Свойства малой функции Лапласа

16. Функция φ ( х) является чётной, т.е. φ(-х) = φ ( х).

17. При больших значениях х функция приближённо равна нулю:

φ(х) ≈ 0, если х ≥ 4.

16 Теорема (Интегральная теорема Лапласа). Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и 0 < р < 1, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз приближенно равна (тем точнее, чем больше n):

k₂

1 yjnpq J 1 yj npq

где

x z²

ф(х) = ^=\е ²dz

V2ti^J

Замечание. Функцию Φ(х) называют интегральной функцией Лапласа или просто функцией Лапласа, она является табличной [1, 2], её значения приведе­ны в Приложении 2.

Свойства функции Лапласа

18. Функция Φ(х) является нечётной, т.е. Φ(-х) = - Φ(х).

19. При больших значениях х значения функции принимаются равными 0,5:

Φ(х) ≈ 0,5, если х > 5.

Теорема (Формула Пуассона). Если вероятность р наступления события А в каждом из испытаний постоянна, но близка к 0, а число испытаний велико, то вероятность появления события А в п испытаниях ровно к раз приближенно равна:

2^к • р~^х

?(^к)~T! , где Х = пр.

Теорема Пуассона представляет закон распределения вероятностей массо­вых, но маловероятных событий.

17 Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом из испы­таний постоянна и близка к 0, а число испытаний велико, то вероятность появ­ления в п испытаниях события А не менее к₁ и не более к₂ раз (т.е.

^{к1<к<к2), равна:}

к₂

где "_п ( ) ~ .! - вероятность появления события А ровно / раз в п ис­пытаниях, Х = пр.

ПРИМЕР.

Играют два равносильных шахматиста. Что вероятнее: выиграть две пар­тии из четырех или три партии из шести? Ничьи во внимание не принимаются.

РЕШЕНИЕ. Так как шахматисты равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша для них одинаковы, т.е. р = q = 0,5. Число испытаний невелико, поэтому пользуемся теоремой Бернулли.

Вероятность выиграть две партии из четырёх определяем по формуле Бер­нулли, полагая п = 4,к = 2:

Р₄ (2) = С₂ ■ 0,5 2 • 0,5 2 = — ■ 0,5 2 • 0,5 2 = 43 2 ■ 0,0625 = 0,375

2!-2! 2-2

Аналогично, полагая п = 6, к = 3, находим вероятность выиграть три пар­тии из шести:

Р₆(3) = С₆ 3 • 0,5 3 • 0,5 3 = 6!■ 0,5 3 • 0,5 3 = 6'5'4^,3^,2 • 0,125• 0,125 = 0,3125.

3!-3! 3-2-3-2

Сравнивая полученные значения вероятностей, получаем, что вероятнее выиграть две партии из четырех, так как Р4(2) > ^₆(3).

ОТВЕТ: вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три партии из

шести.

18

ПРИМЕР. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК р = 0,2. Найти вероятность того, что из 400 деталей окажется непроверенных: а) ровно 70 деталей; б) не менее 70 деталей и не более 100 деталей.

РЕШЕНИЕ.

а) Число испытаний п = 400 велико, вероятность р = 0,2 не мала, значит для вычисления вероятности того, что непроверенных деталей окажется ровно 70, пользуемся локальной теоремой Лапласа, полагая k = 70, q = 1 -р = 0,8:

¹M-1,25);

70-400-0,2

P₄₀₀ (70) * . • ф

^/400-0,2-0,8 ^V400"0,2"0,8 по таблице Приложения 1 находим значение функции φ(х), учитывая её свойство чётности φ(-1,25) = φ(1,25) = 0,1826; и определяем искомую вероят­ность Р400(70) * - • 0,1826 * 0,022825.

б) Для вычисления вероятности того, что непроверенных деталей окажется не менее 70 и не более 100, пользуемся интегральной теоремой Лапласа, пола­гая k1 = 70, k₂ = 100 и учитывая свойство нечётности функции Φ(х):

(100-400-0,2 1

^₄₀₀(70;100)«Ф

J 70-400-0,2 -Ф

V400-0,2-0,8j ^V400'0,2'0,8 * Ф(2,5) - Ф(-1,25) « Ф(2,5) - (-Ф(1,25)) « Ф(2,5) + Ф(1,25);

значения функции Лапласа находим по таблице Приложения 2 Φ(2,5) = 0,4938, Φ(1,25) = 0,3944; и определяем искомую вероятность

Р₄₀₀(70; 100) ≈ 0,4938 + 0,3944 ≈ 0,8882.

ОТВЕТ: а) Р₄₀₀(70) ≈ 0,022825; б) Р₄₀₀(70; 100) ≈ 0,8882.

ПРИМЕР. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Веро­ятность повреждения изделия в пути равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три поврежденных изделия.

РЕШЕНИЕ. По условию число изделий п = 5000 велико, а вероятность по­вреждения р = 0,0002 мала, поэтому для вычисления искомой вероятности бу-

19 дем пользоваться теоремой Пуассона при к = 3. Определив значение параметра X = пр = 5000·0,0002 = 1, получим:

Гг_ппп(3)« « « « « 0,0613

Jfc! 3! 6-е 16,309691

ОТВЕТ: Р₅ооо(3) ≈ 0,0613.

Определение. Наивероятнейшим числом к₀ появления события А в п испы­таниях называют такое число его появления, которому соответствует макси­мальная вероятность, т.е. Р_п (ко) = гпах Р (к) .

0<к<п

Наивероятнейшее число к₀ можно определить [1, 2] из решения двойного неравенства пр- q ≤ к₀ <пр+ р.

ПРИМЕР. Стрелок поражает цель с вероятностью р = 0,85. Найти наиверо­ятнейшее число попаданий в серии из 7 выстрелов и соответствующую ему ве­роятность.

РЕШЕНИЕ. По условию число испытаний - выстрелов п = 7, а вероятность попадания в цель при одном выстреле/? = 0,85, следовательно вероятность про­маха равна q = 1 - 0,85 = 0,15. Составляем неравенство для определения наиве-роятнейшего числа £₀ попадания стрелка в цель:

70,85 - 0,15 ≤ к₀ < 7·0,85 + 0,85,

5,8 ≤ к₀ < 6,8.

Из последнего двойного неравенства следует, что к₀ = 6, так как это число может быть только целым положительным. Соответствующую вероятность вы­числяем по формуле Бернулли

PJ6) = С₇⁶ • 0,85⁶ • 0,15¹ * J • 0,056572427 * 0,396

6!-1!

ОТВЕТ: наивероятнейшее число к₀ = 6, Р₇(к₀) ≈ 0,396.

20 I.3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ