ОЭТ / 4.6 Параллельное RLC

Параллельные соединения в цепях переменного тока

При параллельном соединении активного сопротивления и индуктивности напряжение на участках цепи одно и то же, а общий ток равен сумме токов отдельных ветвей (рис.1,а).

Рис.1 а)

б)

в)

Построим векторную диаграмму. Сначала строим вектор напряжения U, потом векторы токов (рис.1,б). Ток I_a, протекающий через сопротивление, совпадает с вектором напряжения и называется активным током. Реактивным является ток индуктивности I_L и он отстает от напряжения на 90º. Результирующий ток I отстает от напряжения на угол φ.

Так как результирующий ток отстает от напряжения, то при напряжении u = U_msinωt в соответствии с векторной диаграммой ток i=I_m(sinωt - φ).

Из треугольника токов следует, что активный, реактивный и полный токи связаны между собой, как стороны прямоугольного треугольника:

, I_a = Icosφ, I_L = Isinφ.

Стороны треугольника токов можно разделить на напряжение U и получить треугольник проводимостей (рис1,в), где:

полная проводимость цепи Y = I/U;

активная проводимость G = I_a/U;

реактивная проводимость В_L = I_L/U.

Установим соотношения между сопротивлениями и проводимостями:

; ; Y = I/U = 1/Z.

Кроме того,

сosφ = G/Y; sinφ = В_L /Y; tgφ = В_L /G.

Аналогично рассматривается параллельное соединение активного сопротивления и емкости (рис.2): схема включения (а), треугольники токов (б), проводимостей (в) и мощностей (г).

Рис.2 а)

б)

в)

г)

При параллельном соединении R, L и C напряжение на элементах цепи одинаковое (рис.3,а). Ток I_R будет током активным: I_а = I_R =U/R.

Ток I_С будет током реактивным, опережающим по фазе напряжение на четверть периода и I_С = U/X_С. Ток I_L будет током реактивным, отстающим по фазе от напряжения на четверть периода и I_L = U/X_L.

1. I_L > I_С. Проводим вектор напряжения и строим векторную диаграмму (рис.3,б). Реактивный ток равен разности индуктивного и емкостного токов: I_Р = I_L  I_С. Общий ток отстает от напряжения на угол φ, т.е. общее сопротивление цепи носит индуктивный характер (В_L> В_C).

Рис.3 а)

б) в)

Из закона Ома известно, что ток прямо пропорционален приложенному напряжению и проводимости цепи. Тогда:

I = U/Z = UY, т.е. Y=1/Z; где Y—полная проводимость;

I_а = Icosφ = . , где G—активная проводимость;

. , где В — реактивная проводимость.

Если токи разделить на напряжение, получим треугольник проводимостей (рис.3,в). Полная проводимость ; cosφ = G/Y; sinφ = B/Y.

Для мощностей можно записать: Р=U²G=UI_a; Q=U²B = UI_P; S = UI.

2. IL > IС (ВL ВC). Общий ток опережает напряжение на угол φ, т.е. общее сопротивление цепи носит емкостной характер. На рис.4 изображены векторная диаграмма токов и напряжения (а), а так же треугольник проводимостей (б).

Рис.4: а) б)

3. IL = IС (ВL= ВC): резонанс токов. В этом случае IР = IL  IС = 0 и общая реактивная проводимость равна нулю. Общий ток совпадает по фазе с напряжением и равен активной составляющей тока: I=Ia=U/G; сosφ=1; Р= I2R.

Рис.5

При резонансе энергии в конденсаторе и катушке равны: .

Подставив в это уравнение U_m = ω₀LI_m и преобразовав его, получим резонансную частоту и период: T₀ =2π .

Так как , то волновое сопротивление контура

При резонансе проводимости реактивных элементов равны Реактивные токи IL=IC=UYB = . Тогда . Количественно данное явление характеризуется добротностью контура Q Чем меньше потери в цепи (при большем R), тем больше добротность контура. Резонанс токов возникает, когда частота источника энергии f равна резонансной частоте f0 (рис.6). Рис.6.

Метод активных и реактивных токов

1. Рассчитать реактивные составляющие ветвей: XL1=ωL1; XL2=ωL2; 2. Рассчитать реактивные сопротивления ветвей X1=Σ XL1i - ΣXС1i; X2=Σ XL2i -Σ XС2i.

Рис.7

3. Рассчитать полные сопротивления ветвей:

Z₁ = Z₂ =

4. Найти cosφ и sinφ каждой ветви:

cos φ₁ = R₁/Z₁; sin φ₁ = X₁/Z₁; cos φ ₂ = R ₂/Z ₂; sin φ ₂ = X ₂/Z ₂.

5. Найти токи в ветвях:

6. Рассчитать активные и реактивные составляющие токов ветвей:

I_1a=I₁ cos φ₁; I_1Р=I₁ sin φ₁; I_2a=I₂ cos φ₂; I_2Р=I₂ sin φ₂.

7. Рассчитать общие активный и реактивный токи: I_a=I_1а + I_2а; I_р=I_1р  I_2р.

8. Рассчитать S = UI_а; Q = U I_Р; Р = U I; Z=U/I.

Энергетические процессы при резонансе токов

Колебательный процесс в контуре заключается во взаимном преобразовании энергии электрического и магнитного полей. Предположим, что конденсатор зарядился и имеет запас энергии . В t=0 он переключается на индуктивность (рис.8,а).

В первую четверть периода (0 - T/4) конденсатор играет роль источника энергии и разряжается через индуктивность, в цепи существует ток (рис.8,б). Увеличение тока вызывает возникновение ЭДС самоиндукции e_L. Энергия электрического поля конденсатора переходит в магнитное поле катушки. ЭДС самоиндукции уравновешивает напряжение на конденсаторе: u_C = e_L.

В t=Т/4 энергия электрического поля конденсатора полностью перешла в энергию магнитного поля катушки : i = I_m; u_C = e_L = 0 (рис.8,в).

Во вторую четверть периода (Т/4 - T/2) ток уменьшается, сохраняя направление. ЭДС меняет свой знак, стремясь поддерживать ток. Индуктивность играет роль источника энергии и конденсатор заряжается с изменением полярности (рис.8,г). Энергия магнитного поля переходит в электрическое поле конденсатора. В t=Т/2 энергия магнитного поля катушки полностью перешла в энергию электрического поля конденсатора: i = 0, u_C = U_m (рис.8,д).

В третью четверть периода (Т/2 - 3/4Т) конденсатор разряжается через индуктивность и играет роль источника энергии. Энергия переходит в магнитное поле катушки (рис.2,е). В t=3/4Т энергия электрического поля конденсатора полностью перешла в энергию магнитного поля катушки (рис.8,ж).

В последнюю четверть периода (3/4Т - T) ток уменьшается, сохраняя направление. Индуктивность играет роль источника энергии и заряжает конденсатор с изменением полярности (рис.8,з). В t=Т энергия магнитного поля катушки полностью перешла в энергию электрического поля конденсатора (рис.8,и). После этого процесс повторится.

Рис.9 а)

б)

Таким образом, в контуре, состоящем из параллельно включенных индуктивности и конденсатора, создаются незатухающие колебания с периодом Т0 (рис.9,а). В реальном колебательном контуре запас энергии сокращается за счет потерь. Поэтому амплитуда тока с каждым периодом уменьшается и процесс называется апериодическим (рис.9,б).

Расчет параллельного колебательного контура:

L	мГн	15,9	15,9	15,9	15,9	15,9	15,9	15,9	15,9	15,9
f	Гц	40,00	45,00	47,00	49,00	50,00	51,00	53,00	55,00	60,00
Т	сек	0,0250	0,0222	0,0213	0,0204	0,0200	0,0196	0,0189	0,0182	0,0167
ω		251,20	282,60	295,16	307,72	314,00	320,28	332,84	345,40	376,80
XL	Ом	3,99	4,49	4,69	4,89	4,99	5,09	5,29	5,49	5,99
C	мкФ	637	637	637	637	637	637	637	637	637
Хc	Ом	6,25	5,56	5,32	5,10	5,00	4,90	4,72	4,55	4,17
R	Ом	100	100	100	100	100	100	100	100	100
Z	Ом	11,00	22,89	37,06	76,70	99,96	79,43	39,79	25,49	13,55
U	В	100	100	100	100	100	100	100	100	100
S	Bт	909,08	436,95	269,86	130,38	100,04	125,90	251,35	392,3	737,9
Q	BАр	903,56	425,35	250,64	83,66	2,78	-76,49	-230,60	-379,3	-731,1
P	Bт	100,00	100,00	100,00	100,00	100,00	100,00	100,00	100,0	100,0
cos φ		0,11	0,23	0,37	0,77	1,00	0,79	0,40	0,25	0,14
IR	А	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
IL	А	25,04	22,26	21,31	20,44	20,03	19,64	18,90	18,21	16,69
IC	А	16,00	18,00	18,80	19,60	20,00	20,40	21,20	22,00	24,00
IР	А	9,04	4,25	2,51	0,84	0,03	-0,76	-2,31	-3,79	-7,31
I	А	9,09	4,37	2,70	1,30	1,00	1,26	2,51	3,92	7,38