Основные комбинаторные правила

14. Правило умножения. Если одно действие может быть выполнено щ спосо­бами, а другое - п₂ способами, тогда оба эти действия (первое и второе) можно выполнить щ · п₂ способами.

15. Правило сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, причём одно из них может быть выполнено щ способами, а другое - п₂ способами, тогда выполнить одно из них (первое или второе) можно щ + п₂ способами.

Определение. Множество с установленным на нём порядком (если элемен­ты множества перенумерованы) называют упорядоченным, в противном случае - неупорядоченным.

7 Определение. Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой. Число перестановок из п элементов обозначают Р_п и определя­ют по формуле:

Рп= П\,

где п\ = \- 2 ■ Ъ ■… ■ (п- 2) ■ (п- \) ■ п является произведением первых п на­туральных чисел, и его называют «и-факториал».

Свойства числа перестановок

1) Р₀ = 0! = 1; 2) Р_п+Х= п\-{п + \) = {п+\)-Р_п.

Определение. Размещением из п по к элементов называют любое упоря­доченное подмножество и-элементного множества, состоящее из к элементов

{к < п). Число размещений из п по к элементов обозначают А^к_п и определяют по формуле:

А —

^п (п-к)\-

Свойства числа размещений

1) А°_п=\-

2) А^п_п-^х=А^п_п=п\.

Определение. Сочетанием из п по к элементов называется любое неупо­рядоченное подмножество «-элементного множества, состоящее из к элементов

(к<п). Число сочетаний из п по к элементов обозначают С^к_п и определяют по формуле:

С^к_п=

к\-{п-к)\-

8

Свойства числа сочетаний:

1) Q°=Q*⁼1;

2) с¹ = с^п;¹ = п ;

3) с^к_п=с^п_п~^к.

ПРИМЕР: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

РЕШЕНИЕ: Трехзначные числа отличаются друг от друга порядком их расположения, следовательно, количество различных трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3 будет равно числу перестановок из трех элементов 1, 2, 3: Р₃ = 3! = 1·2·3 = 6.

ОТВЕТ: шесть различных трехзначных чисел.

ПРИМЕР: Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на че­тыре различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

РЕШЕНИЕ: Число способов, которыми можно разместить людей из девяти кандидатов на четыре различные должности, будет равно числу размещений из девяти (п = 9) по четыре (к = 4) элемента:

₄ = = — = = 9 • 8 • 7 • 6 = 3024

(9-4)! 5! 5!

ОТВЕТ: 3024 способа.

ПРИМЕР: В ящике 3 белых и 4 чёрных шара. Сколькими способами можно взять а) 2 шара одного цвета; б) 2 шара разных цветов?

РЕШЕНИЕ: Так как порядок, в котором берутся шары, не имеет значения, то наборы шаров являются сочетаниями.

а) Два шара одного цвета - это значит 2 белых или 2 чёрных. Число спосо­бов, которыми можно взять два белых шара будет равно числу сочетаний из трёх (п = 3) по два (к = 2) элемента:

9

2 3! 3! 3-2С3 = = = = 3

2!-(3-2)! 2!-1! 2

Число способов, которыми можно взять 2 чёрных шара будет равно числу сочетаний из четырёх (п = 4) по два (к = 2) элемента:

2 4! 4! 4-3-2С₄ = = = = 6

2!-(4-2)! 2!-2! 2-2

По правилу сложения число способов, которыми можно взять два шара одного цвета, равно:

С₃²+С₄² =3 + 6 = 9.

б) 2 шара разного цвета - это значит 1 белый и 1 чёрный. Число способов, которыми можно взять 1 белый шар будет равно числу сочетаний из трёх (п = 3) по одному (к = 1) элементу:

1 3! 3! 3-2

С3 — — — — 3

1! - (3-1)! 1!-2! 2

Число способов, которыми можно взять 1 чёрный шар будет равно числу сочетаний из четырёх (п = 4) по одному (к= 1) элементу:

1 4! 4! 4-3-2

С — — — — 4

1! • (4-1)! 1!-3! 3-2

По правилу умножения число способов, которыми можно взять 1 белый и 1 чёрный шар, равно:

С1-С1 =3-4 = 12.

ОТВЕТ: а) 9; б) 12.

10 I.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЁТА ВЕРОЯТНОСТИ I.2.1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

В теории вероятностей под испытанием (или опытом) понимается экспе­римент, который может быть повторён неограниченное число раз. Повторение одного и того же испытания может приводить к разным исходам.

Определение. Случайным событием называется такое, которое в результате некоторого опыта может произойти или не произойти.

События обозначаются большими латинскими буквами A, B, C….

Определение. Достоверным называется событие, которое в результате опы­та обязательно произойдёт.

Определение. Невозможным называется событие, которое не может про­изойти в результате опыта.

Определение. Два события называются совместными, если появление одно­го из них не исключает возможности появления другого. Если же появление одного исключает возможность появления другого, то события называются не­совместными.

Из определения следует, если два события могут произойти одновременно, то они совместны, в противном случае – несовместны.

Определение. События А₁, А₂, …, А_n называются единственно-возможными, если при испытании одно из них непременно произойдёт.

Определение. Если события А₁, А₂, …, А_n единственно-возможны и попарно несовместны, то А₁, А₂, …, А_n называются полной группой.

Определение. Два события, образующих полную группу, называются про­тивоположными. Противоположное к А событие обозначается Ā.

Определение. Суммой событий A и B называется событие, состоящее в на­ступлении хотя бы одного из этих событий. Сумма событий обозначается A + B.

11

Определение. Произведением событий А и В называется событие, состоя­щее в наступлении обоих этих событий. Произведение событий обозначается

АВ.