ГЛАВА 7

КВАНТОВООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ.

ФИЗИКА АТОМА

§ 34. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Основные формулы

• Закон Стефана — Больцмана

М_e=T⁴

где M_e — энергетическая светимость черного тела; Т — термоди­намическая температура;  — постоянная Стефана — Больцмана

[ = 5,67*10^-8 Вт/(м²*К⁴)].

• Энергетическая светимость серого тела

М_e=εT⁴

где ε — коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела.

• Закон смещения Вина

λ_m=b/T,

где λ_m — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b—постоянная закона смещения Вина (b=2,9010^-3 м*К).

• Формула Планка

г де M_λ,T , M_,T— спектральные плотности энергетической свети­мости черного тела; λ — длина волны;  — круговая частота; с— скорость света в вакууме; k — постоянная Больцмана; Т — термо­динамическая температура; h—постоянная Планка; ħ=h/(2π) - постоянная Планка, деленная на 2π*.

• Зависимость максимальной спектральной плотности энерге­тической светимости от температуры

(M_λ,T)_max=CT⁵,

где С—постоянная [С= 1,30*10^-5 Вт/м³*K⁵)].

* Первоначально постоянной Планка называлась величина h=6,63*10^-34Дж*с. Позднее постоянной Планка стали называть также величину ħ=h/(2π)=1,05*10^-34 Дж*с. При дальнейшем изложении в данном пособии все больше будет отдаваться предпочтение величине ħ.

Примеры решения задач

Пример 1. Исследование спектра излучения Солнца показы­вает, что максимум спектральной плотности энергетической све­тимости соответствует длине волны λ=500 нм Принимая Солнце за черное тело, определить. 1) энергетическую светимость Me Солнца;

2) поток энергии Ф_е, излучаемый Солнцем; 3) массу т электромаг­нитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с.

Решение 1. Энергетическая светимость M_e черного тела выражается формулой Стефана — Больцмана

М_e=T⁴ (1)

Температура излучающей поверхности может быть определена из закона смещения Вина. λ_m=b/T. Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в формулу (1), получим

М_e= (bλ_m)⁴, (2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

М_e =64 МВт/м².

2. Поток энергии Ф_е, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности.

Ф_е = 4πr²M_e , (3)

где r — радиус Солнца

Подставив в формулу (3) значения π, r и М_e и произведя вычис­ления, получим

Ф_е =3,9*10²⁶ Вт.

3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солн­цем за время t=1 с, определим, применив закон пропорциональ­ности массы и энергии Е=тс². Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощ­ности излучения) на время Е=Фt. Следовательно, Ф_е = тс², откуда т= Ф_е /с²

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

m = 4,3*10⁹ кг.

Пример 2. Длина волны λ_m , на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, равна 0,58 мкм. Опре­делить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (M_λ,T)_max , рассчитанную на интервал длин волн ∆λ=1нм, вблизи λ_m.

Решение. Максимальная спектральная плотность энергети­ческой светимости пропорциональна пятой степени температуры Кельвина и выражается формулой

(M_λ,T)_max = СТ⁵. (1)

Температуру Т выразим из закона смещения Вина λ_m =b/Т, откуда Т=b/λ_т

Подставив полученное выражение температуры в формулу (1), найдем

(M_λ,T)_max=C(b/λ_m)⁵,

В табл. 24 значение С дано в единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн ∆λ=1 м. По условию же задачи требуется вы­числить спектральную плотность энергетической светимости, рас­считанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому выпишем значение С в единицах СИ и пересчитаем его на заданный интервал длин волн:

С=1,30*10^-5 Вт/(м³К⁵)=1,30*10^-5 Вт/(м²*м*K⁵) =

=1,30*10-14 Вт/(м²*нм*К⁵).

Вычисление по формуле (2) дает

(r_λ,T)_max=40,6 кВт/(м*нм).

Задачи

Закон Стефана—Больцмана

34.1. Определить температуру Т, при которой энергетическая светимость M_e черного тела равна 10 кВт/м² .

34.2. Поток энергии Ф_е, излучаемый из смотрового окошка плавильной печи, равен 34 Вт. Определить температуру Т печи, если площадь отверстия S = 6 см².

34.3. Определить энергию W излучаемую за время t= 1 мин из смотрового окошка площадью S=8 см² плавильной печи, если ее температура T=1,2 кК.

34.4. Температура Т верхних слоев звезды Сириус равна 10 кК, Определить поток энергии Ф_е, излучаемый с поверхности площадью S=1 км² этой звезды.

34.5. Определить относительное увеличение ∆ M_e/M_e энергетической светимости черного тела при увеличении его температуры на 1%.

34.6. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую тем­пературу черного тела, чтобы его энергетическая светимость M_e возросла в два раза?

34.7. Принимая, что Солнце излучает как черное тело, вычислить его энергетическую светимость M_e и температуру Т его поверхности. Солнечный диск виден с Земли под углом  =32’. Солнечная постоян­ная *С=1,4 кДж/(м²*с).

* Солнечной постоянной называется величина, равная поверхностной плотности потока энергии излучения Солнца вне земной атмосферы на сред­нем расстоянии от Земли до Солнца.

34.8. Определить установившуюся температуру Т зачерненной металлической пластинки, расположенной перпендикулярно солнеч­ным лучам вне земной атмосферы на среднем расстоянии от Земли до Солнца. Значение солнечной постоянной приведено в предыдущей задаче.

34.9. Принимая коэффициент теплового излучения в угля при температуре T=600 К равным 0,8, определить: 1) энергетическую светимость M_e угля; 2) энергию W, излучаемую с поверхности угля с площадью S = 5 см² за время t=10 мин.

34.10. С поверхности сажи площадью S = 2 см² при температуре T=400 К за время t=5 мин излучается энергия W=83 Дж. Опреде­лить коэффициент теплового излучения ε сажи.

34.11. Муфельная печь потребляет мощность Р=1 кВт. Темпе­ратура Т ее внутренней поверхности при открытом отверстии пло­щадью S=25 см² равна 1,2 кК. Считая, что отверстие печи излучает как черное тело, определить, какая часть  мощности рассеивается стенками.

34.12. Можно условно принять, что Земля излучает как серое тело, находящееся при температуре T=280 К. Определить коэффи­циент теплового излучения ε Земли, если энергетическая светимость M_e ее поверхности равна 325 кДж/(м²*ч).

34.13. Мощность Р излучения шара радиусом R= 10 см при неко­торой постоянной температуре Т равна 1 кВт. Найти эту темпера­туру, считая шар серым телом с коэффициентом теплового излучения ε =0,25.

Закон Вина. Формула Планка

34.14. На какую длину волны λ_m приходится максимум спект­ральной плотности энергетической светимости (M_λ,T)_max черного тела при температуре t=0°С?

34.15. Температура верхних слоев Солнца равна 5,3 кК. Считая Солнце черным телом, определить длину волны λ_m , которой соответ­ствует максимальная спектральная плотность энергетической све­тимости (M_λ,T)_max Солнца.

34.16. Определить температуру Т черного тела, при которой максимум спектральной плотности энергетической светимости (M_λ,T)_max приходится на красную границу видимого спектра (λ₁ =750 нм); на фиолетовую (λ₂=380 нм).

34.17. Максимум спектральной плотности энергетической све­тимости (M_λ,T)_max яркой звезды Арктур приходится на длину волны λ_m =580 нм. Принимая, что звезда излучает как черное тело, опре­делить температуру Т поверхности звезды.

34.18. Вследствие изменения температуры черного тела макси­мум спектральной плотности (M_λ,T)_max сместился с λ₁=2,4 мкм на λ₂=0,8 мкм. Как и во сколько раз изменились энергетическая светимость M_e тела и максимальная спектральная плотность энерге­тической светимости?

34.19. При увеличении термодинамической температуры. Т чер­ного тела в два раза длина волны λ_m на которую приходится макси­мум спектральной плотности энергетической светимости (M_λ,T)_max , уменьшилась на ∆λ =400 нм. Определить начальную и конечную температуры T₁ и T₂.

34.20. Эталон единицы силы света — кандела — представляет собой полный (излучающий волны всех длин) излучатель, поверх­ность которого площадью S = 0,5305 мм² имеет температуру t зат­вердевания платины, равную 1063 °С. Определить мощность Р излучателя.

34.21. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости (M_λ,T)_max черного тела равна 4,16*10¹¹ (Вт/м²)/м. На какую длину волны λ_m она приходится?

34.22. Температура Т черного тела равна 2 кК. Определить:

1) спектральную плотность энергетической светимости (M_λ,T) для длины волны λ=600 нм; 2) энергетическую светимость M_e в интер­вале длин волн от λ₁=590 нм до λ₂ =610 нм. Принять, что средняя спектральная плотность энергетической светимости тела в этом ин­тервале равна значению, найденному для длины волны λ=600 нм.

365