5.4 Анализ формы распределения вариационных рядов

Наряду с анализом вариационных рядов относительно центров распределения (среднеарифметическая, мода, медиана) важное значение имеет анализ формы ряда распределения. Анализ формы с помощью различных показателей (асимметрии, эксцесса) позволяет получить общую оценку распределения вариант в вариационном ряду.

Форма ряда распределения – это графическое отображение вариационного ряда распределения. Поскольку варианты вариационного ряда могут быть выражены с помощью дискретной, интервальной или непрерывной величин, постольку и формы вариационного ряда будут различными – полигон, гистограмма, плавная кривая. Плавная кривая является предельной формой вариационного ряда, поскольку, увеличивая до бесконечности число единиц совокупности или уменьшая до бесконечности интервал, полигон и гистограмма постепенно преобразуются в плавную кривую (рис.5.1). Основной оценкой формы распределения является исчисление показателей асимметрии (скошенности) ряда и эксцесса.Асимметрия – это качественный показатель распределения частот вариант ряда, равноотстоящих от средней варианты.

В симметричном вариационном ряде частоты равномерно распределены относительно средней варианты (рис.5.1) В таком ряде средняя, мода и медиана равны между собой, т.е. . В асимметричном ряде частоты неравномерно распределены. Асимметрия может быть двух видов: правосторонняя (рис.5.2) и левосторонняя (рис.5.3) В правосторонней асимметрии () показатели центров распределения взаимосвязаны между собой следующим образом. При этой асимметрии большинство единиц совокупности расположены слева от средней. В левосторонней асимметрии все наоборот и показатели центров распределения взаимосвязаны между собой следующим образом. При этой асимметрии большинство единиц совокупности расположены справа от средней. Численная оценка асимметрии определяется следующим образом

. (5.26)

В симметричном ряде . При правосторонней асимметрии. При левосторонней асимметрии. Если, то асимметрия значительная. Если, асимметрия незначительная.

Пример. Статистическое наблюдение о распределении рабочих относительно средней заработной платы на участке №2 дало следующие результаты, по которым по формуле 5.26 рассчитаем коэффициент асимметрии (табл. 5.13).

Таблица 5.13

Средняя зарплата в руб. ().	Кол-во рабочих ()		()
1	2	3	4	5	6
1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500 2750 3000	1 4 9 14 18 37 26 4 1	1000 5000 13500 24500 62000 83250 22500 11000 3000	-1125 -875 -625 -375 -125 125 375 625 875	1265625,00 3062500,00 3515625,00 1968750,00 281250,00 578125,00 3656250,00 1562500,00 765625,00	-1423828125,00 -2679687500,00 -2197265625,00 -738281250,00 -35156250,00 72265625,00 1371093750,00 976562500,00 669921875,00
Итого	114	242250		16656250,00	-3984375000,00

Для проведения расчетов в графах 4,5,6 табл. 5.13 рассчитаем вначале среднюю заработную плату по участку

Затем рассчитает стандартное отклонение

Теперь оценим степень асимметрии распределении средней зарплаты среди рабочих участка №2

.

Полученная оценка степени асимметрии показывает, что она левосторонняя () и значительная (). Это дает возможность сделать следующий вывод; большинство рабочих получают зарплату больше средней по участку (2125 руб.)

Для симметричных вариационных рядов рассчитывается показатель эксцесса. Эксцесс – это качественный показатель концентрации единиц совокупности вокруг средней (островершинности) и однородности единиц совокупности. Он равен

. (5.26)

За базу сравнения, при анализе эксцесса, берут форму кривой нормального распределение. Отсюда эксцесс нормального распределения равен нулю, т.е. . Кривая эмпирического вариационного ряда распределения может быть островершинной, когда, т.е. эксцесс имеет положительный знак. В этом случае единицы совокупности достаточно кучно расположены вокруг средней. Это говорит об однородности единиц совокупности. Если кривая плосковершинная, то. Это будет говорить о неоднородности единиц совокупности и о значительном разбросе единиц совокупности вокруг средней.

На основе данных о распределении рабочих по стажу рассчитаем показатель эксцесса (табл.5.14)

Таблица 5.14

стаж ().	Число рабочих ()
1	2	3	4	5	6	7
2 6 10 14 18 22 26	1 3 6 10 5 3 2	2 18 60 140 90 66 52	150,479 68,343 18,207 0,071 13,935 59,799 137,663	150,479 205,030 109,244 0,713 69,676 179,398 275,327	22644,016 4670,805 331,505 0,005 194,192 3575,955 18951,181	22644,016 14012,415 1989,032 0,051 970,961 10727,865 37902,362
	30	428	203,547	989,867	50367,660	88246,703

По итоговым значениям граф 2,3 таблицы 5.14 определим средний стаж рабочих по формуле 4.2, как взвешенную

По итоговым значениям граф 2,5 таблицы 5.14 определим общую дисперсию

Теперь определим значение дисперсии в квадрате

.

После расчетов данных по графам 6,7 таблицы 5.14 определим значение эксцесса

Полученное значение эксцесса говорит о том, что плотность распределения стажа (вариант) вокруг средней ниже плотности распределения случайной величины вокруг средней в нормальном распределении. Другими словами разброс стажа относительно среднего стажа относительно велик, что говорит об определенной дифференциации зарплаты между рабочими (т.е о неоднородности единиц совокупности).

Следует отметить, что использование асимметрии и эксцесса повышает эффективность анализа экономических процессов при сопоставлении рядов распределения во времени и пространстве. Это позволяет выявить изменения и принять меры для нейтрализации негативных процессов. Например, увеличение размаха вариации и уменьшение эксцесса, будет говорить об усилении дифференциации показателя, что не всегда благоприятно (например, дифференциация доходов). Устойчивость асимметрии во времени будет говорить о неизменности факторов, формирующих этот коэффициент. Оценка этого момента будет зависеть от целей анализа.

Контрольные вопросы и задания

1. Экономические показатели постоянно изменяются. Чем объяснить эти изменения? Что такое вариация? Приведите примеры.

2. Какие средства используются для оценки вариации? Ежедневные остатки в течение недели характеризовались следующими данными в тыс. руб.: 4,5; 3,1; 2,9; 4,0; 2,6; 3,8; 2,9. Оцените вариацию остатков с помощью различных средств.

3. Что такое дисперсия, какой особенностью она отличается, какими свойства она отличается? Рассчитайте дисперсию по данным, приведенным во втором вопросе. Одновременно по этим данным проиллюстрируйте свойства дисперсии.

4. В чем основное отличие стандартного отклонения от дисперсии? Какими характеристиками она обладает? Приведите примеры.

5. Когда используются относительные показатели вариации и что они позволяют оценить?

6. В каких видах может быть выражена дисперсия? В чем смысл и назначение каждого вида дисперсии? Как связаны между собой различные виды дисперсии?

7. По данным, приведенным в таблице, рассчитайте общую, межгрупповую и среднюю из внутригрупповых дисперсию.

	Рабочие, не окончившие кур-сы повышения квалификации					Рабочие, окончившие курсы повышения квалификации
Выработка	7	9	10	11	13		14	15	17
Кол-во рабочих	4	6	3	8	9		10	7	6

8. С помощью эмпирического коэффициента детерминации коэффициента эмпирического корреляционного отношения оцените межгрупповую дисперсию, полученную в пункте 7.

9. По данным, приведенным в вопросе 7, постройте общий вариационный ряд, рассчитайте по нему среднюю, моду и медиану, постройте полигон и покажите на нем среднюю, моду, медиану.

10. Что такое асимметрия, эксцесс, что дает использование их в анализе? По данным, приведенным в вопросе 7, рассчитайте показатель асимметрии

Список литературы

1.Теория статистики. /Под ред. Р.А.Шмойловой. М.:1999.

2. Теория статистики /Под ред.Г.Л.Громыко. М.:2000.

3. Общая теория статистика. /Под ред. А.А.Спирина. М.:1995

4. Ефимова М.Р., Ганченко О.И.,Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистике. М.:2000

Содержание

Введение 3