24 1.5. Плоскость в пространстве

Плоскость а в трёхмерном пространстве в декартовой системе координат

может быть задана одним из следующих уравнений:

(5.1.) Ах + By + Cz + D = О - общее уравнение плоскости, где N = {А; В; С}– нормальный вектор к этой плоскости (см. рис. 4);

(5.2.) А(х - jc₀) + В(у- уо) + C(z - z₀) = 0 - уравнение плоскости, проходящей че­рез точку М₀(х₀; уо', z₀) с вектором нормали TV = \А; В; С);

х у z

(5.3.) ^— + у + ^— = 1 - уравнение плоскости «в отрезках» (если плоскость не а о с

проходит через начало координат), где а, Ь, с - величины отрезков, отсе­каемых плоскостью на координатных осях OX, OY, OZ соответственно (см. рис. 4);

х- х₁ у-У₁ z- z₁

(5.4.)

х₂ -x₁ y₂- y₁ z₂

Z

1

0

уравнение плоскости, проходящей через

х₃ -x₁ y₃- y₁ z₃ - z₁

три точки M₁(x₁; y₁; z₁), M₂(x₂; y₂; z₂), M₃(x₃; y₃; z₃) (см. рис. 4).

Рис. 4. Плоскость в декартовой системе координат ХУZ

25

Замечания:

28. Если две плоскости а_х и а₂ параллельны, то нормальный вектор N_x плоскости а_х коллинеарен нормальному вектору N₂ плоскости ос₂ (см. рис. 5).

29. Если а,±а₂ (плоскости перпендикулярны), то нормальные векторы будут

перпендикулярны N₁1N₂; отсюда следует, что их скалярное произведе­ние равно нулю N1 • N₂ = 0.

3) Если плоскость а_х пересекает плоскость сх₂ под углом (р (см. рис. 6), то

N_x -N₂

N, ■ N₂

по формуле (4.2) предыдущего пункта можно найти cos<p =

Рис. 5. Параллельные плоскости

Рис. 6. Пересекающиеся плоскости

26 1.6. Прямая в пространстве

Прямая L в пространстве в декартовой системе координат может быть за­дана одними из следующих уравнений:

(6.1)

\A_xx + B_xy + C_xz + D_x = 0,

A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

общие уравнения прямой, где первое и второе

уравнения определяют не параллельные плоскости а_х и ос₂ , пересечением ко­торых образована данная прямая L (см. рис. 7);

X - Х_п V- Уп Z - Z_n

т

п

p

(6.2)

канонические уравнения прямой, проходящей

через точку М₀(х₀; Дь ^о) с направляющим вектором S = \т,п,р\ (см. рис. 7);

| х = х₀ + т ■ t,

(6.3)

у = у0 + п ■ t, – параметрические уравнения прямой, где М0(х0; у0; z0) z = z₀+ p-t

координаты направляющего вектора

точка, лежащая на прямой L, а т, п, р

£ = {т;я;/?}(см. рис. 7);

х- х

(6.4)

У~У\ z-z_x

х₂ -х_х у₂- у_х z₂ - z_x

уравнения прямой, проходящей через две точ-

ки M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂) (см. рис. 7).

Рис. 7. Прямая L в пространстве как пересечение плоскостей

27 Замечания:

30. Если две прямые L ₁ и L ₂ параллельны, то направляющий вектор S1 прямой L1 коллинеарен направляющему вектору S₂ прямой L₂.

31. Если А _L Ь₂ (прямые перпендикулярны), то направляющие векторы будут

перпендикулярны ^ _L S₂.

3) Один из смежных углов между прямыми L1 и L₂ определяется по формуле

S₁ ■ S₂

costf? =

S1- S₂

32. Если прямая L перпендикулярна плоскости ос , то направляющий вектор S прямой L будет коллинеарен нормальному вектору jV плоскости ос .

33. Если прямая L пересекает плоскость ос под углом ф (угол между прямой и плоскостью есть острый угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость), то его можно определить из формулы, полученной далее. Обо­значим через у/ угол между направляющим вектором S прямой L и нор­мальным вектором jV плоскости ос . Рассмотрим два случая (см. рис. 8): у/ - острый (рис. 8а) и у/ - тупой (рис. 8б).

а) б)

Рис. 8. Пересечение прямой и плоскости в пространстве под углом <р, где угол ц/ между нормалью плоскости и направляющим вектором прямой:

а) острый, б) тупой

28

В

первом случае имеем

71V|/ = ф и,

следовательно,

71

cos\|/ = cos( ^-(p) = sin(p. Во втором случае будет У = - + ф и, следователь-

но,

2

cos у = cos(- + ф) = - sin ф . Отсюда

получаем, что

2

cos v|/, 0 < v|/ <

л

sinq) = ^

I - cos vi/, — < vi/ < тгI 2

cosvm

iV-S

_s

TV

^

N-S

S

TV

т.е. угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

N-S sinq) =

_s

TV

(6.5)

ПРИМЕР.

Пусть А₁(–1; 1; 0), А₂(3; 5; 1), А₃(5; 5; 2), А₄(1; –2; 3) вершины пирамиды, требуется найти: а) уравнения прямой А₁А₂; б) уравнение плоскости А₁А₂А₃; в) угол между ребром А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃; г) точку М ^/, симметричную точке М₀(5;0;-2) относительно плоскости А₁А₂А₃.

РЕШЕНИЕ.

а) Используем уравнения вида (6.4), так как известны координаты точек А₁ и А₂ , через которые проходит искомая прямая:

JC

(-1) y-1 z-0

3-(-1) 5-1 1-0

или

4

x+1 y-1

4

z

₁

канонические уравнения

прямой А₁А₂ .

б) Используя уравнение плоскости вида (5.4), так как известны координа­ты трех точек А₁, А₂ и А₃, через которые проходит искомая плоскость, получим

jc + 1 y-1 z-0 3+1 5-1 1-0 5+1 5-1 2-0

0

Преобразуем определитель, стоящий в левой части уравнения:

29

x + 1	y-1	z
4	4	1
6	4	2

4-(x + 1)-2-(y-1)-8-z = 4x-2y-8z + 6

Отсюда уравнение плоскости А1А₂А3 имеет вид:

4x - 2y - 8z + 6 = 0, или 2x - y - 4z + 3 = 0. в) Угол между ребром А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃ найдем, используя фор­мулу (6.5) из замечания 5). Нормальный вектор плоскости А₁А₂А₃ берем из

уравнения, полученного в предыдущем пункте: Л^ = {2;-1;-4), а направляю­щий вектор прямой А₁А₄ будет равен S = ~А ₁ А ₄ = {2; - 3; 3}. Тогда

sin^ =

N-S

-

N ■ S

5

2-2 + (-1)-(-3) + (-4)-3

л/4 + 1 + 16-л/4 + 9 + 9 V462

следовательно

<р = arcsm

5

л/462

*13°2Т.

г) Точка М ^/, симметричная точке М₀ относительно плоскости А₁А₂А₃, ле­жит на прямой, перпендикулярной этой плоскости, и отстоит от точки пересе­чения прямой и плоскости на том же расстоянии, что и точка М₀ (см. рис. 9).

Рис. 9. Симметричные точки относительно плоскости

Найдем уравнение прямой М₀М ^/. Так как М₀М ^/ перпендикулярна плоско-

сти А1А₂А₃, то в качестве направляющего вектора прямой М₀ М можно взять нормальный вектор плоскости ААА3: S_M0M, = Ы_АЛА = {2; -1; - 4}.

30 Используя (6.3), получим параметрические уравнения М₀ М :

\x = 5+2t,

z = -2- 4t.

Найдем координаты точки Р, которая является пересечением прямой и плоскости А\А₂А_Ъ. Для этого подставим уравнения МоМ в уравнение плоскости А_ХА₂А_Ъ:

2(5 + 20- (-0- 4(- 2 - 40+3 = 0, 2k + 21 = 0, t = –\. Координаты точки пересечения Р получим, подставив найденный пара­метр t = - 1 в уравнения прямой МоМ⁷:

Г х_Р = 5-2 = 3, | _у_р = -(-1) = 1,

z_p = -2-4-(-1) = 2,

таким образом Р3; 1; 2).

Так как Р является серединой отрезка МоМ⁷ (см. рис. 9), то по формулам деления отрезка пополам имеем:

^хм₀ + ^хм' Ум₀ + Ум> ^zm₀ + zw

х_р = , у_Р = , z_p = .

^р 2 ^Р 2 ^Р 2

Отсюда получим координаты искомой точки М⁷:

[ х_м, =2х_р-х_М0 =2-3-5=1, \ у_м, =2у_Р-у_м =2-1-0=2, z_M, = 2z_p - z_M0 = 2 ■ 2 - (-2) = 6,

таким образом М⁷(1; 2; 6) - точка, симметричная М₀ относительно плос-

кости А_гА₂Аз.

х+1 v-1 z ОТВЕТ: а) —4 = —4 = 1 - канонические уравнения прямой А_ХА₂;

б) 2х -у-Az + 3 = 0 - общее уравнение плоскости А_гА₂А₃;

в) угол между ребром А_ХА_Л и плоскостью А_ХА₂А_Ъ равен ф * 13° 27';

г) М⁷(1; 2; 6) - точка, симметричная М₀ относительно плоскости А\А₂А₃.