10. Средняя скорость материальной точки

Для количественного описания физических явлений используются различные физические величины, одной из них является скорость. Для оценки быстроты перемещения м. т. в пространстве с течением времени недостаточно знать траекторию и перемещение. Два же различных движения, для которых одно и то же перемещение совершилось за различные промежутки времени, геометрически одинаковы, но кинематически различны. Для характеристики быстроты изменения перемещения вводится понятие скорости.

Вектором средней скорости называют физическую величину, равную отношению вектора перемещения (приращению радиус-вектора) к промежутку времени, за которое это перемещение произошло.

По определению вектор средней скорости . (9)

Вектор средней скорости направлен в ту же сторону, что и вектор перемещения.

Модуль средней скорости

. (10)

Если м. т. движется по окружности или любой замкнутой траектории, т. е. через некоторое время возвращается в исходное положение, то ее перемещение равно нулю, следовательно, равна нулю и средняя скорость. Да, но тело-то двигалось! Для выхода из создавшегося положения вводят понятие средней скалярной скорости <v_c>, которая определяется отношением отрезка пути, пройденного м. т. по траектории за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка, т. е.

<v_c> = s / t. (11)

Если м. т. совершает ряд последовательных перемещений

,

за соответствующие промежутки времени t₁, t₂, ... , t_n, то вектор средней скорости результирующего перемещения находят по формуле

, (12)

а величину средней скалярной скорости – по формуле

. (13)

Часто при решении задач для нахождения средней скорости используют формулу <v> = (v₀ + v_кон) / 2 , (14)

где v₀ – начальная скорость, v_кон – конечная.

Эта формула справедлива в случае прямолинейного равноускоренного или равнозамедленного движений и в одну сторону, т. е. без изменения направления скорости. Однако аналогичная формула в векторном виде

остается справедливой и в случае равнопеременного движения с изменением направления скорости.

11. Мгновенная скорость

Уменьшая неограниченно промежуток времени t, за который произошло перемещение м. т. в пространстве в пределе, когда t  0, получим мгновенную скорость, т. е.

(15)

Вектор мгновенной скорости равен пределу отношения приращения радиус-вектора м. т. к тому промежутку времени, за которое это приращение произошло, когда t  0 или равен первой производной радиус-вектора по времени.

В некоторых типах ускорителей частицы многократно движутся по замкнутой траектории без остановки. Следовательно, в любой точке траектории модуль вектора мгновенной скорости должен отличаться от нуля. Это заключение подтверждается не только уравнением (15), но и согласуется с понятием средней скалярной скорости. Если в уравнении (11) перейти к пределу при t  0, то придется рассматривать такие малые участки пути на траектории s, которые не отличаются от модуля элементарного вектора перемещения . Тогда на основании уравнения (11) можно получить значение мгновенной скалярной скорости

совпадающее с модулем вектора мгновенной скорости ,

так как r = s при t  0.

Одно уравнение вектора мгновенной скорости (15) можно заменить эквивалентной системой трех скалярных уравнений, проекций вектора скорости на оси координат v_x = dx/dt, v_y = dy/dt, v_z = dz/dt. (16)

Вектор мгновенной скорости связан с его проекциями на оси координат выражением , (17)

где – единичные векторы, направленные вдоль осей Х, У, Z соответственно.

По модулю . (18)

Таким образом, вектор скорости характеризует быстроту изменения перемещения в пространстве по величине и направлению с течением времени. Скорость – функция времени.