1.02. Динамика поступательного движения формулы

Ускорение тела:

, ,

здесь m – масса тела, F – сила, действующая на тело;

Второй закон Ньютона:

здесь F_i – внешние силы, действующие на тело, p = ma – импульс тела;

Третий закон Ньютона:

;

Закон всемирного тяготения, сила тяжести, ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли, соответственно:

; ; ;

здесь G = 6,67∙10^–11 Н∙м²/кг² – гравитационная постоянная, m_1,2 – массы взаимодействующих тел, r – расстояние между центрами масс взаимодействующих тел, g = 9,80667 м/с² – ускорение свободного падения при h = 0, g_h – ускорение свободного падения на высоте h, M_з – масса Земли;

Сила упругости:

;

здесь k – коэффициент упругости, x – удлинение или сжатие пружины;

Сила трения:

; _,

здесь μ – коэффициент трения, N – сила реакции опоры, P – вес тела;

Первая космическая скорость на высоте h, первая космическая скорость на поверхности планеты, вторя космическая скорость, соответственно:

; ; ,

здесь υ_сп,h – скорость спутника планеты на высоте h, M_пл – масса планеты, R_пл – радиус планеты, υ_сп,1 – первая космическая скорость (скорость искусственного спутника планеты на высоте h = 0), υ_сп,2 – вторая космическая скорость (скорость, непосредственно у поверхности планеты, необходимая для того, чтобы тело навсегда улетело от планеты);

3-й закон Кеплера:

,

здесь T_1,2 – периоды обращения двух планет вокруг солнца, a_1,2 – большие полуоси орбит планет;

Момент силы:

,

здесь d – плечо силы;

Условие равновесия тела:

;

Давление:

,

здесь F – сила действия на опору, S – площадь поверхности опоры;

Давление в жидкости:

,

здесь ρ_ж – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, h – глубина погружения в жидкость;

Сила Архимеда и вес тела в жидкости:

, ,

здесь ρ_ж – плотность жидкости, V_погр – объём тела, погружённого в жидкость, g – ускорение свободного падения, P' – вес тела, погружённого в жидкость, P – вес тела.

Примеры решения задач

1. Человек массой 65 кг катается на карусели. Найдите значение силы упругости, действующей на человека при его движении в горизонтальной плоскости со скоростью 12 м/с по окружности радиусом 15 м.

Дано: m = 65 кг; ʋ = 12 м/с; R = 15 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Движение человека по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, происходит под действием равнодействующей сил тяжести и упругости . Вектор лежит в горизонтальной плоскости и направлен к центру окружности. По второму закону Ньютона модуль равнодействующей равен
Fy – ?

.

Так как вектор перпендикулярен вектору , то вектор является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами и . Модуль вектора силы упругости равен

;

Н.

Ответ: F_y = 892 Н.

2. Велосипедист массой 90 кг движется со скоростью 12 м/с по вогнутому мосту, траектория его движения является дугой окружности радиусом 30 м. Определите силу упругости, действующую на велосипедиста в нижней точке моста.

Дано: m = 90 кг; ʋ = 12 м/с; R = 30 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Движение велосипедиста по дуге окружности является движением с центростремительным ускорением , равным по модулю . В нижней точке моста вектор центростремительного ускорения
Fy – ?

направлен вертикально вверх. Это ускорение по второму закону Ньютона определяется равнодействующей векторов силы тяжести

,

_{направленной вертикально вниз, и силы упругости} , действующей со стороны моста и направленной вертикально вверх

.

Направим ось OY вертикально вверх и запишем это уравнение в проекциях на эту ось

.

Проекции векторов и на эту ось положительны, а проекция вектора отрицательна, поэтому уравнение для модулей сил имеет вид

.

Отсюда получаем формулу для вычисления модуля силы упругости

;

Н.

Ответ: F_y = 1314 Н.

3. Труба массой 200 кг лежит на двух горизонтальных опорах. Длина трубы 12 м, одна опора находится у конца трубы, вторая на расстоянии 2 м от второго конца трубы. Определите силы реакции опор.

Дано: m = 200 кг; L = 12 м; ℓ = 2 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Изобразим все действующие на трубу силы. Сила тяжести направлена вертикально вниз и приложена к центру масс трубы, находящемуся на равных расстояниях от концов трубы. Силы реакции опор и направлены вертикально вверх. Так как труба не движется поступательно, геометрическая сумма векторов сил, действующих на трубу, равна нулю .
N1 – ? N2 – ?

Н аправим ось OY вертикально вверх. Тогда для проекций сил на эту ось имеем равенство

,

а для модулей –

.

Так как труба не вращается, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на нее, равна нулю для любой оси вращения. Выберем в качестве оси вращения горизонтальную прямую, проходящую через центр масс трубы перпендикулярно плоскости чертежа. На основании правила моментов запишем равенство

.

Так как вектор силы тяжести проходит через ось вращения (ℓ₃ = 0), момент этой силы равен нулю. Вектор силы реакции опоры создает вращение против часовой стрелки, поэтому вращательный момент этой силы взят с отрицательным знаком. Таким образом, для решения задачи мы получили систему из двух уравнений

,

.

Решаем эту систему:

,

,

.

Из условия задачи следует ℓ₁ = L/2 = 6 м, ℓ₂ = L/2 – ℓ = 4 м, поэтому

Н.

Н.

Ответ: N₁ = 1176 Н, N₂ = 592 Н.

4. При падении тела с большой высоты его скорость υ_уст при установившемся движении достигает 80 м/с. Определите время τ, течение которого, начиная от момента начала падения, скорость становится равной υ_уст/2. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости тела.

Дано: υуст = 80 м/с; g = 9,8 м/с2;	Решение: На падающее тело действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, которая пропорциональна скорости тела, , здесь k – коэффициент пропорциональности.
τ – ?

Н апишем уравнение движения тела в соответствии со вторым законом Ньютона в векторной форме

.

В проекции на вертикальную ось уравнение примет вид

.

Разделим переменные и выполним интегрирование от 0 до искомого времени τ

, , .

Коэффициент пропорциональности найдем из соотношения, соответствующего установившемуся движению , откуда получаем . После сокращений и упрощений получаем

.

Ответ: τ = 5,66 с.

5. За сколько секунд маленькая шайба соскользнет с наклонной плоскости высотой 2,5 м и углом наклона к горизонту 60°, если по наклонной плоскости из такого же материала с углом наклона 30° она движется вниз равномерно?

Дано: α1 = 30°; α2 = 60°; h = 2,5 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Запишем 2-ой закон Ньютона для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости . Запишем это уравнение в проекции на ось параллельную наклонной плоскости и ось перпендикулярную наклонной плоскости, соответственно
t – ?

С учетом выражения для силы трения получим выражение для ускорения

.

Коэффициент трения найдем из условия, что при угле наклона α₁ = 30° шайба соскальзывает равномерно

.

Время соскальзывания найдем из уравнения кинематики

,

В итоге получаем

.

Ответ: t = 1,01 с.