I.3.1. Основные понятия

Определение. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обяза­тельно только одно.

Случайные величины обозначают большими латинскими буквами X, Y, Z, … , а их возможные значения – соответствующими малыми буквами с индек­сами.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если число её возможных значений либо конечно, либо счётно.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если число её возможных значений бесконечно, и они непрерывно заполняют некоторый ко­нечный или бесконечный интервал.

Определение. Законом распределения случайной величины называют вся­кое соотношение, устанавливающее связь между всеми её возможными значе­ниями и соответствующими вероятностями.

Закон распределения, являясь функциональной зависимостью, может быть задан:

для дискретных случайных величин – таблично в виде ряда распределения с указанием всех значений x_i и соответствующих им вероятностей p_i; графиче­ски в виде ломаной, соединяющей точки (x_i, p_i) и называемой многоугольником распределения; аналитически (формулой);

для непрерывных случайных величин – аналитически и графически (гра­фиками функции распределения или плотности).

21 1.3.2. Функция распределения

Одной из основных форм закона распределения случайной величины явля­ется функция распределения.

Определение. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), задающая вероятность того, что X < x:

F(x) = P(X < x) Vx е (-оо; + оо).

Замечание. Функция распределения непрерывной случайной величины яв­ляется непрерывной функцией; функция распределения дискретной случайной величины X является разрывной и определяется соотношением

F{x)=Y_JP(X = x_i)

x_i<x

Свойства функции распределения

1) F(x) - ограниченная функция: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2) F(x) неубывающая функция.

3) F(x) непрерывна слева, т.е. _x^_₀ F(x) = F(xo) . 4) ]xmF(x) = 0, \imF(x) = l

x->-оо x^+oo

5) Вероятность попадания случайной величины в интервал [а ; Р) определяется по формуле Р(а ≤ X < Р) = F(P) - F(a).

Замечание. Если X является непрерывной случайной величиной, то вероят­ность того, что X примет какое-то конкретное значение равна нулю, поэтому последнее свойство функции распределения для непрерывной случайной вели­чины может быть записано в виде

Р{а ≤ Х <Р) = Р{а< Х ≤Р) = Р{а ≤ Х ≤ Р) = Р{а < Х <р) = F(j3) - F(a).

22 1.3.3. Плотность распределения

Для задания закона распределения непрерывной случайной величины чаще используют другую функцию, называемую плотностью.

Определение. Дифференциальной функцией распределения fix) непрерыв­ной случайной величины или плотностью распределения называется первая производная интегральной функции распределения:

f(x) _{= n}x)₌limE^±M^M

A*->0 Aj

Определение. График плотности распределения fix) называется кривой распределения.

Геометрический смысл кривой распределения состоит в том, что с её по­мощью вероятность можно рассматривать как площадь некоторой фигуры: ве­роятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (а; Д) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности fix), осью ОХ, прямыми х = а и х = fi