2. Уравнение скорости материальной точки,

совершающей гармонические колебания

Если в качестве колебательной системы использовать, например, математический маятник (рис. 3), то в процессе его движения происходит периодическое изменение скорости и ускорения.

При движении маятника, после прохождения им положения равновесия, в направлении к состоянию I (в ту же сторону направлен и вектор скорости маятника) скорость убывает, а ускорение растет и в крайнем состоянии

Рис. 3

I скорость обращается в нуль. Ускорение в этот момент времени достигает своего максимума и направлено по касательной к дуге окружности к положению равновесия. При обратном движении маятника к положению равновесия вектор скорости направлен в сторону движения.

Модуль скорости растет по величине, а ускорение убывает (направление вектора ускорения теперь совпадает с направлением движения маятника). При достижении положения равновесия в точке 0 скорость достигает максимума, - ускорение обращается в нуль.

После прохождения этого состояния скорость начинает убывать, а ускорение увеличивается (теперь вектор ускорения направлен к состоянию покоя со стороны состояния II и противоположен вектору скорости). При достижении крайнего положения II скорость обращается в нуль, ускорение достигает максимума. При движении маятника из состояния II снова к положению равновесия скорость, изменив направление, растет, соответственно ускорение, сохраняя направление, убывает. В точке 0 скорость маятника максимальна, ускорение обращается в нуль. При дальнейшем движении маятника весь процесс периодически повторяется. Найдем уравнения изменения скорости и ускорения маятника при гармонических колебаниях. Дифференцируя уравнение смещения (1) по времени t, найдем уравнение изменения скорости в любой момент времени (первая производная):

V = =  Asin (t + _o)

или (2)

где (wА) – амплитудное значение скорости м. т., совершающей гармонические колебания.

Скорость опережает смещение по фазе на  / 2 или отстает на 3 / 2.

Вывод: Скорость м. т. при колебательных процессах изменяется по гармоническому закону и является функцией времени.

3. Уравнение ускорения материальной точки,

совершающей гармонические колебания

Найдем уравнение изменения ускорения как первую производную скорости по времени (вторая производная смещения по времени):

Рис. 4

. (3)

или .

Используя уравнение (6.1) получим, что

а =  ²х . (4)

Вывод: Ускорение изменяется по гармоническому закону, является функцией времени и опережает колебания смещения по фазе на  и опережает колебание скорости по фазе на /2.

Величина ²А является амплитудным значением ускорения. На рис. 4, а, б, в приведены графики смещения, скорости и ускорения как функций времени.