составитель: к.т.н., доцент И.Ю. Соколовская Рецензент: д.т.н., профессор В.А. Заев

Работа подготовлена кафедрой Высшая математика

Методические указания. – Новосибирск, Изд. НТИ (филиал) «МГУДТ», 2012, С. 46, Рис.6, Список литературы 8 названий.

3 Содержание

Введение…………………………………………………………………… 4

I. Теоретические сведения и примеры к контрольной работе № 2

1. Предел функции одной переменной .……………………….... 5

2. Непрерывность функции одной переменной ……………….... 12

3. Производная функции одной переменной ……………….…. 16

4. Дифференциал функции одной переменной………………….. 25

5. Полное исследование функции одной переменной ………….. 27

II. Теоретические вопросы по теме «Предел, непрерывность, диффе­ренциальное исчисление функции одной переменной» для подготов­ки к зачету……………………………………………...………….…..…... 37

3. Задания контрольной работы № 2…………………………………… 39

4. Варианты заданий для контрольной работы № 2…………………... 39 Литература………………………………………………………………… 44

Приложение«Требования к оформлению контрольной работы по математике» 45

4 Введение

Методические указания предназначены студентам 1 курса заочной формы обучения для выполнения контрольной работы № 2 по математике. В первой части предложен краткий теоретический материал с решением типовых задач по темам: предел, непрерывность и дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Во второй части дан список теоретических вопросов, необходимых для подготовки к зачёту экзамену по теме второй контрольной работы.

Третья часть состоит из пяти заданий контрольной работы № 2. Студент должен полностью выполнить задачи во всех заданиях с условием своего вари­анта. Номер варианта (с 1-го по 9-ый) определяется по последней цифре номера студенческого билета (или зачётной книжки). Последняя цифра в номере сту­денческого билета «0» соответствует 10-му варианту контрольной работы.

Предлагаемый в конце список литературы поможет студентам более под­робно ознакомиться с изучаемым в 1-ом семестре материалом по курсу матема­тики. В Приложении даны правила оформления контрольной работы по мате­матике и образец титульного листа.

5 I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2

1.1. Предел функции одной переменной

Определение. Пусть Х - область определения функции у = Дк). Число А называется пределом функции Дх) в точке х₀, если для любого s > О существу­ет такое 8 = 8{s) > О, что для всех х еХ,хф х₀ и удовлетворяющих условию

х - х₀ <д выполняется неравенство \f(x) - A< s.

В этом случае приняты следующие обозначения предела:

limfx) = A или fx) -> A

x^xо x^x₀

Определение. Если limf(x) = 0₅ то функцию Ях) называют бесконечно

x->x₀

малой функцией при х -> х₀. В этом случае для любого s > О существует та­кое <5 = S(s) > О, что для всех х е Х, х Ф х₀ и удовлетворяющих условию

х-х₀ < 8 выполняется неравенство \f{x)\ < ^s ■

Так, например, функция f{x) = х² является бесконечно малой при х -> 0, а функция g(x) = х 1 - бесконечно малой при х -> 1.

Определение. Функцию/х) называют бесконечно большой функцией при х ^ х₀ (или при х -» оо), если для любого Е > 0 существует такое 8 = 8(E) > О, что для всех х еХ,хф х₀ и удовлетворяющих условию

| х - х₀1 < 8 (соответственно \х\>8) выполняется неравенство \f(x)\ > Е .

В этом случае записывают limf(x) = оо (соответственно lim/(*) = «>) и

x->x₀ х->да

говорят, что функция /jc) стремится к бесконечности при х -> х₀ (соответст­венно при х -> со). Так, например, функции Дк) = х² и g(x) = 5^х' являются бесконечно большими при х -> оо .

6

Так же говорят, что функция fix) стремится к плюс бесконечности прих^х₀, и пишут lim/0) = +oo (либо к минус бесконечности,

х—>х₀

lim f(x) = -00) если для любого Е > 0 существует такое 8 = д(Е) > 0, что для

х—»х₀

всех х еХ,хфх₀ и удовлетворяющих условию х-х₀ < 5 выполняется нера­венство /(*) > Е (соответственно, выполняется неравенство /(*) < -Е).

Замечание. Бесконечно малая функция является обратной к бесконечно большой и, наоборот, при одном и том же стремлении х -> х₀. Например,

lim- = oo и lim- = 0

Определение. Пределом слева функции fix) в точке х₀ называется предел функции при условии, что^х₀ иК1₀, и обозначается

lim /О) = lim/О)

х->х₀-0 х->х₀

х<х₀

Определение. Пределом справа функции fix) в точке х₀ называется предел функции при условии, что х -> х₀ и х> х₀, и обозначается

lim fix) = lim/(jc)

x->x₀+0 х->х₀

х>х₀