Лекция 11
1. Уравнение плоской бегущей волны
Для описания волновых процессов используют волновые уравнения. Например, уравнение плоской бегущей волны можно представить в общем виде s(х, y, z, t) = 0. (1)
В общем случае волны распространяются в пространстве в какой-то среде. При описании волн будем считать, что они распространяются, например, вдоль оси Х, т. е. только вдоль одного направления. Если источник колебаний будет находиться в начальный момент времени в точке 0, то спустя некоторое время после возбуждения колебаний, волна, распространяясь со скоростью v в направлении оси Х, достигнет точки М с некоторым запаздыванием (рис. 1), т. е.
t = t = t х / v,
где х расстояние от источника колебаний до точки М;
v скорость распространения волны.
Рис.
1
s = Аcos(t + o)
переходим к уравнению бегущей плоской волны
(2)
или
(3)
Используя
формулу длины волны, перепишем последнее
уравнение в виде
или
,
(4)
где
k =
=
(5)
волновое число.
В
связи с тем, что волны распространяются
в средах с пространственными координатами
x, y, z и в течение некоторого времени t,
используют понятие волнового вектора
.
Положение
частиц среды, до которых распространилась
волна, определяют радиус-вектором
.
Поэтому уравнение волны можно представить в следующем виде:
,
(6)
где
.
Без вывода приведем уравнение сферической волны, когда среда не поглощает энергию:
(7)
где
амплитуда сферической волны.
2. Волновое уравнение
Для однородной, изотропной, непрерывной среды, которая не поглощает энергию вместо уравнения волны используют волновое уравнение, представляющее собой дифференциальное уравнение в частных производных.
Волновое уравнение можно получить, если найти вторые частные производные по каждой из координат, используя уравнение плоской бегущей волны (6)
,
,
(8)
,
.
После сложения производных по координатам, используем оператор Лапласа,
или
Запишем волновое уравнение:
или
(9)
Если волна при распространении изменяется по гармоническому закону, то она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям:
1)
s
=
k2s,
2)
.
(10)