14. Математический маятник

Математическим маятником называют материальную точку, закрепленную на невесомой и нерастяжимой нити, совершающую свободные гармонические колебания в вертикальной плоскости.

Математический маятник имеет одну степень свободы – еще один пример одномерного гармонического осциллятора. На математический маятник действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (рис. 2.4)

Результирующая этих сил (перпендикулярная составляющая силы тяжести) и является той силой, под действием которой маятник совершает свободные гармонические колебания.

При этом угол  = 3 – 5^о (рис. 23). Математический маятник при колебаниях описывает часть дуги окружности радиуса R , где – длина нити.

Рис. 23

Для вывода дифференциального уравнения колебания математического маятника воспользуемся дифференциальным уравнением колебания физического маятника, где момент инерции I физического маятника заменим на момент инерции материальной точки I=mR², где m – масса м. т. математического маятника; R = – расстояние от м. т. до полюса 0.

После подстановки получим дифференциальное уравнение колебания математического маятника в виде

(48)

Решением данного уравнения является функция вида

 = ₀сos (₀t + _o). (49)

Сравнив уравнения (44) и (47), найдем собственную круговую частоту ₀ и период Т колебания математического маятника:

. (50)

Тогда

. (51)

Период колебания математического маятника прямо пропорционален квадратному корню длины маятника и обратно пропорционален квадратному корню ускорения силы тяжести.

17. Затухающие гармонические колебания

На любое реальное тело, совершающее гармонические колебания, действуют не только квазиупругая сила, но и силы трения или сопротивления среды.

На преодоление трения в опорах и сопротивления окружающей среды, на создание упругих деформаций, возбуждение волн и т. д. требуется энергия.

Поэтому полная механическая энергия колеблющейся частицы непрерывно уменьшается, переходя в другие виды энергии в виде тепла, или рассеивается в окружающей среде.

Это сразу же скажется на величине амплитуды.

Она будет уменьшаться, т. е. колебания постепенно будут затухать, пока не прекратятся совсем.

Колебания называют затухающими, если убыль энергии физической системы не восполняется в процессе ее колебательного движения.

Для вывода дифференциального уравнения затухающих колебаний необходимо учесть все силы, действующие на частицу, совершающую колебания.

Кроме квазиупругой силы, вызывающей колебания, на частицу действуют силы сопротивления (трения) со стороны окружающей среды.

В качестве примера рассмотрим колебания шарика на пружине, происходящие в вертикальной плоскости вдоль оси У в вязкой среде, которая оказывает сопротивление движению по закону Стокса:

.

При малых колебаниях и соответственно малых скоростях движения (ламинарное течение жидкости) сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости частицы и направлена в сторону, противоположную движению:

F_c =  bv =  b (dx/dt). (59)

Следовательно, полная сила, действующая на частицу, равна геометрической сумме квазиупругой силы и силы сопротивления:

F = kx  bv, (60)

где

. (61)

После подстановки равенств (59) и (61) в (60) получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка затухающих гармонических колебаний:

. (62)

Его решением является функция

, (63)

где

 амплитуда затухания; ,  и _о  некоторые постоянные.

Рис. 26

На рис. 26 приведен график свободных затухающих колебаний, где пунктирной линией показано изменение амплитуды этих колебаний с течением времени.

В справедливости выбранного решения можно убедиться следующим образом.

Для этого достаточно найти первую и вторую производные данного решения и затем подставить в дифференциальное уравнение (62).

После подстановки найдем значение для постоянной  и установим ее физический смысл, а также круговую частоту  и период Т затухающих свободных колебаний.

Найдем первую производную смещения х, т. е. скорость:

Вторая производная,

т. е. ускорение

Полученные значения смещения х, скорости v и ускорения а подставим в уравнение (62) и придем к следующему тождеству:

Поскольку в данном тождестве А₀ = const, при любом t, то правую и левую части тождества разделим на , учитывая, что ( ).

Получим выражение из двух слагаемых, сумма которых равна нулю:

В полученном выражении одновременно sin и cos нулю не равны.

Выражение будет равно нулю, когда нулю будет равно каждое слагаемое одновременно, т. е.

m(²  ²)  b + k = 0, (64)

 ( 2m  b) = 0. (65)

Получили два уравнения относительно переменных  и .

Из выражения (65) имеем, что 2m  b = 0, так как   0, откуда найдем коэффициента затухания

 = .

Коэффициент затухания колебаний физической системы прямо пропорционален коэффициенту сопротивления окружающей среды и обратно пропорционален массе системы. Характеризует быстроту затухания свободных колебаний.

Величину коэффициента затухания подставим в формулу (64)

.

После незначительных преобразований найдем значение частоты затухающих колебаний  и период Т:

(66)

Вследствие того, что = _o²,

где k – коэффициент квазиупругости, m – масса частицы, ₀ – собственная круговая частота физической системы, период затухающих колебаний

. (67)

Рис. 27

Замечание: Если b² > 4mk, то круговая частота будет мнимой и произойдет не колебание, а апериодическое движение (закритическое затухание, кривая А, рис. 27). Кривая В (рис. 27) соответствует докритическому затуханию при b² << 4mk, а кривая Б (рис. 27) характеризует критическое затухание (демпфирование) при b² = 4mk.

Физическая система при этом приходит в равновесие за максимально короткое время. На практике используется для плавного закрытия дверей, в амортизаторах автомобилей, машин, для успокоения колебания стрелочных приборов и т. д.