МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный университет дизайна и технологии»

Кафедра «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

«Теория вероятностей и

математическая статистика» (для выполнения контрольной работы по математике № 4)

для направлений подготовки

262200 – Конструирование изделий лёгкой промышленности

262000 – Технология изделий лёгкой промышленности

261700 – Технология полиграфического и упаковочного производства

240100 – Химическая технология

151000 – Технологические машины и оборудование

100800 – Товароведение

080200 – Менеджмент

Новосибирск, 2013

2

УДК 516/517

Составитель: к.т.н., доцент И.Ю. Соколовская Рецензент: д.т.н., профессор В.А. Заев

Методические указания утверждены на заседании кафедры Высшая ма­тематика НТИ (филиал) «МГУДТ» Протокол № 8 от 30.01.2013

Методические указания. – Новосибирск, Изд. НТИ (филиал) «МГУДТ», 2013, С. 53, Рис.4, Список литературы 5 названий.

3 Содержание

Введение 4

I. Теоретические сведения и примеры по теме «Теория вероятностей»

1. Элементы комбинаторики 5

2. Определение, свойства и методы расчёта вероятности 10

3. Случайные события и операции над ними 10

4. Определения и свойства вероятности 11

5. Основные теоремы вычисления вероятности 12

6. Повторные независимые испытания: теоремы Бернулли, Лапласа, Пуассона 14

1.3. Случайные величины и законы их распределения 20

7. Основные понятия 20

8. Функция распределения 21

9. Плотность распределения 22

10. Числовые характеристики случайных величин 23

11. Закон нормального распределения 26

П. Теоретические сведения и примеры по теме «Математическая ста­тистика»

П.1. Выборочный метод, статистическое распределение 30

П.2. Статистические оценки числовых характеристик 35

П.2.1. Точечные оценки математического ожидания,

дисперсии, среднего квадратического отклонения 35

П.2.2. Интервальные оценки 38

12. Теоретические вопросы для подготовки к экзамену 41

13. Задания контрольной работы № 4 43

V. Исходные данные для заданий контрольной работы № 4 44

Литература 47

Приложение 1. Таблица значений функции _Ф(х) 48

Приложение 2. Таблица значений интегральной функции Лапласа... 49

Приложение 3. Таблица значений t₇ = t(y, n) 51

Приложение 4. «Требования к оформлению контрольной работы по

математике» 52

4 Введение

Методические указания предназначены студентам 1 курса заочной формы обучения для выполнения контрольной работы № 4 по математике. В первой части предложен краткий теоретический материал с решением типовых задач по теме «Теория вероятностей», во второй части – по теме «Математическая статистика».

В третьей части дан список теоретических вопросов, необходимых для подготовки к экзамену по темам контрольной работы.

Четвёртая часть состоит из заданий контрольной работы № 4. Студент должен полностью выполнить задачи во всех пяти заданиях с исходными дан­ными своего варианта из части V. Номер варианта (с 1-го по 9-ый) определяет­ся по последней цифре номера студенческого билета (или зачётной книжки). Последняя цифра в номере студенческого билета «0» соответствует 10-му вари­анту контрольной работы.

Предлагаемый в конце список литературы [1 – 5] поможет студентам более подробно ознакомиться с изучаемым во 2-м семестре материалом по курсу ма­тематики.

5

I. Теоретические сведения и примеры

ПО ТЕМЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

I. 1. Элементы комбинаторики

В теории вероятностей часто сталкиваются с необходимостью решения комбинаторных задач, состоящих в отыскании количества тех или иных комби­наций элементов различных множеств. Комбинаторика - это раздел математи­ки, изучающий задачи выбора и расположения элементов из некоторого множе­ства в соответствии с заданными правилами

Определение. Множество - это совокупность объектов произвольной при­роды. Объекты, входящие в данное множество, называются элементами множе­ства.

Множества обозначаются большими латинскими буквами A, B, C …, а их элементы - соответствующими малыми буквами a, b, c … Если элемент a при­надлежит множеству A, то этот факт записывается, как a е A. Если же a не входит во множество A, то пишут a£ A.

Определение. Если множество не содержит ни одного элемента, то его на­зывают пустым и обозначают символом 0.

Определение. Множество A называется подмножеством множества B, если все его элементы являются одновременно элементами множества B. В этом случае пишут A<^B.

Определение. Количество элементов, содержащихся во множестве A, назы­вается мощностью множества. Мощность пустого множества равна 0. Множе­ство называется конечным, если его мощность - конечное число. В противном случае множество называется бесконечным.

Определение. Суммой или объединением множеств A и B называется мно­жество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B. Объединение множеств обозначается A+B или A^B (см. рис. 1).

6

Определение. Произведением или пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих мно­жеству А и множеству В. Пересечение множеств обозначается АВ или АслВ (см. рис. 1).

а)А+Вили AkjB б)АВили АслВ

Рис. 1. Геометрическая интерпретация суммы и произведения множеств

Определение. Если все рассматриваемые множества в процессе какого-либо рассуждения являются подмножествами одного и того же множества, то по­следнее называется основным.

Определение. Подмножество элементов основного множества Ω, не при­надлежащих множеству А, называется дополнением множества А до множества Ω или просто дополнением и обозначается Ā.