36 II. Теоретические вопросы по теме

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

37. Матрицы: определение, виды, операции сложения, вычитания, умножения на число, транспонирования.

38. Матрицы: определение, виды, операция умножения матриц.

39. Определители 2-го и 3-го порядка, вычисление и свойства.

40. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы.

41. Определение обратной матрицы и её вычисление.

42. Стандартный вид системы линейных уравнений, матричная запись системы уравнений, методы решений.

43. Понятия совместной, несовместной, определённой и неопределённой сис­тем линейных уравнений. Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли.

44. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

45. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

46. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

47. Система координат. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в заданном отношении.

48. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по координатным осям. Направляющие косинусы вектора. Понятие орта вектора.

49. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление с помощью координат, физический смысл.

50. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление с помощью координат, физический и геометрический смысл.

51. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление с помощью координат, геометрический смысл.

52. Прямая на плоскости: виды уравнений.

53. Взаимное расположение прямых на плоскости: угол между прямыми, усло­вия параллельности и перпендикулярности прямых.

37

18. Нормальное уравнение прямой. Отклонение и расстояние точки от прямой

на плоскости.

54. Классификация кривых второго порядка.

55. Эллипс: определение, характеристики, каноническое уравнение.

56. Гипербола: определение, каноническое уравнение, характеристики.

57. Парабола: определение, канонические уравнения, характеристики.

58. Преобразования декартовой прямоугольной системы координат: параллель­ный перенос и поворот.

59. Уравнения плоскости в пространстве.

60. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение и расстояние точки от плос­кости.

61. Взаимное расположение плоскостей в пространстве.

62. Уравнения прямой в пространстве.

63. Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому ви­ду.

64. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве, угол между прямой и плоскостью.

65. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

66. Нахождение точки, симметричной заданной точке относительно некоторой плоскости.

67. Нахождение точки, симметричной заданной точке относительно некоторой прямой в пространстве.

68. Поверхности второго порядка (канонические уравнения и рисунки): парабо­лоиды, гиперболоиды, эллипсоид.

69. Поверхности второго порядка (канонические уравнения и рисунки): кониче­ские поверхности и цилиндры.

38 III. ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

Задание 1. Вычислите (A-B)^T и A^T B^T , сравните результаты.

Задание 2. Решить систему уравнений матричным методом и другим ме­тодом на выбор (Крамера или Гаусса).

Задание 3. Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) урав­нение стороны АВ; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины В; 3) урав­нение высоты, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой, проходящей через вершину С и параллельной стороне АВ. Сделать чертеж.

Задание 4. Даны вершины пирамиды А_хА₂АъА_А. Найти: 1) длину ребра А_ХА₂; 2) угол между ребрами А_ХА₂ и А_ХА₄; 3) площадь грани А_ХА₂А₃; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой, на которой лежит ребро А_ХА₂; 6) уравнение плоскости А_ХА₂А₃.

Задание 5. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду и построить ее.

IV. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ№ 1

ВАРИАНТ № 1

ВАРИАНТ № 2

1

0 (2 2)

1. Л =

1 1

0 1

В =

[ х - у + 7z = 6, 2x + 3y-3z = 10,

2.

3x + 2y + 5z = 17.

70. Д2; 1),5(-1; 0), С(2; 3).

71. А_х{4; 2; 5), А₂(0; 7; 2), Л₃(0; 2; 7), ,4₄(1; 5; 0).

72. 4х² + 9у² - 8х + 18у - 23 = 0.

2 2 -1 1

В =

(2 0^j

1. ^А =

0 -1

[ 4* + 9y + 2z = 1, 7x + y-4z = -13,

2.

8* + 3j/ + z = -13.

73. Д1; -1),£(0; -1), С(3; -3).

74. А_х(4; 4; 10), А₂(4; 10; 2), А₃(2; 8; 4), Л₄(9; 6; 4).

5. x² - 25/- 2x- 50j/- 49 = 0.

39

ВАРИАНТ № 3

ВАРИАНТ № 4

2^ 2 0Л

в =

0 1

1.-4 =

2

(-2

1. А =

J

1 1

8x + 4j/ + 3z = 7, 2x + 6y-2z = 4,

2.

3x + 10y + z = 11.

75. А2; -1), В(-1; 1), С(2; 3).

76. А_г(4; 6; 5), А₂(6; 9; 4), А₃(2; 10; 10), А₄(7; 5; 9).

5. у - 3х + 4у + 13 = 0.

'-1	0 N	,fi =	'-2	2s
[ 1	-1		10	1

10jt + j/ + 3z = 19, 3x + 4j/ + 9z = 30,

x + 2y + 2z = 7.

3. А(5; -4), В(-2; 2), С(-1; 2).

4. А₁(3; 5; 4), А₂(8; 7; 4),А₃(5; 10; 4), А₄(4; 7; 8).

5. 25х² + 4у² + 100х – 8у + 4 = 0.

ВАРИАНТ № 5

ВАРИАНТ № 6

1. A =

-1 0 1 1

B =

-2 2 0 1

1. A =

-1 0 1 1

B =

-2 0 0 1

2.

2.

3. 4.

5.

\2x + y + 5z = 24, 4x + 3y + 3z = 20, x + 6y + z = 6.

А(0; 2), В(4; -1), С(6; -2).

Аi(10; 6; 6), А₂(-2; 8; 2), А₃(6; 8; 9), А₄(7; 10; 3). 49х² 9у 294х– 36у+846 = 0.

I x + 3y + 4z = 7, 7x + 4y + 8z = 32, 3x + 2y + 5z = 14.

3.

А(-3; 0), В(5; -3), С(-1; 4).

4. А₁(1; 8; 2), А₂(5; 2; 6),А₃(5; 7; 4), А₄(4; 10; 9).

5. х² – 10х + 4у + 29 = 0.

40

ВАРИАНТ № 7

ВАРИАНТ № 8

1. Л =

(2 0

2 1

В =

( 1 0^

-1 1

1.-4 =

М =

1

f2 0^ f-2 2^

0 1

2.

3. 4.

5.

\ x + 4y + 6z = 14, -2x + 7y + 4z = 18,

3x + 2y + 2z = 6.

А (-1; 7), В(2; -4), С(1; -3). А1(6; 6; 5), А₂(4; 9; 5), А₃(4; 6; 11), А₄(6; 9; 3).

2х² + у² + 12х - 2у + 17 = 0.

₂ \ 4x + 8y + z = 18,

3x + 5y + 4z = 33.

77. А (4; 3), В(4; 0), С(-2; 1).

78. А₁(7; 2; 2), А₂(5; 7; 7), А₃(5; 3; 1), А₄(2; 3; 7).

5. х² - у ² - 4х + 4у - 2 = 0.

ВАРИАНТ № 10

1 0

В =

1.-4 =

1

-2 0 0 1

2

f7x + 4j/ + 3z = 2, 2x + 3y + 4z = -5, x + 5y-2z = -13.

3. А(6; 5), В(1; 4), С(- 4; -3).

4. А₁(7; 7; 3), А₂(6; 5; 8),А₃(3; 5; 8), А₄(8; 4; 1).

5. 6х ²+ 5у² + 12х + 10у – 19 = 0.

41 ЛИТЕРАТУРА

79. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 224 с.

80. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 2004. – 200с.

81. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии: учебное посо­бие / В.К. Барышева, Е.Г. Пахомова, О.В. Рожкова; Томский политехни­ческий университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического уни­верситета, 2010. – 152 с. [электронный ресурс] / режим доступа http://portal.tpu.ru/departments/otdel/publish/catalog/2010/metod_2010/avtor/l ekzii_lin_alg_anal_geom_zachita.pdf

82. Шипачев В.С. Курс высшей математики. – 3-е изд., испр. – М.: Оникс, 2007. – 600 с.

83. Образовательный математический сайт Exponenta.ru [электронный ре­сурс] / режим доступа http://www.exponenta.ru/map.asp

42

ПРИЛОЖЕНИЕ

ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ