МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный университет дизайна и технологии»

Кафедра «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

(для выполнения контрольной работы по математике № 1)

для направлений подготовки

262200 – Конструирование изделий лёгкой промышленности

262000 – Технология изделий лёгкой промышленности

261700 – Технология полиграфического и упаковочного производства

240100 – Химическая технология

151000 – Технологические машины и оборудование

100800 – Товароведение

080200 – Менеджмент

Новосибирск, 2012

2

УДК 516/517

Составитель: к.т.н., доцент И.Ю. Соколовская Рецензент: д.т.н., профессор В.А. Заев

Работа подготовлена кафедрой Высшая математика

Методические указания. – Новосибирск, Изд. НТИ (филиал) «МГУДТ», 2012, С. 43, Рис.15, Список литературы 5 названий.

3 Содержание

Введение…………………………………………………………………… 4

I. Теоретические сведения и примеры к контрольной работе № 1

1. Матрицы и определители…………….……………………….... 5

2. Решение систем линейных уравнений……………………….... 12

3. Прямая на плоскости ……………………………………….…. 16

4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов 20

5. Плоскость в пространстве…………………………………….. 24

6. Прямая в пространстве………………………………………... 26

7. Кривые второго порядка………………………………………. 31

II. Теоретические вопросы по теме «Векторная алгебра и аналитиче­ская геометрия» для подготовки к зачету……………...………….…..… 36

8. Задания контрольной работы № 1…………………………………… 38

9. Варианты заданий для контрольной работы № 1…………………... 38

Литература………………………………………………………………… 41

Приложение

«Требования к оформлению контрольной работы по математике» 42

4 Введение

Методические указания предназначены студентам 1 курса заочной формы обучения для выполнения контрольной работы №1 по математике. В первой части предложен краткий теоретический материал с решением типовых задач по теме «Векторная алгебра и аналитическая геометрия».

Во второй части дан список теоретических вопросов, необходимых для подготовки к зачёту по теме первой контрольной работы.

Третья часть состоит из пяти заданий контрольной работы №1. Студент должен полностью выполнить задачи во всех заданиях с условием своего вари­анта. Номер варианта (с 1-го по 9-ый) определяется по последней цифре номера студенческого билета (или зачётной книжки). Последняя цифра в номере сту­денческого билета «0» соответствует 10-му варианту контрольной работы.

Предлагаемый в конце список литературы поможет студентам более под­робно ознакомиться с изучаемым в 1 семестре материалом по курсу математи­ки. В Приложении даны правила оформления контрольной работы по матема­тике и образец титульного листа.

5 I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №1

1.1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определение. Матрицей размерности т*п (говорят «т на и») называется таблица чисел, которая состоит из т строк и п столбцов:

[ 6*1 6*1 * 6*i

^21 ^2 2

2«

*1и

I

^ =

^да 1 ^да 2

Я.

Числа djj называют элементами матрицы, где / - номер строки (/' = 1,/и),

j - номер столбца (J = йг). Элемент а_п читается «а один один», а не «а один­надцать».

Определение. Матрица называется квадратной, если т = п. Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется её порядком.

Определение. Элементы а_и, а₂₂, ..., a_t j,..., a„„ называют главной диаго­налью матрицы; элементы а.\_п, а_2п.\,- ■ .,а_п\- побочной диагональю.

Определение. Квадратную матрицу, у которой элементы главной диагона­ли равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называют единичной матрицей

'1 0 ••• 0^Л

0 1 ••• 0 Е =

{0 0

Определение. Матрицу, все элементы которой равны нулю, называют ну­левой матрицей.

Определение. Вектор-строкой называют матрицу размерности 1 т

А = (а₁₁ а₁₂ ... а_ы).

6

Определение. Вектор-столбцом называют матрицу размерности п ×1

(^а₁Л

_в

21

a

'

a

п1 у

Определение. Транспонированной называют матрицу А^т , которая получа­ется из матрицы А путем замены строк столбцами

а

а

а

а

^тихи

12

a

а21 а22

1 л

2п

А\

^а\1 ^а21

^а\2 ^а22

т 1

т 2

^ат1 ^ат2

а_т1

^а\п a2i

а_т1

Операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число, при этом каждый элемент матрицы ум­ножается на это число:

В = к-А, если Ь_и = ha_tj , i = 1,m,j = 1,n, k^R. 2. Сложение матриц. Складывать (вычитать) можно матрицы только одинаковой размерности, при этом получается новая матрица той же размерно-

сти:

С = А + В, если с_и = а_и + Ь_и, i = 1,mj = 1,n. 3. Умножение матриц. Умножать можно матрицы только определённой размерности, при этом число столбцов левой матрицы должно совпадать с чис­лом строк правой матрицы. Размерность произведения определяется по правилу

(т×р) ■ (р×п) = (т×п):

p

С = А ■ В, если с_{]- = а_п■ b_Xj + a_{i 2}- b_2J + a_{i p} b_{p j} = XaA, i = 1,™j = 1,n

k=1

Замечание: Если существует произведение А В, то отсюда не следует, что определено произведение ВА. Если оба произведения АВ и ВА определены, они могут иметь разную размерность и в общем случае А-В ≠ВА.

7

Определение. Элементарными преобразованиями матриц называют сле­дующие преобразования:

• перестановка строк (столбцов);

• умножение какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля;

- прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умно­женной на какое-нибудь число.

Определение. Матрицы A и A^*, которая получена в результате элементар­ных преобразований из матрицы A, называются эквивалентными: A ~ A^*.

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое определителем, который обозначается:

detA = AA = \A\

a_xx a_X2

a 2_X a 22

a m\ a m2

aXn

a2n

amn

Вычисление определителей 1-го, 2-го, 3-го порядка

10. Определитель матрицы первого порядка \А\ = \а_хх \ = а_хх.

11. Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле

A

^а\ 1 ^а\2

^а2\ ^22

= а_па₂₂-а12а21

3. Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по формуле

aa a

11 12 13

aa a

21 22 23

A

= а_па₂₂а_ъъ + а12а2_Ъа_Ъ1 +а21а32а_и -а_иа₂₂а31 -а2_Ъа_Ъ2а_п - а12а21а33

aa a

31 32 33

Для запоминания последней формулы существует мнемоническое прави­ло треугольника

(+)

	(-)
a 11	a 12	a 13
a 21	^с	^23
a 31	<%'	Чз

8

ПРИМЕР.

1)	25 37	= 2-7
	2 1 3
2)	5 0 4
	-4	-2 7

2-7-5-3 = 14-15 = -!.

2-0-7 + 1-4-(-4)+3-5-(-2)-3-0-(-4)-2-4-(-2)-1-5-7 = -65.

Для вычисления определителей старших порядков пользуются теоремой о разложении определителя по строке или столбцу, которая справедлива для оп­ределителя любого порядка, а так же некоторыми свойствами определителей.

Определение. Минором M_{i j} элемента a_{i j} матрицы A называется определи­тель, получаемый из A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

ПРИМЕР.

\2

зз

А =

a 11	a 12	а Л "13	М12 =	a 21 a 31	a 23 a 33
a 21	a 22	a 23	^
a 31	a 32	^33^	М33 =	a 11 a 21	a 12 a 22

минор элемента a

минор элемента a

Определение. Алгебраическим дополнением Ajj элемента a_tj называется

число, определяемое по формуле Д/ — (^— 1) • M_tj .

Из определения следует, что алгебраическое дополнение по модулю сов­падает с соответствующим минором; и если сумма / + j нечетная, то знак ал­гебраического дополнения противоположен знаку соответствующего минора, а если сумма / + j четная, то знак - совпадает.

Теорема {разложение определителя по строке или столбцу). Опреде­литель п-го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

6sXA =

a 11	ап ■	■■ а\п
а21	а21 •	" а2п
ап\	ап2 •	■■ апп

=

ai_l-A_il+a_i2-A_i2 +... + a_in-A_in = ^а_у • Д, V/ = \п.

7=1

9

ПРИМЕР.

1 -1 2-3 0 1

2 3-2

(вычисление разложением по второй строке)

a₂₁ • A₂₁ + a ₂₂ • A ₂₂ + a₂₃ • A₂₃ = -3 • (-1)³ 3-(2-6)-(3 + 2) = -12-5 = -17.

-1 2

3 -2

+ 0 + 1-(-1)⁵

1 1

2 3

Свойства определителей

1. \A=\A^T ■

12. Если у матрицы поменять местами две соседние строки (два столбца), то её определитель сменит знак.

13. Если у матрицы две строки (два столбца) одинаковые, то определитель равен нулю.

14. Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

15. Если у матрицы две строки (два столбца) пропорциональны, то её оп­ределитель равен нулю.

16. Если у матрицы есть нулевая строка (столбец), то её определитель ра­вен нулю.

17. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), ум­ноженные на некоторое одно и то же число.

18. Абсолютные величины определителей эквивалентных матриц равны.

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной (невырож­денной), если det^ = 0 (det.4 ≠ 0).

Определение. Матрица^"¹ называется обратной к матрице А, если для неё выполняется АА^Л=А^ЛА=Е.

10 Из определения следует, что обратные матрицы существуют только у не­вырожденных матриц. Обратную матрицу к матрице A находят по формуле

(А\ Ai '" Ai\

А-'=^(А,/= 1

det A

det A

А А

^л12 ^л2 2

- А,:

(1.1)

A n A n

'* An

где (A_ij) – матрица, составленная из алгебраических дополнений к элемен­там матрицы A.

ПРИМЕР. Найти A^-1, если

А =

2 0 4

1 -1 1

-1 3 -3

РЕШЕНИЕ. Вычислим сначала определитель матрицы разложением по первой строке

	-1	1		1	-1
= 2-			+ 0 + 4-
	3	-3		-1	3

20 4

detA =

0 + 4(3-1) = 8.

1 -1 1

-1 3 -3

Так как det A = 8 ≠ 0, то обратная матрица существует у заданной.

Вычислим алгебраические дополнения к каждому элементу матрицы A:

12

А\^{= +}

-1 1

3 -3

0;A₁

1 1

-1 -3

-(-3 + 1) = 2; А_и= +

1 -1

3

(3-1) = 2;

23

21

A₂

0 4

3 -3

-(-12) = 12; А₂₂= +

2 4 -1 -3

-6 + 4 = -2; А

2 0 -1 3

-6;

32

А\ ^{= +}

0 4 -1 1

0 + 4 = 4; Д

2 4 1 1

-(2-4) = 2; 4з= +

2 О 1 1

-2.

11

Составим матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

2-2 2 2 -6 -2

f0 2 2^ f0 12 4^

_{(4)г =}

_{(Л) =}

12 -2 -6

4 2-2

Найдём обратную матрицу по формуле (1.1):

1

2 1 4 1

4у

.Г1

8

0 12 4

2-2 2 -6 -2

v

3 4

0 - -

4 4

4 1

v4

Выполним проверку:

1

2

1_

4

¹

4у

^•^"¹

2 0 4

1 -1 1

-1 3 -3

3

4

0 - -

4

3

4

4 1

v4

113 13

1-0 + (-1) —+ 1— 1 —+ (-1)-(—) + 1•(—)4 4 2 4 4

113 1 3 11 1

-1-0 + 3 —+ (-3)— -1 —+ 3-(—) + (-3)-(—) -1-- + 3-- + (-3)-(—)

4 4 2 4 4 2 4 4

_{= я.}

2-0 + 0-- + 4--4 4

'1	0	0Л
0	1	0
v0	0	1

1

2 —+ 0-(—) + 4-(—)

2 4 4

2-- + 0-- + 4-(--)2 4 4

1-- + (-1)-- + 1-(--)2 4 4

Вычисления сделаны верно, так как при умножении исходной матрицы на обратную к ней получена единичная матрица.

12 1.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана система трех уравнений с тремя неизвестными х, у, z:

I а₁₁х + a₁₂y + <2₁₃z = /^,

a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z = h₂, ₍₂.1)

<2₃₁х + а₃₂у + a₃₃z = 1ц.

Числа ау (/ = 1, 2, 3; у = 1, 2, 3) называются коэффициентами системы (2.1), а числа А_ь А₂, Ы правой частью. Существуют различные методы реше­ния этой системы. Рассмотрим три метода: Крамера, Гаусса, с помощью обрат­ной матрицы.

Метод Крамера. Этот метод применяется только для квадратных опре­делённых систем (квадратной называют систему, у которой количество уравне­ний совпадает с числом неизвестных; определённой называют систему, которая имеет единственное решение).

Если определитель Δ, составленный из коэффициентов системы, не равен нулю (Δ≠0), то существует единственное решение системы (2.1) (х₀, уо, z₀), ко­торое определяется по формулам Крамера:

X =

А

У₀

А

у

Z =

А

z

А

где

21

31

А

11

a

a

a

12

a

22

a

32

a

13

a

23

a

33

a

А

h₁ a

a

a

12 13

ha

23

2 22

a

33

32

h₃ a

	a 11	\	a 13
, Ау =	a 21	к	a 23	, Az =
	a 31	h	a 33

11

a

21

a

31

a

12

a

22

a

32

a

ПРИМЕР. С помощью метода Крамера найти решение системы

2x + y-3z = -5, x-2y + 2z = 17, { x + y+3z = 4.

РЕШЕНИЕ. Вычислим определитель системы Δ разложением по первой строке:

	-2	2		1 2		1	-2
= 2-			—		-3-
	1	3		1 3		1	1

2 1 -3

-2 1

2 3

А

2-(-8)-1-3-3 = -26.

13 Так как определитель системы не равен нулю, то существует единствен­ное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера. Найдем Δ_х, Δ_у, Δ_z, используя разложение по первой строке:

	-2	2		17	2		17	-2
= -5-						-3-
	2	3		4	3		4	1

-5 1 -3

17 -2 4 1

2 3

А

-5-(-8)-43-3-25 = -78,

А =

у

2 -5 -3 1 17 2 1 4 3

	17 2		1 2		1 17
= 2-		+ 5-		-3-
	4 3		1 3		1 4

2-43 + 5-1-3(-13) = 130,

A_z =

2 1 -5 1 -2 17 1 1 4

	-2	17		1 17		1	-2
= 2-			—		-5-
	1	4		1 4		1	1

2-(-25)-(-13)-5-3 = -52.

Отсюда по формулам Крамера получаем искомое решение системы:

А -78

130

А 52

3, у₀

А -26

х₀ = — =

А -26 ⁰ А -26

ОТВЕТ: x₀ = 3,j/₀ = - 5, z0 = 2.

-5, z₀ = -z

2.

Метод Гаусса. Метод Гаусса является универсальным методом исследо­вания и решения систем линейных уравнений. Решение системы (2.1) по мето­ду Гаусса находится путем последовательного исключения неизвестных. Пред­положим, что а₁₁ – коэффициент, наибольший по абсолютной величине. Чтобы исключить неизвестную переменную х из i-го (i=2,3) уравнения, умножим пер-

a

i1

a

11

вое уравнение на

и вычтем его из i-го (i=2,3) уравнения. Первое урав-

нение сохраняется без изменения. Затем этот процесс повторяем для исключе­ния другого неизвестного из оставшихся двух уравнений. Окончательно полу­чим систему вида:

14

(а₁₁х + а₁₂у + a₁₃z = f\,~ ~ Г

I «33^{Z =} 4.

Из этой системы сначала определяем z из третьего уравнения, затем у из второго уравнения и, наконец, х из первого уравнения.

ПРИМЕР. Найти решение системы из предыдущего примера методом Га­усса.

РЕШЕНИЕ. В первом уравнении коэффициент при z является наиболь­шим по абсолютной величине, поэтому запишем систему в виде:

3z + 2x + y = -5,

\ 2z + x-2y = 17, 3z + x + у = 4.

Исключим из второго уравнения переменную z, для этого умножим пер-

2 4х 2у 10вое уравнение на (т.е. 2z -— — = —) и вычтем из второго уравнения

— 3 333

7jc 4y 41(т.е. 0 + — 3 ⁼ 3> или 7jc-4^ = 41). Далее аналогично исключим из

третьего уравнения переменную z, для этого умножим первое уравнение на -1 (т.е. 3z-2x-y = 5) и вычтем из третьего уравнения (т.е. 3х + 2у = -1). Полу­чим систему вида:

3z + 2x + y = -5,

I 7x-4y = 41,

3х + 2у = -1.

Теперь исключим в полученной системе из третьего уравнения перемен-

3 12у 123

ную х. Для этого умножим второе уравнение на — (т.е. 3х—— =—) и вы-

26у 130^ = или 26у = -130

чтем из третьего, т.е.

77

15

Получаем систему вида:

3z + 2x + y = -5,

\ 7x-4y = 41, 26y = -130.

Из последнего уравнения находим у₀ = - 5. Подставив его во второе урав­нение, получим 1х + 20 = 41 или х₀ = 3. Далее подставляем полученные значе­ния Xq и уо в первое уравнение: –Ъг + 6 - 5 = - 5 или z₀ = 2. Таким образом, найдено решение системы: х₀ = 3, у₀ = - 5, z₀ = 2, совпадающее с решением, по­лученным по методу Крамера.

ОТВЕТ: x₀ = 3,j/₀ = - 5, zo = 2.

Матричный метод (с помощью обратной матрицы). Этот метод, как и метод Крамера применяется только для квадратных определённых систем.

Обозначим: A

а11	a 12	«13		У		V
а21	a 22	«23	, ^ =		, в =	п2
V«31	a 32	33 у		Z		h vv

Тогда систему (2.1)

можно записать в матричном виде: A·X = B. Если det A ≠ 0, то система является определённой и существует A^-1. В этом случае решение системы находится из равенства: X = A^-1·B.

16

1.3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ На плоскости в декартовой системе координат прямая L может быть зада­на одним из следующих уравнений: (ЗА.) Ах + Ву + С = 0 - общее уравнение прямой,

где N = {А;В} - нормальный вектора к прямой L (см. рис. 1);

(3.2.) А(х - х₀) + В(у - у₀) = 0 - уравнение прямой, проходящей через

точку М₀(х₀; уо), с нормальным вектором N = {A,b} (см. рис. 1);

х-х₁ х₂-х ₁

(3.3.)

у- у1 - уравнение прямой, проходящей через

у ₂-у ₁

две точки Мi(хi; у_х) и М₂(х₂; у₂) (см. рис. 1);

х-х₀ (3.4)

у- у₀

п

- каноническое уравнение прямой, где М₀(х₀; уо) точка, _т

лежащая на прямой, а S = {п; т) - направляющий вектор (см. рис. 1);

(3.5) у - уo= k ( x - x₀ ) - уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х₀; у₀)

71

под углом ср к оси ОХ, причем к = tgtp - угловой коэффициент (если (р * —);

(3.6) у = кх + Ь - уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом к и

пересекающей ось ОУ в точке (0; Ь) (см. рис. 1);

Рис. 1. Прямая L в декартовой системе координат ХОУ

17

71

(3.7) х = а - уравнение прямой, перпендикулярной к оси ОХ (т.е. <р = —) и

пересекающей эту ось в точке (а; 0); (3.8) у = Ь - уравнение прямой, перпендикулярной к оси ОУ (т.е. ср = 0 ) и пересекающей эту ось в точке (0; Ь).

Пусть прямые L\ и L₂ заданы уравнениями вида (3.6), а именно L\.

y=k\+b\ , L₂: у = k₂ x + b₂ . Тогда справедливы следующие условия взаимного

расположения этих прямых на плоскости:

если L\ параллельна L₂ , ток\ =к₂,

1 если L\ перпендикулярна L₂ , то К = -— •

если L\ наклонена под некоторым углом к прямой L₂ , то один из углов а (острый или тупой, смежный с ним) между этими прямыми определяется по

формуле tga= 1 2

1 + к₁-к₂

ПРИМЕР. Даны вершины треугольника АВС: А(– 2; 1), В(3; 4), С(0; – 3). Тре­буется найти уравнения:

19. стороны АВ;

20. медианы, проведенной из вершины В;

21. высоты из вершины С;

22. прямой L, проходящей через С параллельно стороне АВ.

РЕШЕНИЕ.

1) Для нахождения уравнения стороны АВ используем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (см. уравнение, задаваемое формулой (3.3)):

х- (-2) у-1

^₁2) = 4_Г1 , илиЗ(х + 2) = 5(у - 1).

18 Преобразуя это уравнение к общему виду (см. уравнение (3.1)), получим:

Зх 5у + 11 = 0.

2) Пусть точка D является серединой стороны АС, тогда ее координатыопределяются по формулам деления отрезка в заданном отношении:

х_А+х_с -2 + 0 Уа⁺Ус 1 ~ 3

x_D = —— = = -1, y_D = —— = — = -1.

Уравнение медианы DB получим, используя уравнение прямой, проходя­щей через две заданные точки (см. уравнение, задаваемое формулой (3.3)):

х-Н) М-1)

Преобразуя это уравнение к общему виду (см. уравнение (3.1)), получим: 5х - 4у + 1 = 0.

3) Высота h, проведенная из вершины С, перпендикулярна стороне АВ(см. рис.2), поэтому ее угловой коэффициент k_h связан с угловым коэффициен­том прямой АВ соотношением: k_h

^АВ

Угловой коэффициент к_м прямой АВ находим из ее уравнения, выразив у через х, т.е. приводя общее уравнение Зх - 5у + 11 = 0 к виду (3.6):

3 11

у = —х + — 5 5 "

3 5

Отсюда к _Ав — следовательно k_h — Используя уравнение вида

(3.5), найдем уравнение высоты h, проходящей через точку С:

5 у - (-3) = --(х- 0), или Зу + 9 = - 5х, или 5х + Ъу + 9 = 0 - общее уравне­ние высоты.

4) Прямая L параллельна АВ (см. рис. 2), поэтому ее угловой коэффици­ент k_L равен угловому коэффициенту к_м: k_L = k_M = 3/5. Используя уравнение вида (3.5), найдем уравнение L:

3 у-(-3) = -(х-0), или 5у +\5 = Ъх.

19 Отсюда получаем общее уравнение L: 3х – 5у – 15 = 0.

Рис.2. Треугольник АВС и искомые прямые АВ, DB, h и L в декартовой системе координат

ОТВЕТ: 1) 3х – 5у + 11 = 0 – уравнение стороны АВ;

23. 5х – 4у + 1 = 0 – уравнение медианы DB;

24. 5х + 3у + 9 = 0 – уравнение высоты;

25. 3х – 5у – 15 = 0 – уравнение L.