5. Относительность длин

Длина стержня в ИСО равна разности координат его концов.

Например, , причем координаты х₁ и х₂ измеряются одновременно (наблюдатель покоится относительно стержня.

Однако результат изменяется, когда наблюдатель и стержень движутся друг относительно друга. В виду того, что понятие одновременности относительно и события

Рис. 3

одновременные в одной ИСО не будут одновременны в другой ИСО, поэтому длина стержня будет неодинаковой в различных ИСО.

Для вычисления длины стержня используют преобразования Лоренца.

Например, пусть некоторый стержень расположен параллельно оси 0Х в ИСО К, относительно которой он покоится.

Согласно рис. 3 длина стержня .

В ИСО К^*, движущейся относительно ИСО К равномерно и прямолинейно со скоростью v = const длина этого стержня

.

Используя преобразования Лоренца, имеем

т. е.

.

Если координаты концов отрезка в ИСО К^* одновременно

(так как ), то

(5)

Следовательно, длина отрезка в любой ИСО, относительно которой он движется, меньше длины отрезка в неподвижной ИСО.

Однако это не означает, что стержень деформируется в движущейся ИСО.

7. Релятивистский закон сложения скоростей

Используя преобразования Лоренца, имеем

Найдем скорость материальной точки (тела) в ИСО К

или (9)

Следовательно,

(10)

где u – скорость м. т. (тела) в ИСО К; u^* – скорость м. т. (тела) в К^*; v – относительная скорость движения ИСО К и К^*.

При u^* = c по формуле (9) для u имеем , т. е. тело не может двигаться со скоростью больше скорости света в вакууме.

8. Импульс в сто

Рассмотрим абсолютно упругий удар двух частиц с массами m₁ и m₂ в ИСО К и К^*.

Согласно закону сохранения импульса, для системы К

, (11)

где – соответственно перемещения и время движения частиц до удара; – соответственно перемещения и время движения частиц после удара.

Уравнение (11) запишем в проекциях на оси координат Х, У, Z:

(12)

Для рассмотрения этого явления в ИСО системы К^*, движущейся относительно системы К равномерно и прямолинейно со скоростью v = const, учтем, что

Отрезки же длин

dr₁₀; dr₂₀; dr₁; dr₂

сократятся в направлении оси 0Х в соответствии с формулой (5), но останутся неизменными в направлении осей У и Z, так как у^* = у, z^* = z.

В связи с этим

С учетом этого для ИСО К^* получим, что

(13)

или в векторном виде

. (14)

Анализ выражений (11) и (14) показывает, что представление импульса в виде

обеспечивает инвариантность закона сохранения импульса по отношению к преобразованиям Лоренца, где – перемещение частицы (м. т.) в той ИСО, в которой определяется импульс ее ; dt – время, определяемое по часам, движущихся вместе с частицей (собственное время).

Так как,

то

, (15)

где

Следовательно, релятивистский импульс частицы

. (16)