4.2.Упругие волны

4.116. Определите разность фаз Δφ колебаний двух точек, лежащих на луче и друг от друга на расстоянии Δl=1 м, если длина волны λ=0,5 м. [Δφ=4π, точки колеблются в одинаковых фазах]

4.117. Две точки лежат на луче и находятся от источника колебаний на расстояниях x₁=4м и x₂=7м. Период колебаний T=20 мс и скорость v распространения волны равна 300 м/с. Определите разность фаз колебаний этих точек. [Δφ=π, точки колеблются в противоположных фазах]

4.118. Волна распространяется в упругой среде со скоростью v=150 м/с. Определите частоту v колебании, если минимальное расстояние Δx между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 0,75 м. [100 Гц]

4.119. Определите длину волны λ, если числовое значение волнового вектора равно 0,02512 см^–1. [2,5 м]

4.120. Звуковые колебания с частотой v=450 Гц и амплитудой A=0,3 мм распространяются в упругой среде. Длина волны λ=80 см. Определите: 1) скорость распространения волн; 2) максимальную скорость частиц среды. [1) 360 м/с; 2) 84,8 см/с]

4.121. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси x в среде, не поглощающей энергию, со скоростью v=10 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях х₁=7 м и х₂=10 м от источника колебании, колеблются с разностью фаз Δφ=3π/5. Амплитуда волны A=5 см. Определите: длину волны λ; 2) уравнение волны; 3) смещение ξ₂ второй точки в момент времени t=2 с. [l) λ=10 м; 2) ξ(x, t)=0,05cos , м; 3) ξ₂=5см]

4.122. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью v=10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура A=5 см, а период колебаний T=1 с. Запишите уравнение волны и определите: 1) длину волны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускоре­ние точки, расположенной на расстоянии x=9 м от источника колебаний в момент времени t=2,5 с. [ξ(x, t)=5cos , см; 1) λ=10 м; 2) φ=3,2π, ξ=–4 см, ]

4.123. Убедитесь, что волновому уравнению удовлетворяет плоская волна ξ(x, t)=Acos[ ].

4.124. Выведите связь между групповой и фазовой скоростями. [ ]

4.125. Докажите, что в недиспергирующей среде групповая и фазовая скорости равны.

4.126. Определите разность фазовой и групповой скоростей для частоты v=800 Гц, если фазовая скорость задается выражением v= , где а₀=24 м/с, b=100 Гц. [2,46 м/с]

4.127. Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой v=400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде v=1 км/c. Определите, при какой наименьшей разности хода, не равной нулю, будет наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2) максимальное ослабление колебаний. [1) 2,5 м; 2) 1,25 м]

4.128. Два когерентных источника посылают поперечные волны в одинаковых фазах. Периоды колебаний Т=0,2 с, скорость распространения волн в среде v=800 м/с. Определите, при какой разности хода в случае наложения волн будет наблюдаться: 1) ослабление колебаний; 2) усиление колебаний. [1) ±80(2m+1), м (т=0, 1, 2, ...); 2) ±160m, м (m=0, 1, 2, ...)]

4.129. По поверхности воды распространяются две волны, возбуждаемые двумя точечными когерентными источниками. Какую форму имеют линии, на которых лежат точки, имеющие одну и ту же постоянную разность хода? [Гиперболы, в фокусах которых находятся источники]

4.130. Два динамика расположены на расстоянии d=0,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на частоте v=1500 Гц. Приемник находится на расстоянии l=4м от центра динамиков. Принимая скорость звука v=340 м/с, определите, на какое расстояние от центральной линии параллельно динамикам надо отодвинуть приемник, чтобы он зафиксировал первый интерференционный минимум. [90,7 см]

4.131. Два динамика расположены на расстоянии d=2,5 м друг от друга и воспроизводят один и тот же музыкальный тон на определенной частоте, который регистрируется приемником, находящимся на расстоянии l=3,5 м от центра динамиков. Если приемник передвинуть от центральной линии параллельно динамикам на расстояние x=1,55 м, то он фиксирует первый интерференционный минимум. Скорость звука v=340 м/с. Определите частоту звука. [175 Гц]

4.132. Образование стоячих волн наблюдают обычно при интерференции бегущей и отраженной волн. Объясните, когда и почему на границе отражения получается узел или пучность.

4.133. Объясните, где звук громче: в пучности или в узле стоячей волны.

4.134. Определите длину волны λ, если расстояние Δl между первым и четвертым узлами стоячей волны равно 30 см. [20 см]

4.135. Микроволновый генератор излучает в положительном направлении оси x плоские электромагнитные волны, которые затем отражаются обратно. Точки М₁ и М₂ соответствуют положениям двух соседних минимумов интенсивности и отстоят друг от друга на расстоянии l=5 см. Определите частоту микроволнового генератора. [3 ГГц]

4.136. Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону ξ=Acosωt, а другой его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от менее плотной среды, определите характер колебаний в любой точке стержня. [ξ=2Acos cosωt – уравнение стоячей волны; если x=±т (т=0, 1, 2, ...) – пучности, если x=± (m=0, 1, 2, ...) – узлы]

4.137. Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону ξ=Acosωt, а другой его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, определите характер колебаний в любой точке стержня. [ξ,=2Asin cosωt – уравнение стоячей волны; если x=±т (т=0, 1, 2, ...) – узлы, если x=± (m=0, 1, 2, ...) – пучности]

4.138. Выведите условие для координат пучностей и узлов стоячей волны. [x_п=±т , x_у=± (m=0, 1, 2, ...)]

4.139. Для определения скорости звука в воздухе методом акустического резонанса используется труба с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Расстояние между соседними положениями поршня, при котором наблюдается резонанс на частоте v=2500 Гц, составляет l=6,8 см. Определите скорость звука в воздухе. [340 м/c]

4.140. Стержень с закрепленными концами имеет длину l=70 см. При трении стержень издает звук, основная частота (наименьшая частота, при которой может возникать стоячая волна) которого v₀=1 кГц. Определите: 1) скорость звука в стержне; 2) какие обертоны (волны с кратными основными частотами) может иметь звук, издаваемый стержнем. [1) 1,4 км/с; 2) обертоны v_i=kv₀ (k=2, 3, ...)]

4.141. Труба, длина которой l=1м, заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость звука v=340 м/c, определите, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна. [85 Гц]

4.142. Человеческое ухо может воспринимать звуки, соответствующие граничным частотам v₁=16 Гц и v₂=20 кГц. Принимая скорость звука в воздухе равной 343 м/с, определите область слышимости звуковых волн. [17 мм – 21,4 м]

4.143. Определите интенсивность звука (Вт/м²), уровень интенсивности L которого составляет 67 дБ. Интенсивность звука на пороге слышимости l₀=10^–12 Вт/м². [5,01 мкВт/м²]

4.144. Определите отношение интенсивностей звуков, если они отличаются по уровню громкости на 2 фон [I₁/I₂₌1,58]

4.145. Разговор в соседней комнате громкостью в 40 фон слышен так, как шепот громкостью 20 фон. Определите отношение интенсивностей этих звуков. [I₁/I₂=100]

4.146. Определите, на сколько фонов увеличился уровень громкости звука, если интенсивность звука увеличилась: 1) в 1000 раз; 2) в 10 000 раз. [1) на 30 фон; 2) на 40 фон]

4.147. Скорость распространения звуковой волны в газе с молярной массой М=2,9·10^–2 кг/моль при t=20 °C составляет 343 м/с. Определите отношение молярных теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме. [1,4]

4.148. Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых условиях составляет 480 м/с. Определите скорость v распространения звука в газе при тех же условиях. [v=328 м/c]

4.149. Докажите, что формула v= , выражающая скорость звука в газе, может быть представлена в виде v= , где γ – отношение молярных теплоемкостей при постоянных давлении и объеме; p – давление газа; ρ – его плотность.

4.150. Плотность ρ некоторого двухатомного газа при нормальном давлении равна 1,78 кг/м³. Определите скорость распространения звука в газе при этих условиях. [282 м/c]

4.151. Движущийся по реке теплоход дает свисток частотой v₀=400 Гц. Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка частотой v=395 Гц. Принимая скорость звука v=340 м/с, определите: 1) скорость движения теплохода; 2) приближается или удаляется теплоход от наблюдателя. [1) 4,3 м/c]

4.152. В реке, скорость течения которой равна v, установлен неподвижный источник колебаний, создающий в воде колебания частотой v₀. По разные стороны на равных расстояниях от источника установлены неподвижные приемники колебаний П₁ и П₂. Определите частоты, регистрируемые этими приемниками. [v₁=v₂=v₀]

4.153. Наблюдатель, стоящий на станции, слышит гудок проходящего электровоза. Когда электровоз приближается, частота звуковых колебаний гудка равна v₁, a когда удаляется – v₂. Принимая, что скорость v звука известна, определите: 1) скорость v_ист электровоза; 2) собственную частоту v₀ колебаний гудка. [1) v_ист= ; 2) v₀= ]

4.154. Электропоезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижного приемника и дает гудок, частота которого 300 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определите скачок частоты, воспринимаемый приемником. [Δv=35,4 Гц]

4.155. Поезд проходит со скоростью 54 км/ч мимо неподвижного приемника и подает звуковой сигнал. Приемник воспринимает скачок частотой Δv=53 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определите частоту тона звукового сигнала гудка поезда. [599 Гц]

4.156. Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, движущегося со скоростью v₁=10 м/с, посылается ультразвуковой сигнал частотой v₁=50 кГц, который распространяется в воде. После отражения от второго катера сигнал принят первым катером с частотой v₂=52 кГц. Принимая скорость распространения звуковых колебаний в воде равной 1,54 км/с, определите скорость v₂ второго катера. [v₂=20,2 м/c]