34

Физика колебаний и волн

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Лекция 8

Кинематика гармонических колебаний

1. Колебательные процессы

Понятие колебаний относится к области физики, исследующей эти процессы в системах различной природы.

Колебательным называют такое движение, которое периодически повторяется через равные промежутки времени.

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Например, качания маятника часов, колебания силы переменного тока, колебания векторов напряженности электрических и магнитных полей, колебания элементарных частиц внутри атомов и молекул, а также колебательные и волновые процессы в глубинах безбрежного космоса и т. д.

Все колебания качественно различны по своей физической природе, но их количественные закономерности имеют много общего.

Теория колебаний описывает общие свойства колебаний в реальных системах и устанавливает связь между параметрами системы и ее колебательными характеристиками независимо от свойств конкретной системы, связанных с проявлением ее природы (механической, электромагнитной, световой, химической и т. д.).

Это значительно облегчает исследования особенно в тех случаях, когда они невозможны по техническим причинам или из-за отсутствия наглядности.

Например, колебания силы переменного тока, а тем более колебания электрона в атоме изучать гораздо труднее, чем простейшие механические колебания груза на пружине.

Простейшим случаем периодического колебания является гармоническое колебание.

Колебания, которые совершаются с течением времени по закону синуса или косинуса, называют гармоническими колебаниями.

Рассмотрим м. т. А, совершающую равномерное движение по окружности произвольного радиуса r против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью , т. е. конец радиус-вектора описывает окружность.

Обозначим модуль радиус-вектора r = A (рис. 1). Уравнение движения м. т. запишем в виде

j = j_о + wt.

Найдем проекции радиус-вектора на оси координат Х и У.

Рис. 1

Отрезок ОС равен r_x = r sin j = r sin( wt + j_о) - проекция радиус-вектора на ось Х; отрезок ОБ равен

r_y = r cos j или r_у= r cos(wt + j_о) -

проекция радиус-вектора на ось У.

Если м. т. А совершит один оборот, то ее проекции на оси координат будут изменяться от нуля до максимума по модулю, равному .

Пока м. т. А движется по окружности, в это время точки С и Б будут совершать возвратно-поступательное движение вдоль осей Х и У соответственно.

С течением времени этот процесс будет периодически повторяться, т. е. возникнет колебательное движение.

Уравнение колебательного движения записывают в виде

или . (1)

В уравнениях (1): х – смещение м. т. в данный момент времени;

А – амплитуда колебания, характеризующая величину наибольшего смещения м.т. от положения равновесия; амплитуда положительна, A > 0;

 = t + ₀ – фаза колебания, определяет долю смещения в данный момент времени;  – циклическая (круговая) частота; ₀ – начальная фаза колебания.

Циклическая частота  связана с частотой колебаний  и периодом Т известным соотношением

 = = 2pn,

Рис. 2

где  = .

Выбор начальной фазы совершенно произволен. Обычно в момент времени t = 0 полагают j₀ = 0. Кроме того, добавка j₀ в аргументе cos или sin не меняет характер движения, но свидетельствует о непрерывности течения времени. Проекции радиус-вектора при его вращении против часовой стрелки с циклической частотой w совершают гармонические колебания и являются функциями времени ( рис. 2), т. е.

х = Аcos(t + ₀).