15. Приведенная длина физического маятника

Анализ формул периода колебания физического и математического маятников показывает, что можно найти приведенную длину физического маятника (рис. 23), если приравнять их периоды Т_физ = Т_матем, т. е.

.

Тогда приведенная длина физического маятника

(52)

Приведенной длиной физического маятника называют длину такого математического маятника, когда периоды их колебаний совпадают.

На рис. 23 расстояние между точками 0 и 0^* и есть приведенная длина

физического маятника. Сами точки 0 и 0^* взаимозаменяемы, т. е. при замене точки 0 на 0^* и обратно период колебаний физического маятника сохраняется неизменным.

19. Понятие о связанных гармонических осцилляторах

Рассмотрим процесс малых колебаний двух пружинных маятников с массами грузов m₁ и m₂ и с коэффициентами жесткости пружин k₁ и k₂ соответственно, соединенных последовательно (рис.29).

Рис. 29

Силы сопротивления не учитываем. Данная система, выведенная из положения равновесия, будет совершать связанные гармонические колебания с двумя степенями свободы. Используя динамику поступательного движения, для связанных пружинных маятников, запишем уравнения движения грузов в следующем виде:

(72)

(73)

где

Используя метод характеристического уравнения, решения уравнений (72) и (73) запишем в виде: (74)

где А₁ и А₂  некоторые постоянные. В результате после подстановки уравнения (74) в (72) и (73), используя только вещественные части этих решений, окончательно получим:

x₁ = а₁ cos(₁t + ₀₁) + a₂ cos(₂t + ₀₂), (75)

x₂ = ₁а₁ cos(₁t + ₀₁) + ₂a₂ cos(₂t + ₀₂), (76)

где а₁, а₂, ₁, ₂ – некоторые постоянные;

причем (77)

Если ввести новые динамические переменные (обобщенные координаты) ₁ и ₂, т. е. ₁ = а₁cos (₁t + ₀₁), ₂ = а₂cos (₂t + ₀₂), то каждая переменная будет изменяться по гармоническому закону с амплитудами а₁ и а₂ и начальными фазами ₀₁ и ₀₂, соответственно. Совершаемые новыми динамическими переменными ₁ и ₂ простейшие гармонические колебания называют нормальными колебаниями системы связанных осцилляторов (нормальными модами).