8. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рис. 12

Если частица (физическая система) совершает одновременно колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, то она имеет две степени свободы. Например, груз массой m совершает колебания на пружине с коэффициентом упругости (жесткости) k вдоль стержня без трения и одновременно совершает колебания относительно вертикальной оси, отклоняясь на угол  от положения равновесия (рис. 12). В результате возникает сложное результирующее

колебание. Другим примером сложения взаимно перпендикулярных колебаний является равномерное движение м. т. по окружности [см. (1)], где проекции ее на оси Х и У действительно совершают колебания во взаимно перпендикулярных направлениях. Для простоты положим, что круговые частоты этих колебаний одинаковы, но различаются амплитудами и начальными фазами. Пусть одно из колебаний совершается вдоль оси Х с амплитудой А и начальной фазой, равной нулю.

Другое колебание совершается вдоль оси У с амплитудой В; _о – разность фаз складываемых колебаний.

(17)

Для получения уравнения результирующего колебания (уравнения траектории) из системы уравнений (17) исключим время t:

соs t = x /A,

сos (t + _o) = y / B

или .

После преобразований имеем

,

где

Тогда

.

Правую и левую части последнего равенства возведем в квадрат:

После несложных математических операций получим уравнение эллипса с произвольной ориентацией осей (рис. 13):

Рис. 13

. (18)

Частица совершает полный оборот за время, равное периоду колебаний Т.

Результирующее колебание называют эллиптически поляризованным.

Сложение таких колебаний можно наблюдать на опытах не только с механическими системами, но и с электрическими, магнитными и т. д. На экране электронного осциллографа можно наблюдать результат сложения взаимно перпендикулярных электрических колебаний. Рассмотрим частные случаи:

1. Разность фаз складываемых колебаний равна целому числу ,

т. е.  = m, где m = 0, 1, 2, 3, ... .

Знак «+» для четных m; знак «» для нечетных m.

а). Например,  = ₂  ₁ = t + _o  t = _o = 0.

После подстановки в формулу (18) получим уравнение прямой

или

,

откуда

Следовательно,

(19)

Рис. 14

Вывод: При разности фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний, равной нулю эллипс вырождается в отрезок прямой, лежащий в первой и третьей четвертях (рис. 14). После сложения колебание происходит с частотой  и результирующей амплитудой ,

т. е. результирующее колебание действительно является гармоническим:

.

б). Разность фаз, складываемых взаимно перпендикулярных

колебаний равна , т. е.  =  ₂   ₁ = .

В этом случае после подстановки  = ₀ в выражение (19) получим уравнение прямой:

, или , или .

Рис. 15

Следовательно,

(20)

Вывод: При разности фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний, равной , эллипс вырождается в отрезок прямой, лежащий во второй и четвертой четвертях (рис. 15). После сложения колебания совершаются с частотой  и результирующей амплитудой . Результирующее колебание в случаях а, и б при сложении взаимно перпендикулярных колебаний называют линейно – поляризованным.