11. Центр инерции системы материальных точек

Для исследования движения системы м.т. в целом, необходимо изучить движение каждой м. т. Для этого можно использовать законы Ньютона.

Нужно будет составить большое число уравнений. Эти трудности можно обойти, если ввести понятие центра масс.

Центром инерции двух м. т. называют точку, делящую расстояние между ними в отношении обратно пропорциональном их массам.

Из математики известно, что координаты т. С (x, y, z), делящей отрезок в данном отношении m₁/m₂, связан с координатами концов отрезка, следующим образом:

Решая эти уравнения относительно x, y, z, т. е. координат центра масс (инерции) т. С, имеем

При любом перемещении тела произвольных размеров можно всегда представить движение как сумму поступательного движения его центра масс, колебательного, вращательного или другого сложного движения относительно центра масс.

Используя формулу радиус-вектора в виде

,

положение центра масс, будем характеризовать своим радиус-вектором:

(17)

или , где .

Если n  , то

Если же система состоит из n материальных точек, то координаты центра масс (инерции) связаны следующими соотношениями:

(18)

12. Движение центра инерции

Из закона сохранения импульса следуют два важных следствия, которые называются:

1) закон сохранения ц. м. (ц. и.);

2) закон аддитивности массы.

12.1. Закон сохранения центра инерции

Центр инерции замкнутой системы тел (м. т.) движется равномерно и прямолинейно или покоится.

Изменение положения ц. и. в пространстве характеризуется радиус-вектором или изменением его координат.

Х_с (19)

Тогда суммарный импульс каждой м. т. системы запишется в виде:

Переходя к бесконечно малым перемещениям в течение времени dt, найдем скорость движения ц. и., т. е. продифференцируем выражение (19) по времени:

, (20)

где – суммарная масса тел (м. т.), входящих в систему, а производные 

проекции скорости движения ц. и. системы на оси координат.

В выражении (20) справа – проекции вектора импульса тел системы.

Действительно, если учесть, что ,

где v_c – cкорость центра инерции, то ,

где m_iv_i – импульс i-го тела (м. т.). Тогда

. (21)

Полный импульс механической системы равен импульсу м. т. (тел) с массой, равной суммарной массе тел системы и движущейся как движется её центр инерции.

Дифференцируя правую и левую части равенства (21) по времени, получим

(22)

так как, согласно второму закону Ньютона сумма справа в (22) равна сумме всех сил, действующих на каждую м. т. как внешних, так и внутренних.

По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно взаимодействующих частиц (м. т.) компенсируют друг друга.

Поэтому, остаётся только сумма всех внешних сил, т. е.

(23)

или

(24)

Формулу (24) называют уравнением движения центра инерции.

Центр масс механической системы движется, как двигалась бы м. т., в которой сосредоточена вся масса тел системы, под действием результирующей внешних сил, приложенных к м. т., входящим в систему.

Если система замкнута, то сумма всех внешних сил равна нулю:

;

если m = const, то .

Замечание: Скорость ц. и. определяется полным импульсом механической системы, поэтому перемещение ц. и. характеризует движение этой системы как единого целого. Этот вывод согласуется с законом инерции Галилея (для свободных тел).

Выводы о движении ц. и. позволяют широко использовать их при решении задач механики, поскольку уменьшают число уравнений, необходимых для решения задачи. Коэффициент пропорциональности m между импульсом и скоростью ц. и. равен сумме масс отдельных частиц, поэтому имеет смысл массы всей системы. В этом и заключается закон аддитивности масс.

Для однозначного определения движения тела (м. т.) к уравнениям движения необходимо добавить начальные условия. В зависимости от положения и скоростей тел их движения могут сильно отличаться друг от друга: тело может описывать параболу, двигаться вверх или вниз по прямой относительно поверхности Земли и т. д. Движения выглядят неодинаково потому, что законы Ньютона описываются дифференциальными уравнениями, а этого недостаточно, Для этого и нужны начальные условия.

Движение тел переменной массы

В классической механике изменение массы тел может произойти только за счет удаления части массы (dm < 0) тела или добавления некоторой массы (dm  0).

Примеров движения тел с переменной массой можно привести много: движение автомобиля, самолета, ракеты, поливочной машины, рост массы капель дождя при движении в атмосфере с пересыщенными водяными парами и т. д.

Для получения уравнения движения тел переменной массы достаточно использовать законы классической физики. Особый интерес этот вопрос получил в связи с развитием ракетной техники, используемой для космических полетов.

Рассмотрим подробнее принцип действия реактивного движения.

При полете ракеты после сгорания топлива из сопла с большой скоростью истекают газы, которые выбрасываются в направлении, противоположном движению ракеты (третий закон Ньютона). Естественно, в реальном полете на ракету действуют внешние силы (земное тяготение, сопротивление воздуха и т. д.). Без учета внешних сил система ракета – газ является замкнутой. В этом случае импульс системы не изменяется. Пусть в некоторый момент времени t масса ракеты m, а ее скорость u. Тогда импульс ракеты

.

Из-за непрерывного сгорания топлива спустя некоторое время dt масса и скорость ракеты получают приращения dm и du (dm < 0). Соответственно импульс ракеты в этот момент будет выражен формулой

.

К этому импульсу необходимо добавить импульс газов, образующихся за это время dt, т. е. ,где dm_г – масса, образующегося газа, v_г – скорость истечения газа. С учетом этого найдем изменение импульса системы ракета-газ за время t + dt:

где F – результирующая всех внешних сил, действующих на ракету.

Если dt  0, dm  0 и du  0, то в пределе после раскрытия скобок и преобразований, получим

Произведение (dmdu) исключаем как бесконечно малую величину второго порядка. Кроме того, согласно закону сохранения массы dm + dm_г = 0 или dm = – dm_г. Тогда

или ,

где – относительная скорость истечения газов.

После подстановки относительной скорости в предыдущее равенство, имеем . (29)

Так как это изменение произошло за время dt, то разделим правую и левую части последнего равенства на dt, получим

. (30)

Уравнение (30) выражает второй закон Ньютона.

Однако к величине внешней силы добавлено слагаемое

,

называемое реактивной силой, с которой на ракету действуют истекающие из сопла газы. Уравнение (30) было впервые получено И. В. Мещерским и является уравнением движения тел переменной массы. Уравнение Мещерского для замкнутой системы ракета – газ (внешние силы равны нулю) запишем в виде

. (31)

Найдем проекции уравнения (4.18) на направление движения:

или , (u_о > 0).

Последнее равенство свидетельствует о том, что скорость истечения газов может меняться за время полета.

Для простоты будем считать, что u_о =сonst.

Найдем скорость ракеты u:

du = – u_о .

После интегрирования

где значение С, связано с наличием начальных условий.

Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю (u = 0), а ее масса равна m₀ (это не масса покоя), то 0 = – u₀ ln m₀ + C

Тогда

С = u₀ ln m₀.

Окончательно скорость ракеты u = u_о ln

или

. (32)

Равенство (32) называется формулой Циолковского. Она справедлива для медленных движений, когда скорость ракеты и относительная скорость истечения газов много меньше скорости света в вакууме.