Добавил:

bot chemist5734494@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Полесский государственный университет

Предмет:

Основы Информационной Биологии

Файл:

учебники / osnovy-informacionnyh-tehnologiy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.04.2024

Размер:

3.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Пример 6.2.

Формула (6.18) значительно упрощается, если оценка находится

Вычислить приближенное значение производной функции, за-

для значения производной

f ′(x)

в узле xi

таблицы. В этом случае,

данной таблицей 6.2 в точке х=4.

учитывая (6.14), получаем:

Таблица 6.2

′

n−i

i!(n−i)1

(n+1)

−1

(6.19)

( i )

(

)

(

)

(n+1)!

( )

f(x)

–1

где ξ– промежуточное значение между x0,x1,x2,…,xn .

Используя формулу (6.16), получим (n = 2, h = 1):

Обозначив:

d (t −1)(t −2)

−1

d (t −2)

d t(t −1)

ГMn+1

(n+1)

f ′(x) ≈2

−(

)

= max

(x)

x0 ≤x≤xn

получим верхнюю оценку абсолютной ошибки численного диффе-

=(t −2+t −1) =(t −2+t)+3(t −1+t) =2t −3+2t −2+6t −3=10t −8.

ренцированияБв узлах:

Учитывая, что узел х=4 соответствует значению t=1, т. е.

(

Mn+1

≤

(n+1)!

h i!

−i

(6.20)

x − x0

i )

(

)

t =

→ f

′

(4) ≈ 2.

6.2.4. Численное дифференцирование

на основе интерполяционной формулы Ньютона

Если известно аналитическое выражение функции f(x), то ф р-

мулу для оценки погрешности

численного

дифференцир вания

Запишем для функции f(x), заданной своими значениями в рав-

можно при этом же условии получить на основе формулы п греш-

ноотстоящих узлах x0,x1,x2, … ,xn первый интерполяционный

ности интерполирования:

f (n+1) (ξ)

многочлен Ньютона:

(x) = f (x)−F

(x) =

(x)

t(t −1) 2

t(t −1)(t −2) 3

(6.17)

n+1

(n+1)!

Pn (x) =Pn (x0 +th) = y0 +t y0 +

y0 −

y0 +…+

где ξ = ξ(x) – значение из отрезка [a; b],

отиу лов х.

t(t −1) … (t −n+1)

n y0.

Учитывая (6.7) и допуская, что f(x) дифференцируемаз

п + 1 раз,

Перепишем этот полином, производя перемножение скобок:

запишем:

отличнd ое(n+1)

Pn (x0 +th) =

′

(x) =

(n+1)

(ξ)

rn (x) =Rn

(ξ)Π`n+1(x)

, (16.18)

−t

−3t

+2t

−6t

+11t

−6t

(n+1)!

= y0 +t y0 +

2y0

−

3y0 +

4y0

+…

261

262

Дифференцируя P (x +th) поt, получиманалогичноформуле(6.16):

n ( ) (

)

( )

′

n+1

′

x = −1

ξ .

f (x) ≈Pn (x0 +th) =

(n+1)

На практике f

y +

2t −1

−6t +2

−9t

+11t −3

(6.21)

приближенно полагают:

−

+… .

f (n+1)(ξ)

≈

n+1

Подобным путем можно получить и производные функции f(x)

n+1

0 ,

более высоких порядков. Однако каждый раз вычисляя значение

производной

функции f(x)

в фиксированной точке х,

в качестве х0

что позволяет использовать приближенную формулу:

следует брать ближайшее слева узловое значение аргумента.

−1 n Δn+1y

Формула 6.21 существенно упрощается, если исходным значе-

rn (x0 ) ≈

(

)

0 .

(6.24)

нием х оказывается один из узлов таблицы. Так как в этом случае

h(n+1)

каждый узел можно считать начальным, то принимая х = х0, t = 0,

получаем:

6.2.5. Постановка задачи численного интегрирования

f ′(x0 ) =

y0 −

2 y0 +

3 y0 −

4 y0 +

5 y0 … .

(6.22)

йПри вычислении определенного интеграла:

Эта формула позволяет точно получать значения производных

I1=

∫ f (x)dx,

Rn (x) =h

(ξ),

мно

функций, заданных таблично.

Выведем формулу погрешности дифференцирования. Исп льзуя

где f(x) – непрерывная на отрезке [a; b]

функция, иногда удается

формулу (6.17) применительно к первому интерполяционному

воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница:

гочлену Ньютона, запишем:

n+1 t(t −1)(t −2)…(t −n)

=F(b)−F(a).

(n+1)

∫ f (x)dx

(6.25)

(n+1)!

Здесь F(x) – одна из первообразных функции f(x). Однако даже

где

ξ –

промежуточное

значение

между

x0,x1,x2, …,

в тех

редких случаях, когда первообразную удается

явно найти

и заданной точкой х. Предполагая, что f(x) дифференцируема п + 1

в аналитической форме, не всегда удается довести до числового от-

вета значение определенного интеграла. Если учесть, что подынте-

(xi )

раз, получим для оценки погрешности дифференцирования

гральная функция задается таблицей или графиком, то интегриро-

вание

по формуле

(6.25) не

получает широкого

применения

(по аналогии с формулой (6.18)):

′

(n+1)

на практике.

rn (x) =Rn (x) =

f (ξ)

(6.23)

В подобных случаях применяют различные методы численного

(ξ)

(n+1)!

оdt

интегрирования. Формулы, используемые для вычисления одно-

кратных интегралов, называют квадратурными формулами.

Для случая оценки погр шности в узле таблицы получим:

263

264

Прием построения квадратурных формул состоит в том, что

Длина xi+1 −xi =h, i =1,2,…,n −1

называется шагом интегрирования.

подынтегральная функция f(x) заменяется на отрезке [a; b] интер-

Естественно считать, что шаг h постоянен, т.е.:

поляционным многочленом, например, многочленом Лагранжа

Ln (x), и получается приближенное равенство

h =

b−a

f (x)dx ≈ L

(x)dx.

∫

(6.26)

∫ n

В этом случае можно применить интерполяционную формулу

Лагранжа для равноотстоящих узлов. Итак, с учетом (6.12) и (6.14)

Предполагается, что отрезок

[a; b]

разбит на п частей точка-

формула (6.28) для весовых коэффициентов Ai примет вид:

миa =x0, x1, x2,…, xn =b, наличие которых подразумевается при по-

(-1)n-i t[n+1]

dx, i =1,2,…,n −1 .

строении многочлена L

(x).

Гi

(x) (6.10), получим:

x∫0

i!(n - i)!(t - i)

(6.29)

Подставляя вместо Ln

Пере дем в этом интеграле к переменной t. Из подстановки (6.9)

Πn+1 (x)

b n

получаем:

∫f (x)dx ≈∫∑yi

dx =∑yi ∫

dx.

b-a

−

a i=0

xi )

`n+1(x)

i=0

a (x

xi ) `n+1(x)

dt =

dx =hdt =

dt.

Таким образом,

т.е.

При х = х0 имеем t = 0, а при х = хn будет:

∫ f (x)dx≈∑yi Ai ,

(6.27)

t =

xn - x0

=n.

i=0

Пn+1 (x)

A =

dx .

где

∫a (x − xi )Пn′+1 (x)

(6.28)

Тогда:

В формуле 6.27 коэффициенты Ai

не

от функц

f(x),

n-i

[

так как они составлены только с учетом у лов интерполяцт. Если

b - a

(

-1

Ai =

)

dt = (b

- a)Hi ,

f(x) – полином степени

п,

то формула (6.27)

точная, так как

0∫0 i!(n - i)!(t - i)

(6.30)

Ln (x)≡ f (x).

(

-1)

n-i

[n+1]

где

Hi =

n 0∫0

i!(n - i)!(t - i)

dt, i = 0,1,2,…,n

(6.31)

6.2.6. Квадратурные формулы Ньют на – К теса

зависят

Применение формулы (6.26)

ред

лагает п строение на от-

Числа (6.29) называют коэффициентами Котеса. Они не зависят

резке интегрирования

[a; b]

системы

интерполяции

от функции f(х), а только от числа точек разбиения. Окончательно,

a =x0, x1, x2 , …,

xn =b,

узлов

с учетом формул (6.27) и (6.30) получаем следующий вид квадра-

которыми отрезок делится на п частей.

турных формул Ньютона - Котеса:

265

266

∫ f (x)dx ≈ (b − a)∑yi Hi ,

(6.32)

i=0

∫ f (x)dx = ∫ Ln (x)dx + Rn (f ),

дающих на одном участке интегрирования различные представле-

где Rn (f ) – остаточный член квадратурной формулы (6.34). Фор-

ния различного числа п отрезков разбиения.

мулу остаточного члена получимТвначале для отрезка [x0 ; x1 ].

6.2.7. Формула трапеций

Имеем:

R =

f (x)dx − hА(y + y )=

f (x)dx − h (f (x )+ f (x + h)),

При п=1 из формулы (6.31) имеем: ( i

0; 1):

∫

1 t

(

t −

∫

)

∫

(

)

откуда следует, что естественно рассматривать R как функцию ша-

= −

dt = −

−

1 dt

= ;

га h: R=R(h). Заметим, что R(0)=0.

Продифференцируем R(h) по h:

= ∫tdt =

′

( )

x0 +h

( )

(

( 0 )

( 0

))

(

))

′

∫

′

Тогда по формуле (6.32) на отрезке [x0 ; x1 ]

получаем интеграл:

f x dx −

f x + f x + h −

x + h

∫1

f (x)dx = (x1 − x0 )(H0 y0 + H1 y1 ) =

(y0 + y1 ),

= f (x0 +h)

−

(x0

+h)−

f (x0 )−

f ′(x0

+ h) =

(6.33)

( f (x0 +h)− f (x0 ))

−

f ′(x0 +h).

Формула (6.33) дает один из простейших способов вычисления

определенного интеграла и называется формулой трапеций.

Заметим, что R`(0)=0. Далее:

вительно, при п=1 подынтегральная функция заменяе ся

ерпо-

R′′(h)=

f ′(x0

+ h)−

f ′(x0

+ h)−

f ′′(x0

+ h)= −

f ′′(x0 + h)

ин

(6.35)

ляционным многочленом Лагранжа первой степени (т.е. линейной

функцией), а геометрически это означает, что площадь кр воли-

Дейст

нейной фигуры заменяется площадью трапеции.

Определим R, последовательно интегрируя R′′(h) на от-

Распространяя формулу (6.33) на все отре ки ра б ен я, полу-

резке [0;h]:

чим общую формулу трапеций для отрезка [a;b]:

∫R′′(z)dz = R′(h)− R′(0)= R′(h),

∫ f (x)dx = h

(6.34)

+ y1

+ y2

+…+ yn−1

откуда с учетом (6.35) имеем:

формуле

Если аналитическое выраж ние дляоодынтегральной функции

(

)

∫

(

)

∫

(

)

известно, может быть поставл н во рос об оценке погрешности чис-

′

′′

1 h

′′

h = R

z dz = −

+ z dz.

(6.36)

(6.34) (погрешность метода).

2 0

ленного интегрирования по

267

268

Применяя к (6.36) обобщенную теорему о среднем, получаем:

6.2.8. Формула Симпсона

При п = 2 из формулы (6.31) последовательно имеем (i = 0, 1, 2):

R′(h) = −

f ′′

(ξ1 )∫zdz = −

f ′′(ξ1 ) ,

(6.37)

2 t

(

t −

1Уt − 2

H0 = −

∫0

)(

)

dt =

;

где ξ1 [x0 ; x0

+ h] и ξ1

зависит от h.

Т2

= −

∫

(

)

;

Далее ∫ R′(z)dz = R(h)− R(0) = R(h),

откуда

учетом

(6.37)

t −2 dt

и обобщенной теоремы о среднем имеем:

∫t(t

−1)dt =

R(h)=

1 h

′

′′

∫

R (z)dz =

∫

f (ξ1 )dz = −

(ξ),

Тогда с учетом (6.32) получим на отрезке [x0 ; x2 ]:

где ξ1 [x0 ; x0 + h].

f (x)dx ≈ (x

)

∫

− x

H y

= 2h y + y + y ,

∑ i

Таким образом, погрешность метода при интегрировании функ-

i=0

ции на отрезке

[x0 ; x1 ] по формуле (6.34) имеет величину:

т.е.

h 1

∫ f (x)dx ≈

y0 + 4y1

+ y2 .

(6.40)

′′(ξ), ξ [x0 ; x1 ].

R = −

(6.38)

Геометрически,

в соответствии со смыслом интерполяци-

Из формулы (6.38) видно, что при f

′′

(ξ)> 0 формула (6.34) да-

онной формулы Лагранжа при п = 2, использование формулы

Rn =

(ξ),

′′

стат

ет значение интеграла с избытком, а при f

(6.40) означает замену подынтегральной функции f(x) парабо-

(ξ)< 0 – с нед

ком. Можно показать,

что

при

распространении оценки

(6.38)

лой L2(x), проходящей через точки Mi(xi, yi) (i = 0, 1, 2).

на весь отрезок интегрирования [a;b] получается формула:

Если считать, что п – четное число (n = 2m), то применяя

формулу (6.40) последовательно к каждой паре частичных от-

h3n

′′

резков [x2i−2 ; x2i ] (i = 1, 2, …, m) получим:

ξ [a;b].

+ y

С учетом hn =b − a найден следующий окончательный вид

∫ f (x)dx ≈

+ 2y1 + y2 +…+ 2y2m−1 .

(6.41)

для оценки погрешности метода интегрир вания по формуле

трапеций:

Формула (6.41) называется формулой Симпсона.

Оценка остаточного члена формулы Симпсона дается формулой:

≤ M

b − a

(b − a)h

(ξ),

(6.39)

′

[a;b].

где

M =max

f ′′(x)

180

x [a,b]

или

269

270

≤ M (b − a)h4

(6.42)

Искомый интеграл вычисляется дважды: при делении отрезка

180

[a;b]. на п частей и на 2п частей (при интегрировании по формуле

где

Симпсона п должно быть четным). Вслед за этим полученные зна-

f ′v (x)

чения интеграла In и I2n сравниваются, и совпадающие первые деся-

M = max

тичные знаки считаются верными.

x [a,b]n

Пусть

Rn и R2n – погрешностиТинтегрирования по

формуле

Как следует из оценки, формула Симпсона, оказывается точной для

Симпсона, соответственно

при п и 2п отрезках разбиения. Учиты-

вая оценку (6.43), можно составить равенство:

полиномов до третьей степени включительно (т.к. для этих случаев

производная четвертого порядка равна нулю). Формула Симпсона об-

Rn = hn

ладает повышенной точностью по сравнению с формулой трапеций.

(6.44)

ГR2n

Это означает, что для достижения той же точности, что и по формуле

h2n

трапеций, можно братьменьшее числоотрезковразбиения.

где hn и

h2n – длина отрезков

разбиения (шаг интегрирования)

Укажем простой практический прием позволяющий прогнозиро-

впервомивторомслучае. Таккак

h2n =

тогдаиз(6.44) получаем:

вать требуемое число отрезков разбиения по заданной точности ε .

Пусть задана предельная допустимая погрешность интегрирова-

ния ε . Желая иметь

≤ ε

с учетом оценки (6.42) достаточно по-

=16R

(6.45)

требовать:

(b − a)h

Если I – истинное значение интеграла, то I = In+Rn и I = I2n+R2n ,

≤ ε,

откуда In+16R2n= I2n+R2n,, то есть:

180

Откуда:

In − I2n

h4 ≤

180ε

, т. е.

h ≤ 4

180ε

(6.46)

b − a

b −a

(6.43)

Формула (6.46) удобна для практической оценки погрешно-

Формула (6.43) позволяет оценить величину шага, необходтмую

сти метода Симпсона, но требует двойного счета.

для достижения заданной точности.

Из оценочных формул (6.39) и (6.42) следует, что ошибка ин-

тегрирования по методу трапеций и методу Симпсона уменьша-

сона возможна лишь тогда, когда

одынтегральная функция задана

биения начинает сильно прогрессировать удельный вес ошибки

6.2.9. Оценка точности квадратурных ф рмул

ется с уменьшением шага интегрирования. При последователь-

ном увеличении числа

отрезков разбиения будем

получать

Как следует из оценочных формул (6.38)зи (6.43), оценка по-

значение интеграла, все более и более близкое к истинному. Этот

грешности метода интегрирования

ф рмулам трапеций и Симп-

вывод имеет теоретическое значение. В процессе практических

вычислений при последовательном удвоении числа отрезков раз-

аналитически. Однако даже и в этом случае на практике применя-

округления, значение которой с некоторого момента ставит пре-

ется следующий прием, пригодный для каждого из рассмотренных

дел достижимой точности результата интегрирования.

методов интегрирования.

271

272

6.3. Методы решения

венная координата. Иначе говоря, в таких уравнениях все функ-

обыкновенных дифференциальных уравнений

ции зависят только от одной переменной и их производные

по этой переменной являются полными.

Инженерные и научные задачи часто связаны с решением диф-

Уравнения в частных производных содержат более одной не-

ференциальных уравнений, так как с помощью последних описы-

зависимой переменной. Этими переменными могут быть, напри-

ваются многие физические явления. Соответственно,

процессы

мер, одновременно пространственные координаты и время или

в технических устройствах так же описываются дифференциаль-

только пространственные координаты для статической задачи.

ными уравнениями.

В таких уравнениях производные от функций по

любой

Природа этих процессов различна. При анализе тепловых режи-

из независимых переменных являются частными. Кроме того,

мов аппаратуры рассчитывают тепловые потоки, при изучении

уравнение может содержать смешанные производные.

электромагнитных процессов – электрические и магнитные поля,

при оценке прочности изделий вычисляют механические напряже-

6.3.1.2. Задача Коши

ния и деформации.

К сожалению, для многих практически важных случаев зада-

Важным элементом задач, содержащих дифференциальные

чи, описываемые дифференциальными

уравнениями, весьма

сложны и получить их точное решение оказывается затрудни-

уравнения, являются дополнительные условия, которые необходи-

мы для получения количественного решения.

тельно или невозможно. Эти трудности могут быть связаны с ви-

Применительно к обыкновенным дифференциальным урав-

дом уравнения, например, с его нелинейным характером. Однако

нениям различают два простых вида задач: задачу с началь-

решить подобные сложные задачи также как и более простые

ными условиями (задачу Коши) и задачу с краевыми условиями

можно с помощью компьютера. Поэтому методы решения диф-

(краевую задачу).

ференциальных уравнений на ЭВМ широко применяются в ин-

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом. Дано

женерной практике.

обыкновенное дифференциальное уравнение:

6.3.1. Задача Коши и краевая задача

du(x)

= f (x,u)

Методы решения задач, содержащих обыкновенные дифферен-

(6.47)

циальныения, зависят от их математической формул

. Рас-

смотрим их.

и начальное условие:

6.3.1.1. Классификация уравнений

ровки

и(х0 )= и0 .

(6.48)

Требуется найти функцию и(х), удовлетворяющую уравнению

Дифференциальные уравнения принято делить на две группы:

(6.47) и начальному условию (6.48).

На практике подобные задачи обычно связаны с расчетом пе-

обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в част-

ных производных.

реходных электрических нестационарных тепловых или механи-

В данном разделе рассматриваютсяметоды решения задач,

ческих процессов при заданном в некоторый начальный момент

описываемых обыкнов нными дифф ренциальными уравнения-

времени исходном состоянии системы. Формулировка краевой

ми. Эти уравнения сод ржат только одну независимую перемен-

задачи будет рассмотрена ниже.

ную, в качестве которой мож т

время или пространст-

выступать

273

274

6.3.2. Одношаговые методы решения задачи Коши

u1 = u0

+ hf (x0, u0) .

К одношаговым относится метод Эйлера (первого порядка), его

Таким образом (6.50) при известном значении функции u0 =

модификация (второго порядка) и методы Рунге – Кутта (более вы-

u(x0) в начальной точке x0 позволяет найти приближенное зна-

чение u1 = u(x1) при малом смещении h от x0. На рис. 6.2 гра-

соких порядков).

фически показан начальный шаг решения методом Эйлера.

6.3.2.1. Метод Эйлера

Метод Эйлера является простейшим численным методом реше-

ния задачи Коши. Рассмотрим его на примере решения обыкновен-

ного дифференциального уравнения первого порядка (6.47) с соот-

ветствующим начальным условием (6.48).

Расчетную формулу метода Эйлера можно получить, используя

разложение функции и(х) в ряд Тейлора в окрестности некоторой

точки хi:

du(xi )

d 2u(xi )

d 3u(xi

)

u(x

+ h)= u(x

)+ h

+… .(6.49)

dx 2

dx 3

Если приращение h мало (то есть h<<xi), то члены ряда, начиная

со слагаемого, включающего h во второй степени, могут быть от-

брошены как малые величины. Тогда из (6.49) в первом приближе-

нии получим:

u(xi

+ h)= u(xi

)+ h

du(xi )

(6.50)

Рис. 6.2. Метод Эйлера

Решение можно продолжить, используя найденное значение

Воспользуемся формулой (6.50), применив ее к ед нс венной

функции u1 для вычисления следующего значения – u2. Распро-

известной из условия задачи точке x0. Найдем в х0

про зводную

страняя эти рассуждения на последующие точки, запишем рас-

du(x0)/dx, подставив (6.48) в (6.47):

четную формулу метода Эйлера в виде:

du (x0 )

= f (x0 ,u (x0 )) = f (x0 ,u0 ). и

ui+1 = ui + hf (xi, ui), i = 0,1,2,... .

(6.51)

Подставив последнее выражение в (6.50) и п лагая, что xi = x0,

Из рис. 6.1 видно, что ошибка метода Эйлера на шаге связа-

на с используемой линейной аппроксимацией u(x). Хотя тан-

получим:

генс угла наклона касательной к кривой точного

решения

u (x0 + h) = u (x0) + hf (x0о, u (x0, u (x0)),

в точке (x0,u0) известен и равен du(x0)/dx, он изменяется при

смещении от x0 до xi. Следовательно, при сохранении начально-

го наклона касательной на всем интервале h расчет u1 выполня-

или, сокращая обознач ния, в окончательном виде:

ется с погрешностью.

275

276

Ошибка метода Эйлера на каждом шаге имеет порядок h2, так

(6.53) – его коррекцией. Непосредственная подстановка формулы

как члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, от-

Эйлера (6.51) в правую часть (6.53) дает расчетное соотношение

брасываются – см. (6.49) и (6.50). Уменьшая h можно снизить ло-

метода Эйлера - Коши (или метода Хьюна).

кальную ошибку на шаге.

Графически

модифицированный метод Эйлера представлен

на рис. 6.3. Из рисунке видно, что поправка, учитывающая измене-

6.3.2.2. Модифицированный метод Эйлера

ние наклона кривой u(x) заметно уменьшает ошибку на шаге h. Мо-

дифицированный метод Эйлера обеспечивает второй порядок точ-

Точность метода Эйлера можно существенно повысить, улуч-

ности. Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода

шив аппроксимацию u(x) на рассчитываемом шаге. Для этого при

пропорциональна h3. Повышение точности дости гается за счет до-

разложении u(x) в ряд Тейлора учтем дополнительно слагаемое, со-

полнительных затрат машинного времени при расчете каждого шага.

держащее h2 и d2u(xi)/dx2 в (6.49). Определим вторую производную,

аппроксимировав ее конечной разностью:

d 2u (xi

)

d du (xi )

u′

u′(xi + h)−u′(xi )

≈

(6.52)

dx2

где x = h, u'(xi + h) = du(xi

+ h)/dx и u'(xi) = du(xi)/dx.

Подставляя полученное выражение в (6.49) и отбрасывая члены

ряда, начиная со слагаемого, содержащего h3, запишем:

du (x )

du (x + h)

u (x

+ h) = u

(x )+

Заменяя в последнем выражении производные так же, как э

было сделано ранее, и используя сокращенные обозначения, полу-

Рис. 6.3. Модифицированный метод Эйлера

чим расчетную формулу модифицированного метода Эйлера:

( f

(xi ,ui

)+ f

(xi+1,ui+1 )).

Дальнейшее снижение погрешности решения можно получить

ui+1 = ui

(6.53)

за счет использования лучшей аппроксимации u(x), учитывающей

слагаемые высоких порядков. Эта идея положена в основу методов

Соотношение (6.53) дает решение для ui+1 в неявномвиде, по-

Рунге – Кутта.

скольку ui+1 присутствует одновременно в лев й и правой его час-

тях. Следует отметить, что использ вание неявныхзметодов оправ-

6.3.2.3. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка

дано тем, что они, как правило, более уст йчивы, чем явные.

Формула (6.53) может рассматриваться и как явное решение, ес-

В модифицированном методе Эйлера для получения второй

ли в ее правую часть подставить знач ние u*i+1, рассчитав его пред-

производной d u(xi)/dx используется конечно-разностная формула

варительно методом Эйл ра

о формуле (6.51). При этом значение

(6.52), включающая значения первой производной u'(x) и u'(xi+h)

ui+1* является

прогнозом,

уточн ние результата по формуле

в начальной и конечной точках шага. Если подобным же образом

277

278

и xi + h.

ψ(h) = u (xi

Тогда

вычислить третью производную, рассчитав предварительно

где функция

+ h)

−

ξ(xi , h)

показывает

отклонение

вторую производную в двух точках шага, то можно с помощью

приближенного

решения

ξ(x ,h)от

точногоu(x + h).

Увеличение

(6.49) построить расчетную формулу метода третьего порядка

точности. Для этого потребуется определить первую произ-

параметра p в (6.54) позволяет сделатьУпогрешность, связанную

водную u'(x) в дополнительной промежуточной точке между xi

с заменой точного решения приближенным, как угодно малой.

Предположим, что p = 1 .

подставляя (6.54)

в (6.56),

Аналогичные рассуждения позволяют вывести расчетные фор-

из условия

ψ(0) = ψ′(0) = 0 получим A1 = 1 и ψ′′(0) = 0 , откуда:

мулы методов более высоких порядков, обеспечивающих заметное

u(x + h)≈u(Аx )+ ∑ A k (h)=u + k =u + hf (x ,u ),

снижение погрешности решения. Однако на практике их реализа-

ция требует существенного повышения объема вычислений с ис-

n=1 n n

пользованием дополнительных промежуточных точек на каж-

дом шаге.

что соответствует формуле Эйлера (6.51). Таким же образом можно

Существуют и другие способы построения численных методов

получить формулы более высоких порядков точности, которые на-

с высоким порядком точности. Один из них, применяемый при по-

зывают методами Рунге – Кутта.

строении группы методов Рунге – Кутта, заключается в аппро-

ОднимБиз наиболее известных является вариант метода Рунге –

ксимации решения дифференциального уравнения суммой:

Кутта, соответствующий p = 4. Это метод четвертого порядка точ-

ности, для которого ошибка на шаге имеет порядок h5.

Его рас-

йчетные формулы имеют следующий вид:

u (xi + h) ≈ ξ(xi ,h) =u (xi )+ ∑Ankn (h),

(6.54)

n=1

k1 + 2k2 + 2k3 + k4

ui+1 = ui +

где An – коэффициенты разложения, kn – последовательность функций:

k1 = hf (xi ,ui );

т(6.55)

где

k1 = hf (xi ,ui );

k2 = hf (xi + α2h,

ui +β21k1 );

k3 = hf (xi + α3h,

+β31k1 +

= hf xi

,ui

;

β32k2 )

;

…

k3 = hf (xi + α3h,

ui +β31k1 +

β32k2 )

= hf xi

,ui

;

k4 = hf (xi + h,ui

+ k3 ).

где αn ,βnm , 0 < m < n <p – некоторые араметры.

выбрать из условия:

Неизвестные параметры An,

αn ,βnm

Рассмотренные выше метод Эйлера и его модификация

можно

по сути дела являются методами Рунге – Кутта первого и вто-

ψ(0) = ψ′(0) = ψ′′(0) =…ψ(K ) (0) = 0,

(6.56)

рого порядка соответственно. Несмотря на увеличение объема

279

280

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2014 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке учебники

#
07.04.2024439.75 Кб1InformationalBiology_Oberemok.pdf
#
07.04.20243.89 Mб1osnovy-informacionnyh-tehnologiy.pdf
#
07.04.20242.48 Mб1Osnovy_informatsionnoi_biologii.pdf
#
07.04.202416.07 Mб0А,Н.Огурцов основы биоинформатики.pdf