Теоретические задачи

1.Доказать, что если линейный оператор – невырожден, то и -¹ имеют одни и те же собственные векторы. Найти связь между собственными значениями этих операторов.

2.Доказать, что если x – собственный вектор оператора , относящийся к собственному значению , то x будет собственным вектором и для оператора где – произвольный многочлен степени n. Найти соответствующее собственное значение оператора .

3.Найти характеристический многочлен оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве по формуле , где – фиксированный вектор.

4.Найти собственные значения и собственные векторы оператора , действующего

втрехмерном евклидовом пространстве по формуле , где – фиксированный вектор.

5.Привести пример линейных операторов и , таких, что .

6.Доказать, что оператор

1) положителен когда для любого x|Â*x|.

2) нормален когда для любого оператор также нормален.

(

7.Доказать, что в положительно определенной квадратичной форме

все коэффициенты при квадратах неизвестных

положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности формы.

8.Доказать, что ортогональное дополнение к линейному подпространству евклидова (унитарного) пространства является линейным подпространством пространства . В случае, если , найти .

9.В пространстве заданы две квадратичные формы и . Можно ли одним невырожденным преобразованием привести их к каноническому виду? Если можно, то указать это преобразование. Если нельзя, то доказать это утверждение.

10.Доказать, что сумма и пересечение подпространств и , инвариантных относительно оператора , также инвариантны относительно оператора .

11.Дать определения нормальных и унитарных операторов. Связь между ними. Будет ли нормальный оператор унитарным и наоборот. Если да, то доказать это утверждение. Если нет, то также доказать. Будет ли произведение унитарных (нормальных) операторов в свою очередь унитарным (нормальным) оператором? Если да, то доказать. Если нет, то также доказать или привести контрпример.

12.Доказать, что если , где и перестановочны, – эрмитово, – унитарно, то – нормальное преобразование.

13.Доказать, что если и – самосопряженные преобразования, то самосопряженными будут и преобразования:

и .

14.Доказать, что произведение двух унитарных преобразований есть снова унитарное преобразование.

15.Показать, что если – унитарное преобразование, а – самосопряженное преобразование, то преобразование – также самосопряженное.

16.Доказать, что если – самосопряженное преобразование то преобразование

существует и является унитарным. ( здесь – тождественное преобразование).

17. Пусть – унитарное преобразование. Доказать, что если преобразование обратимо, то преобразование – самосопряженное.

(здесь – тождественное преобразование).

18.Доказать, что всякое инвариантное собственное подпространство линейного

преобразования является также инвариантным подпространством линейного преобразования если преобразования и коммутируют.

19.Доказать теорему Гамильтона-Кэли о том, что матрица линейного преобразования

в удовлетворяет его характеристическому уравнению, для частного случая n=2.

20.Доказать, что множество линейных операторов над пространством

– линейное пространство и найти его размерность

21.Доказать, что для любых двух подпространств и конечномерного пространства таких, что существует линейный оператор , действующий в пространстве , такой, что и .

22.Доказать, что ядро и образ любого линейного оператора ,

действующего в пространстве , являются линейными подпространствами пространства , причем ядро и образ любого оператора являются инвариантными подпространствами относительно оператора .

23.Найти собственные значения и собственные векторы оператора сопряженного к

оператору , действующего в трехмерном евклидовом пространстве по формуле , где – фиксированный вектор.

24.Пусть в трехмерном евклидовом пространстве задан оператор равенством

где – фиксированный вектор.

1)Найти сопряженный к нему оператор *,

2)Показать, что – нормальный оператор,

3)Является ли этот оператор ортогональным?

25.Доказать, что пересечение подпространств и и сумма подпространств и

также являются подпространствами.

26.Доказать, что если и – положительно определенные преобразования, из которых одно не вырождено, то преобразование имеет неотрицательные собственные значения.