
Практика_13 / Практика13(kad)
.pdf
Найтишагвременной дискретизации реализациислучайного процессапривосстановлении сигнала полиномомЛагранжапервойстепенииследпараметров
σ:= 0.5 |
α:= 0.5 |
|
R(τ) := σ2 exp(-α |
|
τ |
|
) |
|
σ0 := 0.2 |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
Дисперсия |
Dx := R(0) = 0.25 |
или |
σ2 = 0.25 |
|
|
|
||||||||
Для нахождения шага решаемуравнения |
|
|
|
|||||||||||
|
1.5 σ2 - 2 |
σ2 exp -α |
tли |
+ 0.5 (σ2 exp(-α |
|
tли))= σ02 |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Корниуравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 σ2 - 2 σ2 exp -α |
tли |
+ 0.5 (σ2 exp(-α tли))= σ02 solve |
0.64496147967344912854 |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4.5882286577645103704 |
t := 1.5 σ2 - 2 σ2 exp -α |
tли + |
0.5 (σ2 exp(-α |
tли))= σ02 solve 0.64496147967344912 |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4.5882286577645103 |
Численноезначения |
t1 = -4.588 |
t0 = 0.645 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
tли := |
t0 = 0.645 |
|
|
|
_________________________________________________________________________________
Найтишагвременной дискретизации реальзациислучайного процесса ивосстановлении сигнала способомлиненйноэкстраполяцииприследданных
σ:= 2 α:= 0.5 R(τ) := σ2 exp(-α τ2) δ0 := 0.1
Находимкорееляционнуюфункциюдваждыдифференцированногослучайногопроцесса
Rx2(τ) := (-1)2 d4 (σ2 exp(-α τ2))
dτ4
Rx2(τ) := 4 σ2 α2 exp(-α τ2)(3 - 12 α τ2 + 4 α2 τ4)
Дисперсия 2йпроизводной |
Dx2 := Rx2(0) |
12.0 |
Dx2 := 12 σ2 α2 = 12 |
|||||||||||
Для оценки модульмаксимума2йпроизводнойиспользуемкритерийтрехсигм |
||||||||||||||
σx2 := |
|
|
|
M2 := 3 σx2 |
|
|
M2 := 3 σ α |
|
= 10.392 |
|||||
Dx2 |
|
|
|
12 |
||||||||||
Вероятностьпревышения случайнымнормальнымпроцессом |
||||||||||||||
|
M2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P := 1 - 2 |
|
|
exp |
|
- |
|
|
|
dx2 |
0.0026997960632601884422 |
||||
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
σx2 |
2 π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 σx2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

P := 1 - erf 12 2 σM2x2 1 - erf(
2
3 0.86602540378443866667) = 2.7 10- 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогдашагбудет |
|
|
2 δ0 |
|
|
|
|
|
δ0 |
|
|
|
4 |
|
||
tлэ := M2 |
0.13872638167626057218 |
3 ( |
|
|
|
|
|
) 3 |
|
= 0.139 |
||||||
|
σ |
|
α |
|
__________________________________________________________________________________
Найтишагвременной погрешносчти при восстановлениисигналафункциями отсчетовпри |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соедданных |
σ:= 2 |
|
α:= 10 |
|
|
|
|
|
|
R(τ) := σ2 exp( |
-α τ2) |
|
|
|
|
|
|
σ0 := 0.1 |
||||||||||||||||||
Находимспектральнуюплотностьмощности преобразованиеХинчина-Винера |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
ω2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10 |
|
π e |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Sx(ω) := |
σ2 exp(-α τ2)e- i ω τ dτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
- ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
10 |
|
π e |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ω |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
exp |
-4 α |
|
α |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Полная мощностьилидисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Px(σ) := |
1 |
|
|
|
exp - |
|
ω |
|
|
σ |
|
|
|
dω σ2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
4 α |
|
α |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
σ |
= 4 |
|
|
σ 4 |
4 |
|
|
|
Px := σ |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничимспектрапроцессачастотойсрезаи опишемусловиедля выборачастотысреза
|
|
|
|
Pσ:= σ02 |
|
|
Pc := Px - Pσ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ωc |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Px - Pσ = |
1 |
|
|
|
exp |
- |
|
ω |
|
|
|
σ |
|
|
dω |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
α |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ωc |
|
|
|
ω2 |
|
σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
После интегрирования |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
ωc |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
exp - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πdω 4 erf |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
4 α |
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение принимаетвид |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωc |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
||||||||||||||||||
|
|
|
erf |
|
|
|
|
|
ωc |
σ |
|
4 erf |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(2 |
|
|
|
) |
|
|
20 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
α |
|
|

Решаем |
ωc := 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
σ |
- σ0 |
|
= erf |
|
|
|
ωc |
σ |
|
|
|
(2 |
|
) |
||||||
|
|
α |
||||||||
|
ωc := Find(ωc) = 13.521 |
|
||||||||
|
|
t := |
π |
= 0.232 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ωc |
|
|
|
|
|
Задача 13.1
Найтишагвременной дискретизации случайногостационарногопроцессаиспользуя полином Тейлоранулевойстепенисо следданными
σ:= 0.5 |
α:= 0.5 R(τ) := σ2 exp(-α |
|
τ |
|
) σ0 := 0.2 |
|
|
||||
Дисперсия Dx := R(0) = 0.25 |
σ2 = 0.25 |
Уравнения для расчета шага по Тейлору
Given
R( t) = R(0) - σ202
Find( t) 0.16676321787810211679
Задача 13.2
Найтишагвременной дискретизации случайногостационарногопроцессаиспользуя функцию
отсчетовсо следданными |
σ:= 0.5 |
|
α:= 0.5 R(τ) := σ2 exp(-α |
τ ) σ0 := 0.2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Дисперсия |
Dx := R(0) = 0.25 σ2 = 0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Спектральная плотностьмощности |
|
|
∞ |
|
|
- i ω τ |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Sx(ω) := |
R(τ) e |
|
|
|
dτ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 1.0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
- ∞ |
|
|
|
|
|
|
4.0 ω |
||||
Полная мощностьилидисперсия |
|
1 |
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Px(σ) := |
|
|
|
|
|
|
dω 0.25 |
|
|
|||||
|
|
|
π |
2 |
+ 1.0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4.0 ω |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Px := σ2 = 0.25 Pσ:= σ02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для среза |
Pc := Px - Pσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Уравнения для шага |
|
|
|||||
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ωc |
|
|
|
Px - Pσ = |
|
|
|
1 |
|
dω |
|
π |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
4.0 ω |
+ 1.0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
ωc := Find(ωc) 1.9473714274649296673
t := ωπc = 1.613
Задача 12.3
Найтишагвременной дискретизации случайногостационарногопроцессаиспользуя полином Тейлорапервойстепени со следданными
|
|
|
|
|
σ:= 0.5 |
α:= 0.5 |
R(τ) := σ2 exp(-α |
|
τ |
|
) |
σ0 := 0.2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Дисперсия |
|
Dx := R(0) = 0.25 σ2 = 0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Автокорреляционная функция производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
R1(τ) -0.0625 e- 0.5 |
|
|
τ |
|
|
signum(τ,0)2 |
|
(τ) e- 0.5 |
|
τ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R1(τ) := -1 |
d |
R(τ) |
|
|
|
|
+ 0.25 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1(0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаисная корреляционная функция сигналаиегопервойпроизводной |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
R2(τ) := d |
R(τ) |
R2(τ) -0.125 e- 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
τ |
|
signum(τ,0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
R2(0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение для шага поТейлору |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ02 = 2 R(0) - 2R( t) + |
t2 R1(0) - 2 |
t R2( |
t) solve |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Find( t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таккакдисперсия 1производной равна бесконечностизначитчтопроцесс недифференцируемый проэтомунетвозможностинайтишаг

Задача 12.4
Найтишагвременной дискретизации для стационарногонормального случайногопроцесса и восстановления полиномомЛагранжа нулевойстепенипри
следданных σ:= 2 α:= 0.5 R(τ) := σ2 exp(-α τ2)
Автокореляционная функция производной
Rx1(τ) := -1 d2 (σ2 exp(-α τ2)) 4.0 e- 0.5 τ2 dτ2
Дисперсия производной D1 := Rx1(0) = 4
По правилутрехсигмтаккакэтонормальный процесс
σ1 := |
D1 |
|
|
|
|
Модуль |
M1 := 3 σ1 |
|
|
|
|
максимум |
M1 = 6 |
|
|
|
|
Шагвременнойдискретизации |
tли := |
2 δ0 |
0.033333333333333333333 |
||
|
|
|
M1 |
||
|
|
|
|
|
Задача 12.5
НайтишагРВДстационарного случайного процесса привосстановленииполиномомТейлора |
||||||||||||||||
первой степениприследданных |
σ:= 2 |
α:= 10 |
R(τ) := σ2 exp(-α τ2) |
σ0 := 0.1 |
||||||||||||
Уравнения поТейлору |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
σ02 = 2R(0) - 2R( |
tлэ) + tлэ2 R1(0) - 2 |
tлэ Rвз( |
tлэ) |
|
||||||||
Автокорелляционная функция производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
- 10 τ2 |
2 |
- 10 τ2 |
|
|
||
|
|
R1(τ) := -1 |
|
R(τ) |
R1(τ) 80 e |
|
- 1600 τ |
e |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Взаимная корреляционная функция |
|
Rвз(τ) := |
d |
R(τ) |
Rвз(τ) -80 τ e- 10 τ |
2 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dτ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ02 = 2R(0) - 2R( |
|
tлэ) + |
tлэ2 R1(0) |
- 2 |
tлэ Rвз( |
tлэ) |
|
|
|
|
|
|||||
tлэ := |
|
Find( tлэ) |
|
0.0055907159657864202554 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Задача 12.6
НайтишагРВДстационарного случайного процесса привосстановленииполиномомЛагранжа первой степениприследданных σ:= 2 α:= 10 R(τ) := σ2 exp(-α τ2) σ0 := 0.1
Для полиномаЛагранжапервой степени применяется следующееуравнение:
Given
σ0 |
2 |
= 1.5R(0) |
+ 0.5R( tли) - 2 R |
|
tли |
||||
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tли := |
|
Find( |
tли) |
|
0.10878118412612058252 |
||||
|
|