1.3.5. Закон нормального распределения

Существует целый ряд распределений вероятности, которые играют роль эталона в статистических выводах. Каждому распределению соответствует оп­ределённый набор параметров, характеризующий поведение случайной вели­чины. Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нор­мальное распределение. Оно играет важную роль в теории случайных величин и занимает среди других распределений особое положение, являясь предель­ным случаем некоторых из них и основой для формирования других распреде­лений.

Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непре­рывной случайной величины Х, если её плотность распределения имеет вид:

1 (x-a)²

⁽р( x )⁼/г'e ^2ст2 >

GV271

где а и σ - параметры распределения.

Доказано, что числовые характеристики нормального распределения будут следующими: М(Х) = а; D(Х) = σ²; σ _Х = σ.

Определение. Нормированным нормальным называется нормальное рас­пределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с математиче­ским ожиданием а = 0 и средним квадратическим отклонением σ = 1.

27 Замечания. 1) Плотность нормированного нормального распределения

имеет вид:

ф(x)

у/2ж

2

2) Функция нормированного нормального распределения имеет вид:

F(x)

1

4bt

X

\^е

z²

2

dz

и связана с функцией Лапласа соотношением F(jc) = 0,5 + Φ(х). 3) Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с парамет-

Y

X-a

рами а и σ, то замена

а

приводит к случайной величине Y, которая

имеет нормированное нормальное распределение.

График плотности распределения нормальной случайной величины назы­вается кривой Гаусса. На рисунке 2 представлены кривые Гаусса для нормиро­ванного нормального распределения (сплошная линия) и нормального распре­деления с параметрами а = 2 и σ = 0,5 (пунктирная линия).

φ(Л

)

1

f

ш ш

t 1

щ 1 1

1 1 1

1 1

1

1 1

-г

0.4

^^^ ^

1 1

1 1

У

г

\

1 . f

1 1 1

f

*

1 4

V

■ ■ и

^^^ ^

=5*4

4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 X

Рис. 2. Графики плотности нормального распределения (кривые Гаусса)

28 С приведёнными замечаниями связаны доказательства следующих утвер­ждений, используемых в задачах для расчёта некоторых вероятностей нормаль­но распределённых случайных величин.

Вероятность попадания нормально распределённой величины в задан­ный интервал (α; β) определяется равенством

P(ос<X<(3) = Ф

^к -ф

где а и σ - параметры распределения, Φ(х) - функция Лапласа, значения которой приведены в Приложении 2.

Вероятность того, что абсолютное отклонение нормально распреде­лённой величины от своего математического ожидания меньше заданного значения б, определяется равенством

P{\X-a\<Ъ) = 2-Ф\-

где а и σ - параметры распределения, Φ(х) - функция Лапласа.

Правило «трёх сигм». Вероятность того, что абсолютное отклонение нормально распределённой величины от своего математического ожидания меньше 3σ, равна 0,9973:

P|X-a|<За) = 2-Ф(3)*0,9973.

ПРИМЕР.

Известно, что длина стопы мужчин, проживающих в данной местности, есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону со средним значением а = 300 мм и средним квадратическим отклонением σ = 33 мм. Оп­ределить: а) вероятность того, что наудачу выбранный мужчина имеет длину стопы от 270 мм до 320 мм; б) вероятность того, что абсолютная величина от­клонения длины стопы мужчины, проживающего в данной местности, от сред­него значения а, окажется меньше 10 мм; в) по правилу трёх сигм найти наи­большую и наименьшую границы предполагаемой длины стопы мужчины.

29

РЕШЕНИЕ.

а) По условию а = 300, σ = 33, а = 270, /3 = 320, следовательно, по форму­ле вероятности попадания нормально распределённой величины в заданный ин­тервал получаем

270-300

( 320 -300^

P270<X<320) = Ф -Ф *Ф(0,61)-Ф(-0,91)

33

v

v jj j

33 )

X

«Ф(0,61) + Ф(0,91)« 0,2291 + 0,3186 «0,5477. Значения Φ(0,61) и Φ(0,91) находили из таблицы Приложения 2.

б) Используем равенство для определения вероятности того, что абсолют­ное отклонение нормально распределённой величины от своего математическо­го ожидания будет меньше заданного значения δ, полагая δ = 10:

P(X-300 <10) = 2-Ф|— |*2-Ф(0,3)« 2-0,1179 «0,23558

133J

в) Из правила трёх сигм следует, что с вероятностью 0,9973 случайная ве­личина удовлетворяет неравенству | X - a | < За. Решаем это неравенство отно­сительно Х при а = 300 и σ = 33:

|X-300|<3-33,

|Х-300|<99,

-99<X-300<99,

300-99<X<300 + 99,

201<X<399,

minX = 201, maxX = 399.

ОТВЕТ: а) P(270 < X < 320) * 0,5477;

б) P(\ X- 300 | < 10)« 0,23558;

в) min X = 201 мм, тахX = 399 мм.

30