29. Связь вектора момента силы и

вектора момента импульса

Всякое движение м. т. или тел происходит в пространстве и времени, поэтому вектор момента импульса м. т. относительно произвольного полюса продифференцируем по времени:

.

Однако, если полюс не меняет своего положения в пространстве (неподвижен), первое слагаемое обращается в нуль, так как первая производная вектора перемещения по времени есть вектор мгновенной скорости.

Тогда векторы коллинеарны, т. е. .

Как известно, векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, поэтому . Согласно 2-му закону Ньютона .

Следовательно,

.

Выражение устанавливает связь между вектором момента импульса и вектором момента силы в инерциальной системе отсчета.

Производная вектора момента импульса м. т. по времени относительно неподвижного полюса равна вектору момента силы, действующей на эту м.т. относительно этого же полюса.

Это положение можно распространить и на систему м. т. (при этом все внутренние силы можно исключить на основании третьего закона Ньютона).

Тогда изменение результирующего вектора момента импульса всех м. т. системы равно геометрической сумме результирующего вектора всех внешних сил, действующих на данную систему м. т., т. е.

или

Моменты импульса и моменты сил тел зависят не только от величины и направления этих векторов, но и от пространственного положения полюса.

Моменты импульсов тел и моменты сил относительно оси являются проекциями соответствующих векторов относительно некоторого полюса 0, лежащего на этой оси. Одно векторное уравнение эквивалентно системе трех скалярных уравнений как проекций на соответствующие оси Х , У, Z:

(43)