1.2.2. Определения и свойства вероятности

Под вероятностью события понимают численную меру объективной воз­можности его появления. Существуют классическое, статистическое и геомет­рическое определения вероятности [1 - 4]. Для решения задач по теории веро­ятности нам потребуется классическое определение. Вероятность некоторого события А обозначается Р%А).

Определение. Вероятностью (классической вероятностью) события^ назы­вается число, определяемое отношением:

Р(А) = — п '

где п - число всех возможных исходов, образующих полную группу, в ко­торых может появиться событие А; т - число исходов, благоприятствующих появлению события А (п ≥ т).

Из этого определения следуют основные свойства вероятности.

Основные свойства вероятности

1) Вероятность любого события а ограничена

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

2) Если А достоверное событие, то Р(А) = 1.

3) Если А невозможное событие, то Р(А) = 0.

12 1.2.3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Теорема сложения для несовместных событий. Вероятность суммы не­совместных событий ,4 и В равна сумме их вероятностей:

Р{А + В) = Р{А) + Р{В). Следствия:

1) Если А\, А₂, …, А_п попарно несовместны, то

Р(А_г + А₂ +… + А_п) = Р{А_Х) + Р(А₂) + … + Р{А_п).

2) Если Л_ь А₂, …, А„ образуют полную группу, то

Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р{А_п) = \.

3) Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Р{А) + Р{А) = \.

Из третьего следствия вытекает формула для вычисления вероятности про­тивоположного события:

Р{А) = \- Р{А).

Теорема сложения для совместных событий. Вероятность суммы со­вместных событий А и В равна сумме их вероятностей:

Р(А + В) = Р{А) + Р{В) - Р{АВ).

Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что дру­гое событие А уже произошло, называют условной вероятностью и обозначают Ра{В).

Определение. Два события АиВ называются независимыми, если вероят­ность любого из них не зависит от того, наступило другое или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Из этого определения следует, что для независимых событий АиВ выпол­няются равенства Р_А{В) = Р{В) и Р_В{А) = Р{А).

13 Теорема умножения для независимых событий. Вероятность совместно­го появления двух независимых событий А и В равна произведению их вероят­ностей:

Р(АВ) = Р(А)-Р(В). Теорема умножения. Вероятность совместного появления двух событий ,4 и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р(АВ) = Р(А) • Р_А(В) или Р(АВ) = Р(В) • Р_В(А). Следствия:

1) Р(А₁А₂А₃...А_Г1) = Р(А₁)-Р_А(А₂)-Р_АЛ(А₃)-...-Р_{АЛА3 A1}(A_n).

Р(АВ)

P(B)

2) Если Р(В)ф О, то Р_В(^А)

Теорема (Формула полной вероятности). Если событие А может насту­пить только в результате появления одного из событий В₁, В₂, …, В_n, образую­щих полную группу (и называемых гипотезами), тогда вероятность события А определяется формулой:

п

Р(А) = 2_,Р(В;)-Р_В1(А).

1=1

Теорема (Формула Байеса). Пусть событие А может наступить только в результате появления одного из событий В₁, В₂, ..., В_п, образующих полную группу. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез В_t (i = l, ...,«) могут быть переоценены по формуле:

Р(В)-Р_п(А)Р(В,)= '

^А ' Р(А)

14

1.2.4. Повторные независимые испытания:

ТЕОРЕМЫ БЕРНУЛЛИ, ЛАПЛАСА, ПУАССОНА

Вероятностные задачи, связанные с повторением испытаний, постоянно возникают на практике и имеют обширные приложения в различных областях знаний, например, в управлении производством (процессы контроля за качест­вом продукции), в страховом деле (страховые выплаты), в социологии (опросы и тестирование) и т.д.

Определение. Если проводятся испытания, при которых вероятность появ­ления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Предположим, что проводится п независимых испытаний, в каждом из ко­торых событие А может появиться или не появиться. Пусть вероятность появ­ления события А одинакова в каждом испытании и равна р, тогда вероятность не появления события А равна q = 1 - р. Требуется найти Р_п(к) - вероятность того, что при п независимых испытаниях событие А наступит ровно к раз, или определить Р_п(к\, к₂) - вероятность того, что событие А наступит от к\ до к₂ раз (т.е.к_г≤к≤к₂).

Непосредственное решение этой задачи с применением теорем сложения и умножения при увеличении п приводит к громоздким вычислениям, поэтому применяются различные подходы. В зависимости от значений пи р способы вычисления вероятностей числа появления некоторого события в повторных

испытаниях можно разделить на представленные в таблице случаи.

№ 1 2 3	Значения n и р	Способ вычисления Рn(k)	Способ вычисления Pn(k1; k2)
	п< 10	Формула Бернулли	Следствие формулы Бернулли
	п> 10 и п р > 10	Локальная теорема Лапласа	Интегральная теорема Лапласа
	п> 10 и п р ≤\0	Формула Пуассона	Следствие формулы Пуассона

15 Теорема (Формула Бернулли). Вероятность того, что в п независимых ис­пытаниях событие А появится ровно &раз, определяется по формуле:

P_n(k) = C^k_n-p^k-qⁿ-,

где р - вероятность появления события А в каждом из п испытаний, q - ве­роятность не появления события А

Следствие. Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит не

менее к₁ и не более к₂ раз (т.е. к₁<к<к₂), равна

к₂ i=k₁

где Р_п(!) = С_п ■ p^f ■ q-¹ - вероятность появления события А ровно / раз.

Теорема (Локальная теорема Лапласа). Если вероятность р появления со­бытия А в каждом испытании постоянна и 0 < р < 1, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях ровно к раз, приближенно равна (тем точ­нее, чем больше и):

1 (k-nv\ Р_п(к)я;=-(р ^

■Jnpq \ yjnpq где

ф(*)

1 2

л/2^

Замечание. Функцию φ ( х) часто называют малой функцией Лапласа, она является табличной [1, 2], её значения приведены в Приложении 1.