II. Теоретические сведения и примеры по теме

«МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

II.1. Выборочный метод, статистическое распределение

Математическая статистика занимается изучением случайных величин по результатам наблюдений.

Определение. Генеральной совокупностью называется совокупность всех исследуемых объектов одного вида или совокупность результатов всех наблю­дений за поведением некоторой случайной величины. Генеральная совокуп­ность может быть конечной или бесконечной, при этом количество всех объек­тов (или значений), в неё входящих, называют объёмом генеральной совокуп­ности.

Например, при проверке качества изделий некоторой партии продукции генеральной совокупностью будет совокупность всех изделий данной партии. Однако, если число изделий в партии велико (большой объём генеральной со­вокупности), проверка может занять слишком много времени и оказаться неоп­равданно дорогостоящей. Более того, проверка отдельных видов продукции может предполагать её уничтожение (потребление). В связи с этим более целе­сообразно осуществлять проверку не каждого изделия партии, а лишь некото­рых из них. Такое исследование называется выборочным.

Определение. Выборкой (или выборочной совокупностью) называется часть объектов, отобранных из генеральной совокупности для наблюдений над ними. Количество объектов n в выборке называют объёмом выборки.

Чтобы по выборке можно было судить о всей генеральной совокупности, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Репрезентатив­ность выборки достигается случайностью отбора, что даёт каждому объекту ге­неральной совокупности равный шанс попасть в выборку.

Определение. Наблюдавшиеся значения x_i (i = 1, …, n) случайной величины X, представленные в выборке, называются вариантами.

31

Результаты наблюдений, как правило, представляют собой некоторую по­следовательность чисел, характеризующих отобранные объекты. Однако по ней трудно судить о поведении случайной величины, поэтому составляют стати­стическое распределение выборки по вариационному ряду или интервальному вариационному ряду (для непрерывной случайной величины Х). Сначала вари­анты располагают в порядке неубывания. Затем отмечают одинаковые по зна­чению варианты.

Определение. Число одинаковых вариант называют частотой и,-.

к

Замечание. Сумма всех частот равна объёму выборки: п = £и,..

г=1

Определение. Относительной частотой ω_г называют отношение частоты к

объёму выборки

п. со_г = —. п

Относительная частота является статистическим аналогом вероятности.

Определение. Последовательность неповторяющихся вариант, представ­ленных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом: х_ь х₂, …,х_к (x_t< x_{i +l} V / = 1, …Д).

Определение. Статистическим распределением выборки называют пере­чень вариант x_t вариационного ряда и соответствующих им частот щ (или отно­сительных частот):

X;	Х\	х2	…	Хк
™i	П\	пг	…	Щ

Если Х – непрерывная случайная величина, то статистическое распределе­ние выборки задаётся в виде последовательности частичных интервалов и соот­ветствующих им частот. В качестве частоты частичного интервала принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал. Для построения интервально­го ряда и статистического распределения выполняют следующие действия:

32

• определяют наименьшую x_min и наибольшую х_тах варианты;

• находят размах варьирования R = х_тах - x_min;

• выбирают число интервалов к (обычно от 5 до 15);

• находят шаг - длину частичного интервала h = R / k;

• разбивают интервал варьирования на частичные интервалы [x_min ; x_min + h], [x_min + h ; x_min + 2/2], …, [x_min + (k -\)h; x_max\;

• находят середины каждого интервала х{,

• определяют частоту для каждого интервала n_t (количество вариант, по­павших в /-ый интервал).

Статистическое распределение выборки для наглядности представляют графически в виде полигона и (или) гистограммы. Полигон строят для изобра­жения как дискретного ряда, так и для интервального ряда. Гистограмма слу­жит для изображения интервального ряда.

Определение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой со­единяют точки с координатами (х{, п_г), где x_t - варианта статистического рас­пределения или середина /-ого частичного интервала для непрерывного при­знака, rii - соответствующая частота.

Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрез­ки которой соединяют точки с координатами (х_г; ω_г), где x_t - варианта статисти­ческого распределения или середина /-ого частичного интервала для непре­рывного признака, ω_г - соответствующая относительная частота.

Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, со­стоящую из прямоугольников, основаниями которых являются частичные ин­тервалы длины h, а высоты равны плотности частоты - отношению частоты к шагу n_t / h.

Определение. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются час-

33 тичные интервалы длины h, а высоты равны плотности относительной частоты – отношению относительной частоты к шагу ω_i / h.

ПРИМЕР. Для заданного интервального ряда распределения найти объём

выборки, шаг, середины интервалов, построить полигон и гистограмму частот.

Интервал [xi ; xi+1]

[0; 8]

[8; 16]

[16; 24]

[24; 32]

[32; 40]

[40; 48]

Частота n_i 4 7 19 21 14 5

РЕШЕНИЕ. По таблице видим, что число интервалов к = 6. Найдём объём

6

выборки из соотношения п = ^Щ :

i=i

« = 4 +7 + 19 + 21 + 14 + 5 =70. По данному интервальному ряду распределения видим, что разность меж­ду двумя границами в каждом частичном интервале равна одному и тому же числу 8, таким образом, шаг /2 = 8. Тот же результат получится, если опреде­лить размах R = х_тах - x_min = 48 - 0 = 48 и разделить его на число интервалов h = R / k = 48 / 6 = 8.

Середины интервалов определяем следующим образом. Сначала находим середину первого интервала (как половину суммы границ), затем, последова­тельно прибавляя к ней шаг /2 = 8, определяем середины последующих частич­ных интервалов:

Х! = (8 + 0) / 2 = 4; х₂ = 4 + 8 = 12; х₃ = 12 + 8 = 20; х₄ = 20 + 8 = 28; х₅ = 28 + 8 = 36; х₆ = 36 + 8 = 44.

Для построения полигона и гистограммы частот сводим данные в таблицу, в которой вычисляем плотность частот n_i / h = n_i / 8 для каждого интервала:

Интервал [xi ; xi+1]	[0; 8]	[8; 16]	[16; 24]	[24; 32]	[32; 40]	[40; 48]
Середина интервала	х\= 4	х2 =П	х3 = 20	х4 = 28	х5 = 36	х6 = 44

Частота n_i 4 7 19 21 14 5

Плотность частоты ni/ 8

0,5

0,875

2,375

2,625

1,75

0,625

34 Строим полигон, откладывая по оси ОХ середины интервалов, а по оси OY соответствующие им частоты. Отмечаем точки с координатами (x_i; n_i) i = 1,…,6. Соединяем эти точки прямыми линиями и получаем полигон, который показан на рисунке 3.

Xj

-	L
26-24-22-20-18-16-14-12- 10- 8- 6- 4- 2-
	0	4	8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Рис. 3. Полигон частот

Для изображения гистограммы откладываем по оси ОХ границы интерва­лов, а по оси OY соответствующие им плотности частот. Строим прямоуголь­ники, основаниями которых являются частичные интервалы, а высотами – плотности частот. Полученная гистограмма представлена на рисунке 4.

h 3
2.5-
2
1.5-1-
0.5
	0	8 1	6 2	4	3	2 4		0 4	8 5	6		X

Рис. 4. Гистограмма частот

35 П.2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

П.2.1. ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ, ДИСПЕРСИИ, СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ

Для полноты представления о рассматриваемом признаке (случайной ве­личине) проводят статистическую оценку основных параметров распределения с помощью данных выборки. Существует два вида статистических оценок: то­чечные и интервальные. Точечной оценкой некоторого параметра распределе­ния является число, вычисленное с помощью выборочных данных, а интер­вальной оценкой - интервал, в который может попасть истинное значение изу­чаемого параметра с заданной вероятностью.

Статистической точечной оценкой математического ожидания является средняя выборочная, дисперсии - выборочная дисперсия, среднего квадратиче-ского отклонения - выборочное среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средней выборочной х называют величину, определяемую соотношением:

1 JL, ^п i=i

где п - объём выборки, x_t - варианта статистического распределения или середина /-ого частичного интервала для непрерывного признака, щ - соответ­ствующая частота.

Определение. Выборочной несмещённой дисперсией S² называют величи­ну, определяемую соотношением:

1 J^S²=^L?,(x_l-x?-n_lt (j)

/7-1 TTi

где п - объём выборки, x_t - варианта статистического распределения или середина /-ого частичного интервала для непрерывного признака, щ - соответ­ствующая частота, х - выборочная средняя.

36 Определение. Выборочным средним квадратическим отклонением а (или S) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

а=s=\[¥. (3)

Если объём выборки не велик, то среднюю выборочную вычисляют по оп­ределению, а выборочную дисперсию по более удобной формуле, которая по­сле элементарных преобразований получается из соотношения (2):

_s2

1

n-1y

к

У^ х² •n_i - п • х

i=1

2

;

(4)

Если велик объём выборки, либо значения вариант достаточно большие или очень малые числа, то вычисления по выше приведённым формулам слиш­ком громоздки. Поэтому для упрощения вычислений переходят к условным ва-

риантам

г/.

x_i - A h

где А - произвольно выбранное удобное число, обычно равное варианте с наибольшей частотой, либо близкое к середине ряда.

Формулы вычисления средней выборочной и выборочной дисперсии с ис­пользованием условных вариант имеют вид:

h J^ x = A + -Y_JU_i-n_i,

^п i=1

S² =

1

_{h 2 [i>,2-«,-}

n

2

_J

(5)

Замечание. Для проверки правильности расчётов часто вычисляют оценки двумя способами: по определению (формулы (1) и (4)); и с использованием ус­ловных вариант (формулы (5)).

37

ПРИМЕР. Для интервального ряда примера предыдущего пункта (стр. 34) найти среднее выборочное, несмещённую выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение.

РЕШЕНИЕ. Вычисление средней выборочной и несмещённой выборочной дисперсии проведём двумя способами. Для удобства составим расчётную таб­лицу по данным, полученным в предыдущем примере (см. таблицу на стр. 33):

X;	Ki	X; · Yli	x2 · щ	ut	Ut · Yli	u2 · щ
4	4	16	64	-3	-12	36
12	7	84	1008	-2	-14	28
20	19	380	7600	-1	-19	19
28	21	588	16464	0	0	0
36	14	504	18144	1	14	14
44	5	220	9680	2	10	20
		1792	52960		-21	117

При определении условных вариант в качестве А выбрана середина час­тичного интервала с максимальной частотой 21, т. е. А = 28.

В последней строке таблицы найдены суммы по соответствующему столб­цу, которые используем в формулах вычисления оценок.

1) Вычисляем среднюю выборочную и выборочную дисперсию по форму­лам (1) и (4), подставляя в них объём выборки п = 70, числа из последней стро­ки таблицы, расположенные в третьем и четвёртом столбце:

1 ⁶^ 1

x = -Yx_rn_i= — -1792 = 25,6;п~₁ 70

6

1

70-1

7084,8

=

69

х = 25,6

сию

/,x² -щ—n-x

S²

1

;

;=1

n-1{

= — (52960-45875,2) 69

Получаем среднюю выборочную S² & 102,678.

(52960-70- (25,6)²) =

* 102,678.

и

выборочную диспер-

38 2) Вычисляем среднюю выборочную и выборочную дисперсию по форму­лам (5), подставляя в них объём выборки п = 70, шаг /2 = 8, числа из последней строки таблицы, расположенные в шестом и седьмом столбце:

h⁶ 8

x = A + -Yu_rn_i=28 + — -(-21) = 28-2,4 = 25,6;

6

h² 6 1

и. • /7.

п -1 ^ ,-=1 w ^ _г=1 J

2

8²f117-1 (-21) 2

69 ^ 70 J

( 44 1

117- —

_{I 70}

₌ 64₍117-6,3) = 64110,7 = 7084,8,102,67869^{v ;} 69 69

64

69

Получаем среднюю выборочную х = 25,6 и выборочную диспер­сию ^«102,678, т.е. полностью такие же величины, что и первым способом.

Таким образом, убеждаемся в правильности проведённых вычислений и определяем выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле (3):

S = Js2 « д/102,678 ~ 10,13.

ОТВЕТ: х = 25,6; S² «102,678; S «10,13.