10. Связь силы с потенциальной энергией
Если известно выражение потенциальной энергии Wp(x, y, z), то можно найти силу, действующую на тело в любой точке силового поля.
Пусть тело (частица) или м. т. перемещается в пространстве.
Силы поля совершают над частицей элементарную работу
или
.
Следовательно, A = Fx dx + Fy dy + Fz dz,
Ах = Fxdx, Аy = Fydy, Аz = Fzdz.
С другой стороны, A = dWp .
Поскольку потенциальная энергия является полным дифференциалом, то
,
где
частные производные от Wp по х, у, z, cоответственно вычисляемые в предположении, что все другие аргументы, кроме рассматриваемых, являются фиксированными.
Анализируя рассмотренное выше, получаем
Fx
dx
+ Fy
dy
+ Fz
dz
=
.
Таким
образом,
или
,
где выражение
векторный оператор Гамильтона в декартовых координатах.
(Символ «» называют набла).
Таким
образом,
.
(26)
Выражение gradWp или (dWp/dn) называют градиентом потенциальной энергии по направлению dn (наибольшая быстрота изменения потенциальной энергии по данному направлению).
Знак «» показывает, что вектор силы, действующий на частицу, направлен в сторону убывания потенциальной энергии.
11. Закон сохранения механической энергии
Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий.
Рассмотрим три случая, наиболее часто встречающиеся на практике.
1. Пусть имеем замкнутую систему материальных точек (тел), между которыми действуют консервативные силы.
Как было получено выше, механическая работа может быть совершена как за счет изменения кинетической энергии, так и за счет убыли потенциальной энергии. Действительно работа на участке пути S12
A12 = Wp = Wp1 Wp2 или A12 = Wk = Wk2 Wk1 .
Анализируя полученные результаты, получаем
W = Wp + Wk = 0 или Wp1 + Wk1 = Wp2 + Wk2.
В последнем равенстве слева и справа полная механическая энергия тел в первом и втором состояниях соответственно. Распространив полученный результат на произвольное число состояний, получим закон сохранения механической энергии:
Wp1 + Wk1 = Wp2 + Wk2 =...= const. (27)
В изолированной системе, в которой между телами действуют консервативные силы, полная механическая энергия не изменяется.
Возможен лишь переход потенциальной энергии в кинетическую энергию и обратно кинетической энергии в потенциальную в равных количествах.
2. Пусть на систему материальных точек (тел), кроме внутренних консервативных сил, действуют внешние силы, т. е. система не замкнута.
В этом
случае полную работу, совершаемую всеми
силами приложенными, к i-й м. т., можно
представить как алгебраическую сумму
внутренних и внешних работ, т. е.
,
где Ai
работа, совершаемая всеми внутренними
силами над i-й м. т.;
работа всех внешних сил над i-й м. т.
Полную работу найдем в виде
С
другой стороны,
Используя последние соотношения, получаем
или
Следовательно,
Вывод: Изменение полной механической энергии системы м. т. (тел), между которыми действуют внутренние консервативные силы, равно работе внешних сил, приложенных к системе м.т.
3. В замкнутой системе, содержащей N м. т. (тел), кроме консервативных сил, действуют диссипативные силы (например, силы трения, силы сопротивления).
Полная работа всех сил А = Аконс + Адисс.
Работа всех внутренних, консервативных сил равна убыли потенциальной энергии: Аконс = Wp1 Wp2 = Wp.
Полная работа совершается за счет изменения кинетической энергии:
А = Wk2 Wk1 = Wk.
Из полученных последних трех выражений имеем
Wk = Wp + Адисс
или
W = Wk + Wp = Адисс 0.
Вывод: Если в замкнутой системе м. т. действуют внутренние, консервативные и диссипативные силы, то полная механическая энергия убывает.
Закон сохранения механической энергии не выполняется, но выполняется всеобщий закон сохранения энергии, т. е. полная механическая энергия переходит в другие виды энергии. Например, при трении выделяется тепло, значит, механическая энергия перешла во внутреннюю энергию.
Замечание: Случай 3 приводит к диссипации энергии.