16. Энергия гармонических механических колебаний

При гармонических колебаниях любых физических систем непрерывно и периодически происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Например, при колебаниях физического или математического маятников в крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а при прохождении положения равновесия максимальна кинетическая энергия.

Найдем математические выражения для кинетической, потенциальной и полной механической энергий физических систем, совершающих гармонические колебания.

16.1. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия физической системы, совершающей гармонические колебания,

W_k = mv²/2,

где скорость v изменяется по гармоническому закону,

v =  A sin(t + _o).

После подстановки формула кинетической энергии принимает вид

. (53)

Выражение (53) удобнее представить в следующем виде:

Вывод: Кинетическая энергия физической системы также совершает гармонические колебания с круговой частотой 2, а величина ее периодически изменяется от 0 до m²A².

16.2. Потенциальная энергия

В связи с тем, что любая физическая система, совершающая гармонические колебания, имеет общий вид дифференциального уравнения, на такую систему действует квазиупругая сила [похожая по действию на упругую силу (см. пружинный маятник, закон Гука), но по природе не являющаяся упругой].

Потенциальную энергию колеблющейся системы найдем по формуле потенциальной энергии упруго – деформированной пружины:

.

Согласно формул (1) и (38), после подстановки для потенциальной энергии, получим выражение

(54)

или . (55)

Рис. 24

Вывод: Потенциальная энергия физической системы периоди-чески изменяется от 0 до m²A²/2 и совершает гармонические колебания с круговой частотой 2.

Замечание: Осциллирующие системы довольно широко распространены в природе.

Для них выполняется следующее свойство: суммарная потенциальная энергия многих систем имеет провалы – потенциальные ямы.

В качестве примера приведем график потенциальной энергии взаимодействия нейтральных атомов и молекул, потому что при этом наблюдаются периодические движения, к числу которых и относятся колебания (рис. 24).

16.3. Полная энергия гармонических колебаний

По определению полная механическая энергия равна алгебраической сумме кинетической и потенциальной энергий:

W = W_к + W_р

или с учетом выражений (53) и (54)

(56)

где

sin²(t + _o) + cos² (t + _o) = 1.

Полная механическая энергия физической системы, совершающей механические колебания,

. (57)

Такого результата и следовало ожидать, так как кинетическая и потенциальная энергии сдвинуты по фазе на .

Вывод: Полная механическая энергия физической системы, совершающей гармонические колебания, прямо пропорциональна произведению массы системы на квадрат ее круговой частоты, квадрат амплитуды и не зависит от времени.

Рис. 25

Замечание: Поскольку квазиупругие силы являются консервативными, то полная механическая энергия гармонических колебаний в замкнутой системе должна оставаться постоянной (закон сохранения механической энергии).

Это мы и получили в действительности, см. формулу (57).

Графики изменения кинетической W_k, потенциальной W_р и полной Wп энергий в зависимости от времени приведены на рис. 25, а, б, в.

Анализ формул (55), (56) и (57) показывает, что средние значения кинетической и потенциальной энергий физической системы (осциллятора) равны и каждое составляет половину их полной энергии:

. (58)