31 1.7. Кривые второго порядка

Уравнение кривой второго порядка, заданное в общем виде: Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0,

всегда можно привести к каноническому виду путем преобразований сис­темы координат (параллельным переносом и поворотом). Существует три типа кривых второго порядка - эллиптический, гиперболический и параболический.

Канонические уравнения кривых второго порядка Эллиптический тип:

х² у² (7.1) — + 2 ⁼ 1 - эллипс (см. рис. 10);

a

Ъ²

х² у² (7.2) — + т₂ = -1 - мнимый эллипс (не имеет геометрического образа);

x² y²

a²

(7.3) 2 + т₂ = 0 - точка, начало координат (0,0)

Рис. 10. Эллипс, заданный уравнением (7.1) с полуосями a и b

Гиперболический тип:

х² у²

(7.4) ₂ - —2 = 1 - гипербола (см. рис. 11а);

х² у²

(7.5) ₂ ~ ₂ = -1 - сопряженная гипербола (см. рис. 11б);

х² у²(7.6) ₂ ^_ 7₂ ⁼ 0 - пара пересекающихся прямых (см. рис.11в).

32

а) б) в)

Рис. 11. Кривые гиперболического типа: а) гипербола, б) сопряжённая гипербола, в) пара пересекающихся прямых.

Параболический тип:

34. x² = 2py – парабола, симметричная относительно оси ОУ, ветви направле­ны вверх (см. рис. 12а);

35. x² = –2py – парабола, симметричная относительно оси ОУ, ветви направ­лены вниз (см. рис. 12б);

36. y² = 2px – парабола, симметричная относительно оси ОХ, ветви направле­ны вправо (см. рис. 12в);

(7.10) y² = – 2px – парабола, симметричная относительно оси ОХ, ветви направ­лены влево (см. рис. 12г);

а)

б)

в) г)

Рис. 12. Параболы, заданные уравнениями: а) (7.7), б) (7.8), в) (7.9), г) (7.10)

33

(7.11) х² – а² = 0 – пара параллельных прямых, проходящих через точки х = а и

х = – а параллельно оси ОУ (см. рис. 13а);

(7.12) у² – а² = 0 – пара параллельных прямых, проходящих через точки у = а иу = – а параллельно оси ОХ (см. рис. 13б);

(7.13) х² + а² = 0 и у² + а² = 0 – пары мнимых параллельных прямых, неимеющих геометрических образов.

а) б)

Рис.13. Пары параллельных прямых, заданных уравнениями: а) (7.11), б) (7.12)

ПРИМЕР.

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду и по­строить ее: 1) Зх² + Sу² + \2х 48у + 60 = 0; 2) 4у² -Зх - 4у + 7 = 0. РЕШЕНИЕ.

1) Преобразуем уравнение, выделяя полный квадрат для переменных х и у (по формулам а² ± 2ab= a² ± 2аЪ + Ъ¹ Ъ²= (a ± bf b²):

Зх² + \2х + 8у² 48у + 60 = 0,

3(х² + 4х) + 8(у² - 6у) + 60 = 0,

3(х² + 4х + 4 - 4) + 8(у² - 6у + 9 - 9) + 60 = 0,

3(х + 2)² 12 + 8у З)² - 72 + 60 = 0,

3(х + 2)² + 8у - 3)² = 24,

(х + 2)² (у-3)² 18 3

Сделаем замену х = х + 2, у = у - 3, которая соответствует параллель­ному переносу осей координат ОХ, ОУ так, чтобы начало координат системы

34 ХОУ перешло в точку с координатами (- 2; 3). Получим уравнение линии в но­вой системе координат

х'² у'² — +— = 1 8 3

Полученное уравнение есть каноническое уравнение эллипса (см. уравне­ние (7.1)) с полуосями а = л/8 и b = 3. Эллипс приведен на рисунке 14.

Рис. 14. Эллипс относительно систем координат ХОУ и Х ^/О ^/У ^/

2) Преобразуем уравнение, выделяя полный квадрат для переменной у (аналогично предыдущему случаю):

4у² – 4у – 3х +7 = 0,

₂ 11

4(у – у + ₄ – ₄ ) – 3х + 7 = 0,

1 ₂ 4(у – ₂ ) – 1 – 3х + 7 = 0,

1 ₂ 4(у – ₂ ) = 3х – 6,

1 ₂ 4(у – ₂ ) = 3(х – 2),

1 ₂ 3

(у – ₂ ) = ₄ (х – 2).

35

/ / 1

Сделаем замену х = х - 2, у = у - ~, которая соответствует параллель­ному переносу осей координат ОХ, ОУ так, чтобы начало координат системы

1 ХОУ перешло в точку с координатами (2; т). Получим уравнение линии в но­вой системе координат

у'2=-х' 4 ,

которое является каноническим уравнением параболы (см. уравнение (7.9)).

Рис. 15. Парабола относительно систем координат ХОУ и Х ^/О ^/У

Парабола приведена на рисунке 15.