1. Разность фаз равна четному числу 

Рис. 8

 = ₀₂  ₀₁ = 0, 2, 4, ... . (12)

Действительно, например,  = 0.

Согласно уравнению (10) имеем

А² = A₁² + А₂² +2А₁А₂,

так как cos0 = 1.

Следовательно,

А² = (А₁ + А₂)².

Вывод: Результирующая амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний (рис. 8) А = А₁ + А₂.

2. Разность фаз равна нечетному числу :

 = j₀₂ - j₀₁= ±p, ± 3p, ... . (13)

Складываемые колебания находятся в противофазе.

Тогда равенство (10) примет вид

А² = А₁² + А₂²  2А₁А₂

поскольку сos(j₀₂ - j₀₁) = сos (+ ) = -1.

Следовательно,

А = (А₁ – А₂)² или .

Рис. 9

(Амплитуда всегда положительна).

Вывод: Результирующая амплитуда равна модулю разности амплитуд складываемых колебаний.

Если складываются два колебания равных частот w₁ = w₂ = w и равных амплитуд А₁ = А₂, но противоположных по фазе, то результирующая амплитуда равна нулю (А = 0), т. е. колебания полностью гасят друг друга (рис. 9).

7. Биения

Важное место в теории колебаний занимают биения.

Например, в случае сложения нескольких гармонических колебаний одного направления, равных амплитуд и частот, отличающихся незначительно: w₁ и ₂ = w₁ + Dw, где  << w₁.

Уравнение первого и второго колебаний совершается по закону

(14)

соответственно.

Поскольку амплитуды колебаний равны, а частоты мало отличаются друг от друга, это позволяет выбрать начало отсчета так, чтобы начальные фазы колебаний были равны нулю, уравнения (14). Но это возможно только в том случае, если смещения каждого колебания х₁ и х₂ одновременно достигают наибольшего значения. Тогда с этого момента начинается отсчет времени. После сложения левой и правой частей уравнений (14) получим

х = х₁ + х₂

или х = А соs w₁t + A сos(w₁+ Dw)t = 2Aсos(Dw ) ×сos [(2₁+Dw) ].

Во втором сомножителе величиной t / 2 под знаком косинуса пренебрегаем в виду его малости, так как Dw << w₁.

Тогда . (15)

В формуле (15) выражение в скобках представляет собой амплитуду гармонического колебания частоты w₁. Амплитуда изменяется, но значительно медленнее, чем второй сомножитель. Это связано с тем, что Dw << w₁ и за время, когда множитель соsw₁t совершит несколько полных колебаний, имея период Т = 2p / w₁, множитель в скобках мало изменится [cм. формулу (15)].

Рис. 10

Результирующее колебание (15) можно считать гармоническим, амплитуда которого сама изменяется по некоторому периодическому закону. График изменения х(t) [формула (15)] представлен на рис. 10. Результирующее колебание при заданных условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой и периодом

Т₁ = 2p / Dw.

Такие колебания называют биениями.

Выражение типа 2Acos() не является законом, по которому изменяется амплитуда результирующего колебания, так как оно изменяется в пределах от -2А до +2А, в то время как амплитуда всегда положительна.

Рис. 11

Следовательно, амплитуда (рис. 11).

A_рез=2Аcost/2. (16)

Как уже отмечалось, функция (16) является периодической с частотой, в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля.

Выводы: 1. Частота пульсаций результирующей амплитуды называется частотой биений и равна разности частот складываемых колебаний, а именно: = [(w₁+Dw) - w₁].

2. Циклическая частота результирующего колебания равна полусумме частот складываемых колебаний, т. е.  = (₁ + ₁ + )/2= ₁ + /2.

3. Множитель, равный результирующей амплитуде, определяет не только величину ее, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется в том, что отклонения, соответствующие максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. рис. 10, точки С и Д).

4. В случае несоизмеримости частот складываемых колебаний возникает результирующее колебание, которое не является периодическим. Явление биений широко используется на практике. Это один из вариантов амплитудно-модулированных колебаний. Например, при настройке музыкальных инструментов о качестве звучания определяют по исчезновению биений.

В этом случае происходит совпадение частоты колебания струны с частотой колебаний эталонного источника звука – камертона. Например, в радиотехнике с помощью биений производят настройку гетеродина.

В оптике световые биения относятся к явлению интерференции света, возникающей при наложении световых колебаний близких частот. В результате возникает быстро бегущая в пространстве интерференционная картина, т. е. в рассматриваемой точке интенсивность света периодически изменяется во времени с частотой, равной разности частот складываемых электромагнитных колебаний.