1.5.Тяготение.Элементы теории поля

1.171. Определите период обращения вокруг Солнца искусственной планеты, если известно, что большая полуось ее эллиптической орбиты больше на 10⁷ км большой полуоси земной орбиты. [13,2 месяца]

1.172. Период обращения кометы Галлея вокруг Солнца Т=76 лет. Минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца, составляет 180 Гм. Определите максимальное расстояние, на которое комета Галлея удаляется от Солнца. Радиус орбиты Земли R₀=150 Гм. [5,2·10⁹ км]

1.173. Считая орбиту Земли круговой, определите линейную скорость v движения Земли вокруг Солнца. [29,8 км/с]

1.174. Период обращения искусственного спутника Земли составляет 3 ч. Считая его орбиту круговой, определите, на какой высоте от поверхности Земли находится спутник. [4,19 Мм]

1.175. Планета массой М движется по окружности вокруг Солнца со скоростью v (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Определите период обращения этой планеты вокруг Солнца. [ ]

1.176. Определите, во сколько раз сила притяжения на Земле больше силы притяжения на Марсе, если радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, а масса Марса – 0,11 массы Земли. [В 2,55 раза]

1.177. Определите среднюю плотность Земли, если известна гравитационная постоянная. [5,51 г/см³]

1.178. Две материальные точки массами т₁ и т₂ расположены друг от друга на расстоянии R. Определите угловую скорость вращения, с которой они должны вращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстояние между ними осталось постоянным. [ ]

1.179. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, соприкасаясь друг с другом, притягиваются. Определите, как изменится сила притяжения, если массу шаров увеличить в п=3 раза. [Возрастет в 4,33 раза]

1.180. Определите высоту, на которой ускорение свободного падения составляет 25 % от ускорения свободного падения на поверхности Земли/ [h=R, R – радиус Земли]

1.181. Считая плотность Земли постоянной, определите глубину, на которой ускорение свободного падения составляет 25 % от ускорения свободного падения на поверхности Земли. [h=0,75R, R– радиус Земли]

1.182. На какой высоте h ускорение свободного падения вдвое меньше его значения на поверхности Земли? [h=264 Мм]

1.183. Стационарным искусственным спутником Земли называют спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Определите расстояние такого спутника до центра Земли. [4,2·10⁴ км]

1.184. На экваторе некоторой планеты (плотность планеты ρ=3 г/см³) тела весят в два раза меньше, чем на полюсе. Определите период обращения планеты вокруг собственной оси. [2,7 ч]

1.185. Принимая, что радиус Земли известен, определите, на какой высоте h над поверхностью Земли напряженность поля тяготения равна 4,9 Н/кг. [2,64 Мм]

1.186. Определите, в какой точке (считается от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны. [0,9 R]

1.187. Имеется тонкий однородный стержень массой т и длиной l. Для точки, находящейся на одной прямой со стержнем на расстоянии а от его ближайшего конца, определите: 1) потенциал гравитационного поля стержня; 2) напряженность его гравитационного поля. [l) ; 2) , i – единичный вектор]

1.188. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу т. Определите в точке, расположенной на оси диска на расстоянии h от него: 1) потенциал гравитационного поля диска; 2) напряженность его гравитационного поля. [l) ; 2) , i – единичный вектор]

1.189. Принимая потенциальную энергию на бесконечно большом расстоянии равной нулю, определите зависимость потенциальной энергии тела массой т от расстояния R до центра Земли. [ , где R – радиус Земли]

1.190. Известно, что искусственный спутник Земли движется вокруг нее по круговой орбите. Определите, во сколько раз гравитационная потенциальная энергия спутника больше его кинетической энергии. [В 2 раза]

1.191. Два алюминиевых шарика (ρ=2,7 г/см³) радиусами r₁=3 см и r₂=5 см соприкасаются друг с другом. Определите потенциальную энергию их гравитационного взаимодействия. [–0,36 нДж]

1.192. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с другом. Определите, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимодействия, если массу шаров увеличить в п=3 раза. [Возрастет в 6,24 раза]

1.193. Принимая, что атмосфера на Луне отсутствует, определите скорость падения метеорита на ее поверхность. Скорость метеорита вдали от Луны считать малой. [2,37 км/с]

1.194. Спутник поднимают на высоту h=6370 км и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определите отношение работ на поднятие (А₁) и на запуск (А₂) спутника. [А₁/А₂=2]

1.195. Определите первую космическую скорость, т. е. горизонтально направленную минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала круговой (тело могло превратиться в искусственный спутник Земли). [v₁=7,9 км/с]

1.196. Определите вторую космическую скорость, т. е. наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической (тело могло превратиться в спутник Солнца). [v₂=11,2 км/с]

1.197. Определите вторую космическую скорость для Луны. [2,37 км/с]

1.198. Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте h=500 км. Определите скорость его движения. [7,62 км/с]

1.199. Два спутника с одинаковой массой движутся вокруг Земли по круговым орбитам разных радиусов R₁ и R₂ (R₂>R₁). Определите: 1) отношение кинетической энергии второго спутника к первому; 2) как зависят от радиуса орбиты потенциальная и полная энергии спутников. [1) E₂/E₁; 2) возрастают с удалением от Земли]

1.200. Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы тело массой т=1000 кг, находящееся на Земле, смогло превратиться в спутник Солнца (при отсутствии сопротивления среды). [62,6 ГДж]

1.201. К потолку вагона, движущегося в горизонтальном направлении с ускорением а=9,81 м/с², подвешен на нити шарик массой т=200 г. Определите для установившегося движения: 1) силу натяжения нити Т; 2) угол φ отклонения нити от вертикали. [1) 2,77 Н; 2) 45°]

1.202. Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, составляющей угол α=30° с горизонтом. Сила трения составляет η=10% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой m=15 г. Определите: 1) силу F, действующую на нить; 2) угол φ отклонения нити от вертикали. [1) 0,128 Н; 2) 23,5°]

1.203. Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, составляющей с горизонтом угол α=30°, a затем переходящей в горизонтальный участок. Силы трения на обоих участках составляют 10% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой m=15 г. Определите силу F, действующую на нить, и угол φ отклонения нити от вертикали на участках дороги: 1) наклонном; 2) горизонтальном. [1) 0,128 Н; 23°28'; 2) 0,148 Н; 5°43']

1 .204. На наклонной плоскости с углом наклона α=30° (смотрите рисунок) лежит тело. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью f=0,2. Определите наименьшее горизонтально направленное ускорение а, с которым должна двигаться наклонная плоскость, чтобы тело, лежащее на ней, поднималось по наклонной плоскости. [ =8,62 м/с²]

1.205. Самолет, летящий со скоростью v=360 км/ч, описывает вертикальную петлю Нестерова радиусом R=360 м. Определите силу, прижимающую летчика (т=80 кг) к сиденью: 1) в нижней точке этой петли; 2) в верхней точке этой петли. [1) 3 кН; 2) 1,44 кН]

1 .206. Модель центробежного регулятора (смотрите рисунок) вращается с частотой п=2 с^-1. Учитывая только массу шаров, определите угол отклонения стержней, несущих шары. Длина стержней l=15 см. [65,5°]

1.207. Определите, во сколько раз ускорение а₁, обусловленное центробежной силой на экваторе Земли, меньше ускорения а₂, вызываемого силой тяготения на поверхности Земли. [В 292 раза]

1.208. Мотоциклист в цирке едет вдоль внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом r=15 м. Центр масс мотоцикла с человеком отстоит на h=1 м от места соприкосновения колес со стенкой. Коэффициент трения шин о стенки f=0,5. Определите: 1) минимальную скорость v_min, с которой должен ехать мотоциклист; 2) угол α наклона мотоциклиста к горизонтальной поверхности при данной минимальной скорости. [1) 17,1 м/с; 2) 26°34']

1.209. Тело массой m=1 кг, падая свободно в течение t=4 с, попадает на Землю в точку с географической широтой φ=45°. Учитывая вращение Земли, определите и начертите все силы, действующие на тело в момент его падения на Землю.

[Сила тяготения F=9,83 Н; центробежная сила инерции F_ц.и.=23,8 мН; сила Кориолиса F_K=4,04 мН]

1.210. Тело массой m=1 кг, падая свободно в течение t=6 с, попадает на Землю в точку с географической широтой φ=30°. Учитывая вращение Земли, определите отклонение тела при его падении от вертикали. [4,45 см]