13. Физический маятник

Твердое тело произвольной формы, свободно совершающее колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс, называют физическим маятником.

Рис. 22

Согласно определению, физический маятник при колебаниях имеет одну степень свободы, т. е. действительно является одномерным гармоническим классическим осциллятором (рис. 22, где точка 0 называется осью качаний, а точка 0^*  центром качания физического маятника, точка C – центр масс).

При гармонических колебаниях угол отклонения от положения равновесия  мал и составляет не более трех – пяти градусов, что позволяет в некоторых случаях полагать sin    (если угол  брать в радианах, а не в градусах), а сами колебания считать гармоническими и изохронными, т. е. их период или частота не зависят от амплитуды колебания.

Сначала напишем дифференциальное уравнение колебаний физического маятника. Для этого рассмотрим, какие на него действуют силы. Силу трения в точке подвеса 0 (ось Z) физического маятника не учитываем.

На физический маятник при колебаниях действуют сила тяжести G и нормальная реакция опоры F (рис. 22).

Для нахождения результирующей силы разложим силу тяжести на две взаимно перпендикулярные силы:

G_= mgsin и G_ = mgcos (рис. 22).

Тогда силы нормальной реакции опоры и параллельная составляющая силы тяжести будут взаимно компенсировать друг друга (третий закон Ньютона).

Силой, заставляющей физический маятник продолжать совершать гармонические колебания, остается перпендикулярная составляющая силы тяжести, которую часто называют возвращающей силой.

Такой же результат можно получить, если сложить вектор силы тяжести и вектор силы нормальной реакции опоры по правилу параллелограмма. Из динамики вращательного движения следует, что в этом случае на физический маятник (как любое твердое тело) действует момент силы М относительно оси Z, равный произведению момента инерции тела I на угловое ускорение  относительно этой же оси:

M = I  (40)

где . (41)

Момент силы М равен произведению составляющей силы тяжести G_ на плечо :

М =  mg sin (42)

или

М   mg ,

где

sin   ,

что отмечалось выше.

Подставим значения выражений (41) и (42) в формулу (40):

. (43)

Приведем выражение (43), предварительно разделив правую и левую части данного выражения на I, к виду

. (44)

Таким образом, получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка, характеризующее колебания физического маятника.

Его решением является функция

 = ₀ сos (t + _o),

где ₀ – амплитудное значение угла  отклонения маятника от положения равновесия при его колебаниях.

Для нахождения собственной частоты ₀ колебания физического маятника запишем общий вид дифференциального уравнения колебания системы:

. (45)

Сравнивая дифференциальные уравнения (44) и (45), находим, что

. (46)

Следовательно, период колебаний физического маятника

. (47)

Вывод: Период колебаний физического маятника прямо пропорционален квадратному корню его момента инерции и обратно пропорционален квадратному корню произведения массы маятника, ускорения силы тяжести и плеча.