1.Кинематика

1.1.* Вектор изменил направление на обратное. Найти приращение , и . []

1.2.* Начальное значение радиус-вектора равно , конечное – . Найти: а) приращение радиус-вектора ; б) модуль приращения ; в) приращение модуля . []

1.З.* Исходя из определения среднего значения функции, доказать, что []

а) среднее за время τ значение скорости точки равно приращению перемещения точки за это время, деленному на τ;

б) среднее за время τ значение ускорения точки равно приращению скорости за это время, деленному на τ.

1.4.* Радиус-вектор точки изменяется со временем по закону: . Найти скорость и ускорение точки, модуль скорости v в момент t=2 с, приближенное значение пути S, пройденного точкой за 10-ю секунду движения. []

1.5.* Точка движется со скоростью , а=1м/с². Найти а) модуль скорости точки в момент времени t=1 с;

б) ускорение точки и его модуль ; []

в) путь S, пройденный точкой с момента времени t₁=2 с до момента t₂=З с; []

г) какой характер имеет движение точки? []

1.6.* Зависимость координат частицы от времени имеет вид , , ;

а) определить радиус-вектор частицы , скорость , ускорение и их модули; []

б) вычислить скалярное произведение . Что означает полученный результат? []

в) найти уравнение траектории частицы; []

г) вычислить скалярное произведение . Что означает полученный результат? []

д) в каком направлении движется по траектории частица? []

е) каков характер движения частицы вдоль траектории? []

ж) как изменится движение частицы, если в выражении для у изменить знак на обратный? []

1.7.* Небольшое тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) дальность полета L; []

б) наибольшую высоту подъема Н; []

в) время подъема до максимальной точки и время полета τ; []

г) уравнение траектории тела. []

1.8. Пароход идет по реке от А до В со скоростью =10 км/ч относительно берега, а обратно – со скоростью =16 км/ч. Найти среднюю скорость парохода и скорость течения реки. []

1.9. Найти скорость v относительно берега лодки, идущей по течению, против течения и под углом α=90° к направлению течения. Скорость течения реки и=1м/с, скорость лодки относительно воды =2 м/с. []

1.10. Лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью v=7,2 км/ч. Течение относит ее вниз на расстояние l=150 м. Найти скорость и течения реки и время t, затраченное на переправу. Ширина реки L=0,5 км. []

1.11.* Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды, перпендикулярной к берегам скоростью v=0,3 м/с. Ширина реки равна b=63 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону

где x – расстояние от берега, v₀ – константа, равная 5 м/с. Найти снос лодки S вниз по течению от пункта отправления до места причала на противоположном берегу реки. []

1.12.* Спортсмены бегут колонной длины l со скоростью v. Навстречу бежит тренер со скоростью и<v. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью v. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся? []

1.13.* Два стержня пересекаются под углом а и движутся с равными скоростями v перпендикулярно самим себе (рис. 1). Какова скорость точки пересечения стержней? []

1.14.* Автомобиль удаляется со скоростью v от длинной стены, двигаясь под углом α к ней (рис. 2). В момент, когда расстояние до стены равно l, шофер подает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента, когда шофер услышит эхо? Скорость звука в воздухе равна с. []

1.15.* Сверхзвуковой самолет летит горизонтально. Два микрофона, находящиеся на одной вертикали на расстоянии l друг от друга, зарегистрировали приход звука от самолета с запаздыванием времени ∆t. Скорость звука в воздухе с. Какова скорость самолета? []

Указание. Звуковые волны распространяются внутри конуса, в вершине которого находится самолет, а угол при вершине определяется как

. []

1.16. С аэростата, находящегося на высоте h=300 м, упал камень. Через какое время t камень достигнет земли, если: а) аэростат поднимается со скоростью v=5 м/с; б) аэростат опускается со скоростью v=5 м/с; в) аэростат неподвижен. []

1.17. Тело падает с высоты h=19,6 м без начальной скорости. Какой путь пройдет тело за n-ую секунду своего падения, за последнюю секунду? За какое время тело пройдет n-ый метр своего пути, последний метр? []

1.18. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l=5 м от места бросания. Высота места удара о стенку на ∆h=4,9 м меньше высоты h, с которой брошен мяч. С какой скоростью v_x брошен мяч? Под каким углом α мяч подлетает к поверхности стенки? []

1.19. Камень брошен горизонтально со скоростью v_x=15 м/с. Найти нормальное а_n и тангенциальное а_τ ускорения камня через время t=1c после начала движения. []

1.20. Камень брошен горизонтально со скоростью v_x=10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3 с после начала движения. []

1.21. Мяч брошен со скоростью v₀=10 м/с под углом α=45° к горизонту. Найти радиус кривизны R траектории мяча через 1с после начала движения. []

1.22. Мяч брошен со скоростью v₀ под углом α к горизонту. Найти v₀ и α, если максимальная высота подъема мяча h=3 м, а радиус кривизны траектории мяча в этой точке R=3 м. []

1.23.* Мяч, брошенный со скоростью v₀=10 м/с под углом α=45° к горизонту, упруго ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l=3 м от места бросания. Определить координаты точки приземления и отскока, а также скорость v мяча в момент удара. []

1.24.* На вершине склона горы на расстоянии L (вдоль горизонта) от подножия установлена цель. С какой скоростью v₀ необходимо произвести выстрел из пушки, чтобы попасть в цель. Угол наклона горы α, угол стрельбы по отношению к горизонту β. []

1.25.* На высоте h горизонтально с постоянной скоростью летит самолет. С земли производится выстрел из орудия, причем скорость снаряда v в момент выстрела направлена на самолет под углом α к горизонту. С какой скоростью и летел самолет, если снаряд поразил цель? []

1.26.* Теннисист направляет мяч под углом к горизонту α со скоростью v₀ навстречу движущейся довольно высокой стенке. Скорость стенки и. Считая удар мяча о стенку абсолютно упругим, определить время движения стенки до соударения с мячом, если мяч после отскока упал в точку бросания. Считать, что удар мяча происходит практически с поверхности земли. []

1.27.* Из одной точки в один и тот же момент времени под углом α к горизонту бросают два камня со скоростями v₁ и v₂. Какое расстояние будет между камнями в тот момент, когда первый из них достигнет наивысшей точки подъема? []

1.28.* На перроне стоит человек. Мимо него движется поезд. Первый вагон проехал за время 1 с, второй – за время ³/₂ c. Длина вагона l=12 м. Найти ускорение а поезда и его скорость v₀ в начале наблюдения. Движение поезда считать равнопеременным. []

1.29.* Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние L, а затем тормозится с ускорением a. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? []

1.30.* Тело начинает движение из точки А и движется сначала равноускоренно в течение времени t₀, затем с тем же по модулю ускорением – равнозамедленно. Через какое время от начала движения тело вернется в точку А? []

1.31.* Тяжелая горизонтальная плита движется вверх с постоянной скоростью и. Легкий шарик начинает свободно падать и, пролетев расстояние h, сталкивается упруго с плитой. Определить время между двумя последовательными ударами шарика о плиту. []

1.32.* Шарик, пущенный вверх по наклонной плоскости, проходит последовательно два равных отрезка длинной l каждый и продолжает двигаться дальше. Первый отрезок шарик прошел за время t, второй за 3t. Найти скорость шарика в конце первого отрезка пути. []

1.33.* По наклонной доске пустили катиться снизу вверх маленький шарик. На расстоянии l=30 см шарик побывал дважды: через t₁=1 с и через t₂=2 с после начала движения. Определить начальную скорость шарика v₀ и ускорение а, считая движение равнопеременным. []

1.34.* Упругое тело падает с высоты h на наклонную плоскость. Определить, через какое время t после отражения тело упадет на наклонную плоскость вторично. Как время падения зависит от угла наклонной плоскости и почему? []

1.35.* Небольшой шарик скользит со скоростью v₀=10 м/с по горизонтальной поверхности стола, приближаясь к его краю (рис. 3). Боковая поверхность стола и стена образуют щель шириной d=5 см. Высота стола h=1 м. Сколько раз ударится шарик о боковые поверхности, прежде чем достигнет пола? Удары считать абсолютно упругими. []

1.36.* На клине с углом наклона α лежит монета. С каким наименьшим ускорением должен двигаться клин по горизонтальной поверхности, чтобы монета свободно падала вниз? []

1.37.* На расстоянии L от стены высоты h мальчик бросает мяч. Какова должна быть минимальная скорость мяча, чтобы он перелетел через стену? Под каким углом выгоднее всего бросать мяч? []

1.38.* Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины? []

1.39.* Под каким наименьшим углом к горизонту следует бросить мяч, чтобы он пролетел сквозь баскетбольное кольцо сверху, не ударившись о него? Радиус мяча r, радиус кольца R=2r, высота его над полом Н=3 м. Баскетболист бросает мяч с высоты h=2, м находясь по горизонтали от кольца на расстоянии l=5 м. []

1.40.* Из одной точки с горизонтальной поверхности одновременно брошены два мяча с одинаковой по модулю скоростью v₀, но под разными углами a₁ и a₁ (рис. 4). Чему равна скорость мячей относительно друг друга? Как меняется расстояние между мячами со временем? Считать, что мячи движутся поступательно. []

1.41. Найти радиус R вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость v₁ точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости v₂ точки, лежащей на расстоянии r=5 см ближе к оси колеса. []

1.42. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости ω=20 рад/с через п=10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение ε колеса. []

1.43. Вал вращается с частотой п=180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением ε=3 рад/с². Через какое время t вал остановится? Найти число оборотов вала п до остановки. []

1.44. Точка движется по окружности радиуса R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_τ=5 см/с². Через какое время t после начала движения нормальное ускорение а_n точки будет: а) равно тангенциальному, б) вдвое больше тангенциального? []

1.45. В модели атома Бора электрон в атоме водорода движется по круговой орбите с линейной скоростью υ. Найти угловую скорость ω вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение а_п. Считать радиус орбиты r=0,5∙10^–10 м и линейную скорость на этой орбите υ=2,2∙10⁶м/с. []

1.46. Колесо радиусом R=10 см вращается с угловым ускорением ε=3,14 рад/с². Найти для точек обода колеса к концу первой секунды: а) угловую скорость ω, б) линейную скорость υ, в) тангенциальное а_τ и нормальное а_п ускорение, г) полное ускорение, д) угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса, проведенным через соответствующую точку обода. []

1.47. Точка движется по окружности радиусом R=2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s=ct³, где c=0,1 см/с³. Найти нормальное а_п и тангенциальное а_τ ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки υ=0,3 м/с. []

1.48. Колесо радиусом R=10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением φ=а+bt²+ct³, где а, b и c – константы, b=2 рад/с², с=1 рад/с³. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через время t=2 с после начала движения: а) угловую ω и линейную υ скорости, б) нормальное а_п и тангенциальное а_τ ускорения, в) угловое ускорение ε. []

1.49.* Обод катится без скольжения со скоростью υ (рис. 5). Найти скорости точек А, В, С. Выразить их через орты координатных осей. []

1.50.* Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра r. Найти радиусы кривизны траектории точек А и В (рис. 5). []

1.51.* Тело участвует в двух вращениях, происходящих со скоростями и , a=1 рад/с². На какой угол φ повернется тело за первые 3 с? Вокруг какой оси произойдет этот поворот? []

1.52.* По плоскости без проскальзывания катится конус. Ось конуса вращается со скоростью ω вокруг вертикали, проходящей через его вершину. Высота конуса h, угол между образующей и осью конуса α. Чему равна угловая скорость вращения конуса вокруг своей оси? Определить линейную скорость произвольной точки, находящейся на диаметре основания конуса. []

1.53.* На платформах, расположенных рядом и вращающихся в противоположных направлениях (рис. 6), находятся наблюдатели A₁ и A₂, занимающие в данный момент времени положения, показанные на рисунке. O₁O₂=5м, O₁A₁=O₂A₂=2м, ω₁=ω₂=1 рад/с. С какой скоростью наблюдатель A₂ движется в данный момент относительно наблюдателя A₁. []

1.54.* Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а. Они начинают двигаться одновременно с постоянной скоростью v. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время? []