книги2 / 441

Рассматриваемая в работе задача поставлена профессором Ляховым Л.Н. и автор выражает ему глубокую благодарность.

Пусть −1 < −γ < 0. Уравнением Эйлера–Пуассона–Дарбу– Киприянова (ЭПДК) будем называть уравнение

где B−γ,y = ∂y∂22 −γy ∂y∂ — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, с указанным выше отрицательным параметром −γ.

Сингулярное уравнения Бесселя

B−γu(yξ) = −ξ2 u(yξ)

имеет два линейно независимых решения

u1 = Jµ(y) = Γ(1 + µ) 2µ yµ Jµ(y) ,

u2 = J−µ(y) = Γ(1 − µ) 2µ yµ J−µ(y) ,

которые выражаются через функции Бесселя первого рода J±µ, где

Лемма 1. Если u(x) суммируемая с весом x−γ дважды непрерывно дифференцируемая четная по Киприянову функция, то

B−γ, xTtu(x) = B−γ, tTtu(x)

Отметим также, что переменные x и t равносильны в смысле симметрии Ttxf(x) = Txt f(t) .

71

Поставим следующую задачу Коши: найти функцию u(x, t) Sev, удовлетворяющую следующим начальным условиям в предельной форме С.А. Терсенова [2]:

где второе условие связано с четностью по Киприянову функции f(x, t), заданной на R+2 .

В данной работе решение представлено ясной формулой, которая по аналогии с формулой Пуассона из [3] есть применение оператора T-псевдосдвига к начальному условию. Однако единственность этого решения требует удовлетворению условию Коши в предельной форме и не может быть задана непосредственно в точке t = 0. Мы воспользовались идеей С.А. Терсенова, которую он ввел для решений дифференциальных уравнений с вырождением на границе [2].

Теорема 1. Пусть f(x) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая четная по Киприянову функция. Тогда решение задачи Коши (1), (2) определено следующей формулой Пуассона

Литература

1. Ляхов Л. Н. Псевдосдвиг и фундаментальное решение оператора ∆B Киприянова / Л.Н. Ляхов, Ю.Н. Булатов, С.А. Рощупкин, Е.Л. Санина // Дифференциальные уравнения — 2022. — Т. 58, № 12. — С. 1654–1665.

2.Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе / С.А. Терсенов. — Новосибирск. : НГУ, 1973. — 144 с.

3.Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б.М. Левитан // УМН. — 1951. — Т. 6, № 2. —

С.102–143.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ РИСКА Е.В. Булинская (Москва, МГУ)

ebulinsk@yandex.ru

© Булинская Е.В., 2024

72

Риск-менеджмент, иначе принятие решений в условиях неопределенности, — это очень важная проблема, возникающая во всех приложениях теории вероятностей. Отметим среди них наиболее известные: страхование, финансы, теория запасов и водохранилищ, массовое обслуживание и надежность, динамика популяций, биология и медицина.

Для этих областей характерны так называемые модели входавыхода (input-output models), см. [1]. Для их описания необходимо задать набор (Z, Y, U, Ψ, L), т.е. входящий и выходящий процессы, управление, функционал, описывающий структуру и способ функционирования системы, а также целевую функцию, оценивающую качество функционирования системы.

Основное внимание в докладе будет уделено математическим моделям страхования, где входящий процесс — это поступление премий, выплачиваемых клиентами страховой компании (полисодержателями). Выходящий процесс — выплаты компании по наступившим страховым случаям. Что касается выбора управления, то здесь существует целый ряд возможностей в зависимости от поставленной цели.

Наиболее распространенные подходы: надежностный и стоимостной. Первый из них предполагает, что изучается вероятность разорения и ее надо минимизировать. Такой подход возник в 1903 году в диссертации Ф.Лундберга, где были заложены основы теории коллективного риска, развитой в 30-х годах в работах Х.Крамера. Этот подход до сих пор популярен, в частности, появились новые модели, где изучается так называемая парижская вероятность разорения. В качестве управления может выбираться начальный капитал страховой компании, метод подсчета страховой премии, создание резервов, перестрахование, банковские займы, дивиденды и инвестиции. Поскольку точный подсчет вероятности разорения возможен лишь для узкого класса выходящих процессов, существенный интерес представляют оценки вероятности разорения. Причем основная масса работ такого типа посвящена оценкам сверху (типа неравенства Лундберга). В докладе будут приведены новые результаты, полученные автором совместно со своим учеником А.А.Шатохиным, относящиеся к оценкам сверху и снизу для вероятности разорения страховщика и/или перестраховщика при использовании пропорционального перестрахования квотного типа.

В рамках стоимостного подхода речь идет о максимизации ожидаемого дисконтированного дохода страховой компании за время ее

73

бездефицитного функционирования. Наряду с упомянутыми моделями будут рассматриваться дуальные модели, которые возникают, если поменять местами входящий и выходящий процессы. Такие задачи возникают в страховании жизни и при изучении венчурных компаний, которые несут фиксированные расходы и могут получать случайные доходы. Используется широкий спектр математических методов, включающий исследование интегральных и дифференциальных уравнений, а также порядки случайных величин. Часто это дает возможность заменять реальную сложную модель риска более простой, которая совместима с имеющимися реальными данными. В этой связи полезным оказывается понятие асимптотически оптимальных политик, см. [2].

В заключение будет показано, как полученные результаты могут быть распространены на другие приложения теории вероятностей.

Литература

1.Bulinskaya E.V. New Research Directions in Modern Actuarial Sciences / E.V. Bulinskaya. // Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. — 2017. — V. 208, — P. 349–408.

2.Булинская Е.В. Эмпирические асимптотически оптимальные политики / Е.В. Булинская // Современные проблемы математики

имеханики : сборник, посвященный 190-летию П.Л. Чебышева. — М. : Изд-во Моск. ун-та. — 2011. — Т. 7, вып. 1. — С. 8–15.

О МЕТОДЕ РЕДУКЦИИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ В.Б. Васильев (Белгород, НИУ «БелГУ»)

vbv57@inbox.ru

1. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений возникают во многих теоретических и прикладных исследованиях, и, в частности, они появились в работах автора по дискретным псевдодифференциальным уравнениям и связанных с ними дискретным краевым задачам [1,2,3,4]. В этих работах описаны условия однозначной разрешимости таких уравнений, однако процесс нахождения решения представляет определенные вычислительные трудности. В связи с этим представляется целесообразным заменить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений конечной и объявить

© Васильев В.Б., 2024

74

решение последней системы приближенным решением исходной бесконечной системы. Этот прием, грубо говоря, и носит название метода редукции. В работах [5,6] этот метод был обоснован как для одномерных, так и многомерных дискретных сверток при некоторых дополнительных предположениях.

2. Здесь рассматривается бесконечная система линейных алгебраических уравнений с матрицей A = (aij)∞i,j=1, которая представляет собой линейный ограниченный оператор в банаховом пространстве X со стандартным базисом ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . ),

Обозначим Pn проектор на линейную оболочку векторов ei, i = 1, . . . , n, которую мы обозначим Xn. Положим An = PnAPn, так что

в пространстве Xn. Таким образом, оператор An представлен мат-

рицей (ani,j=1).

Теорема. Если существует ограниченный обратный оператор A−1 : X → X, то справедливы следующие утверждения:

1) начиная с некоторого N, n N, операторы An : Xn → Xn обратимы и

||A−n 1|| C,

спостоянной C, не зависящей от n;

2)решение xn уравнения (2) сходится к решению x уравнения

(1) при n → ∞.

Возможно, подобный результат представлен в математической литературе, однако автор не имеет соответствующей информации.

3.В упомянутых работах автора [1–4] решения дискретных краевых задач было получено в образах Фурье, и с вычислительной точки зрения предстоит выяснить, какой вариант приближенных вычислений более предпочтителен. Возможно, вычисления с дискретной системой в исходном пространстве приведет к более быстрому нахождению дискретного приближенного решения, например, в случае

75

исходных данных из класса функций, быстро убывающих на бесконечности.

Литература

1.Vasilyev A.V. Pseudo-differential operators and equations in a discrete half-space / A.V. Vasilyev, V.B. Vasilyev // Math. Model. Anal. — 2018. — V. 23, No 3. — P. 492–506.

2.Васильев В.Б. О дискретных краевых задачах и их аппроксимационных свойствах / В.Б. Васильев, О.А. Тарасова // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. — 2020. —

Т.174. С. 12–19

3.Васильев В.Б. О дискретных краевых задачах в четверти плоскости / В.Б. Васильев, А.А. Ходырева // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. — 2023. — Т. 223. — С. 14–23.

4.Васильев В.Б. О дискретной краевой задаче в четверти плоскости / В.Б. Васильев, А.А. Машинец // Вестник российских университетов. Математика. — 2023. — Т. 28, № 142. — С. 169–181.

5.Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. — М. : Наука, 1971. — 352 с.

6.Козак А.В. Проекционные методы решения многомерных дискретных уравнений в свертках / А.В. Козак, И.Б. Симоненко // Сиб. матем. журн. — 1980. — Т. 21, № 2. С. 119–127.

СЛОЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ БИЛЛИАРДНЫХ КНИЖЕК

В ОКРЕСТНОСТИ ФОКАЛЬНОГО УРОВНЯ1

В.В. Ведюшкина (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова) arinir@yandex.ru

А.Т. Фоменко и Х. Цишанг разработали топологический подход, позволяющий эффективно описывать слоение Лиувилля классических интегрируемых гамильтоновых систем, таких как системы Лагранжа, Эйлера, Жуковского и Ковалевской [1]. Данный метод основывается на вычисление инварианта Фоменко Цишанга, который является графом Риба дополнительного интеграла на трехмерной изоэнергетической поверхности дополнительного интеграла системы, который снабжен дополнительной информацией. А именно, типом бифуркаций торов Лиувилля, а также некоторыми числовыми метками, кодирующими склейки граничных торов, принадлежащих

1 Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 22-71-10106 в МГУ имени М.В. Ломоносова.

© Ведюшкина В.В., 2024

76

разным бифуркациям. В качестве новых ярких результатов, которые оказались возможны благодаря вычислению вышеупомянутых инвариантов, можно упомянуть эквивалентность задачи Якоби и случая Эйлера, а также невозможность понижения степени дополнительных интегралов в системах Ковалевской и Горячева-Чаплыгина [1].

С другой стороны, В. Драговичем и М. Раднович [2] этот подход был применён для анализа слоения Лиувилля плоских интегрируемых биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик [3]. Вычисление инвариантов здесь с одной стороны весьма наглядно, а с другой позволяет наглядно промоделировать ряд трехмерных бифуркаций. Однако, класс таких биллиардов весьма невелик, что привело к появлению нового объекта, а именно биллиардной книжки [4]. Рассмотрим клеточный комплекс, двумерными клетками которого являются плоские биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик. Занумеруем их некоторым образом и припишем каждой одномерной клетке циклическую перестановку, состоящую из номеров двумерных клеток, ей инцидентных. Спроектируем комплекс на плоскость. Каждому образу одномерной клетки припишем перестановку, составленную из циклов в каждом прообразе этой дуги. Потребуем теперь, что если дуги имеют общую точку и образуют прямой угол, то приписанные им перестановки на плоскости коммутируют. В этом случае на комплексе можно корректно задать динамическую систему, описывающую движение биллиардной точки следующим образом. Внутри двумерных клеток происходит прямолинейное движение, а после удара о одномерную клетку точка меняется номер листа по соответствующей циклической перестановке. Интегрируемость плоских биллиардов влечёт интегрируемость биллиардной системы на книжке.

При решении задачи описания слоения произвольной биллиардной книжки методом Фоменко-Цишанга встает ряд трудностей. Одна из них состоит в обычной классификации биллиардных книжек как комплексов, с точностью до некоторого естественного отношения эквивалентности. Вторая состоит в том, что даже в случае фиксированного комплекса вычисление инварианта весьма трудоёмко. Отметим здесь, что биллиардные книжки позволяют, во-первых, реализовывать произвольные атомы-бифуркации, возникающие в невырожденных интегрируемых гамильтоновых системах [4], во-вторых, произвольные графы Фоменко – молекулы без числовых меток [5]. Эти результаты были получены построением биллиардных книжек, листы которых не содержат фокусов семейства квадрик. Наличие

77

фокусов в двумерных клетках биллиардных книжек как правило приводит к тому, что топология изоэнергетической поверхности и соответствующее слоение Лиувилля становятся весьма нетривиальными. Тем не менее, тип атома-бифуркации на фокальном уровне (т.е. соответствующего перестройке траекторий касающихся эллипсов в траектории, касающиеся гипербол) уже не может быть произвольным. Как оказалось в случае, если биллиардная книжка склеена из биллиардов, ограниченных дугой эллипса и дугой гиперболы, то базой расслоения Зейферта будут максимально-симметричные атомы Xm и Ym.

Базы расслоения Зейферта максимально симметричных атомов серий Xm и Ym.

Литература

1.Болсинов А.В. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, Т.1,2 / А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко. // Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 1999. — 444 с.,447 с.

2.Драгович В. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе / В. Драгович, М. Раднович // Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010.

3.Козлов В.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами / В.В. Козлов, Д.В. Трещёв. // М.: Изд-во МГУ, 1991. — 168 с.

4.Ведюшкина В.В. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем /

В.В.Ведюшкина, И.С. Харчева // Матем. сб. — 2018. — Т. 209, № 12. — C. 17–56.

5.Ведюшкина В.В. Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем /

В.В.Ведюшкина, И.С. Харчева // Матем. сб. — 2021. — Т. 212, № 8. — C. 89–150.

78

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ С ОБОСТРЕНИЕМ РЕЖИМА

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Ю.П. Вирченко, В.В. Ченцова (Белгород, БелГУ) virch@bsu.edu.ru

Изучаются решения u(x, t) 0, x R, t 0 с компактным носителем [c−, c+] R одномерного нелинейного уравнения теплопроводности

относительно функций u(x, t), x R c самосогласованным источником f(u) = αu + βu2, α, β R при t 0 с транспортным коэффициентом k(u) = u (см., например, [1]). Устанавливаются двусторонние оценки времени обострения для решений с компактным носителем, функционально зависящие от начальных условий u(x, 0). В этом случае возможно возникновение решений со слабым разрывом с компактным носителем [1]. При β > 0 такое уравнение уже не имеет глобальных решений, ввиду образования за конечное время разрывов второго рода — т.н. решения с обострением режима. Они существуют только лишь на конечном интервале времени t [0, t ) так, что u(x, t) → ∞ в какой-то точке x R при t → t , где t называется временем обострения. Для уравнения (1) имеет место принцип максимума

Теорема 1. Пусть u(1)(x, t) и u(2)(x, t) — дважды непрерывно дифференцируемые по x R функции такие, что при t t0 R+ они удовлетворяют неравенствам

всех x R.

Пусть u(x, t) слабые решения, которые конструируются следующим образом. Пусть также w(x, t) классическое решение уравне-

0, R \ (x−(t), x+(t)) .

©Вирченко Ю.П., Ченцова В.В., 2024

79