4.3 Средние величины – понятие, основные характеристики

В статистике важную роль играют средние величины. Средняя величина – это обобщенная количественная характеристика социально-экономического явления и процесса в конкретных условиях, месте и времени. Показатель, выраженный в форме средней величины, выражает типическую величину признака единиц совокупности. Например, средняя зарплата работников, средняя рентабельность, средняя производительность труда и т.д. Конкретные значения показателей, под действием различных факторов, постоянно изменяются, варьируются. Это затрудняет понимание сущности наблюдаемого социально-экономического явления или процесса. Расчет показателя в форме средней величины позволяет элиминировать случайные изменения и достаточно ясно и наглядно проявить общее, существенное, типичное.

Надо отметить, что типичность средней величины напрямую связана с однородностью статистической совокупности. Отсутствие однородности в наблюдаемой статистической совокупности приводит к фиктивной средней величине. Этот момент необходимо постоянно учитывать при расчетах средних величин.

В статистике используются следующие средние величины:

1. средняя гармоническая (среднегармоническая) ();

2. средняя геометрическая (среднегеометрическая) ();

3. средняя арифметическая (среднеарифметическая) ();

4. средняя квадратическая (среднеквадратическая) ().

Приведенные средние величины соотносятся между собой следующем образом .

При расчете средних величин используется такое понятие как веса (а не весы). Веса – это число в абсолютной или относительной форме, которое показывает, сколько раз в совокупности встречается та или иная варианта признака. Например, в бригаде рабочий А заработал в текущем месяце 4000 руб., рабочий В –4500 руб., рабочий С –5000 руб., рабочий Д – 4500 руб., рабочий К – 4000 руб. В данном примере совокупностью является вся бригада, объем которой равен 5 человек, единицей совокупности является один рабочий, признаком единицы совокупности выбран заработок. Вариантами признака (заработка) являются величины заработка; 4000 руб., 4500 руб., 5000 руб. Варианта признака в 4000 руб. встречается в совокупности 2 раза, это и будет значением веса данной варианты, варианта в 4500 руб. встречается 2 раза, варианта в 5000 руб. – 1раз. Сумма весов всегда равна объему совокупности. Аналогом весов являются частота или частость.

Рассмотрим кратко средние величины.

Среднеарифметическая величина Она используется тогда, когда между вариантами признака возможна аддитивная связь (т.е. сложение) и когда между вариантами признака и показателем существует прямая связь (т.е. с ростом выработки растет производительности труда). Среднеарифметическая рассчитывается путем деления суммы вариантов признака на их число. Она может простой и взвешенной. Среднеарифметическая простая определяется следующим образом

, (4.1)

где: – значение-ой варианты признака;

n – объем совокупности.

Среднеарифметическая простая используется тогда, когда по смыслу задачи весов либо нет, либо они равны. Например, в бригаде из 3 человек необходимо рассчитать среднюю зарплату по бригаде за месяц, если первый рабочий заработал 3800 руб., второй - 4000 руб., третий – 4200 руб. Средняя зарплата по бригаде по формуле 4.1 будет равна

В данном примере весов нет, либо они равны. Рассмотрим другой пример. Необходимо рассчитать среднюю зарплату по двум бригадам. В первой бригаде средняя зарплата равна 4000 руб., а во второй 3500 руб. Использовать формулу среднеарифметической простой в данном случае нельзя, если в бригадах будет разная численность рабочих.

Среднеарифметическая взвешенная определяется следующим образом

, (4.2)

где: – вес-ой варианты признака.

. Например, в бригаде из 6 человек 2 рабочих имели зарплату по 3000 руб., 3 – по 3500 руб., 1 –3700 руб. Найдем среднюю зарплату в бригаде с помощью среднеарифметической взвешенной (табл.4.1)

Таблица 4.1

Зарплата рабочего () руб.	Кол-во рабочих ()	Зарплата группы рабочих () руб.
3000 3500 3900	2 3 1	6000 10500 3900
Итого	=6	=20400

Средняя зарплата по формуле 4.2 будет равна

Среднеарифметическая обладает рядом замечательных свойств, которые позволяют понять сущность и характер изменений социально-экономических явлений и процессов. Рассмотрим важнейшие ее свойства на примере данных таблицы 4.1.

1 свойство Произведение средней на сумму часто равно сумме произведения вариант на соответствующие частоты (частости). Если в формуле обе части равенства умножить на объем совокупности (), то получим следующее равенство. Данное свойство проиллюстрируем с помощью конкретных данных: 3400·2+3400·3+3400·1=3000·2+3500·3+3900·1. Таким образом, в определенных ситуациях мы можем заменить варианты признака среднеарифметической, не изменив результатов расчета.

2 свойство Сумма отклонений вариант признака от среднеарифметической равно нулю, т.е. . Данное свойство доказывается следующим образом

. (4.3)

Проверим данное свойство на конкретных данных таблицы 4.1(табл.4.2)

Таблица 4.2

Зарплата рабочего () руб.	Кол-во рабочих ()	Отклонение индивидуальной зарплаты от средней
		()
3000 3500 3900	2 3 1	-400 +100 +500	-800 +300 +500
Итого	6		0

Данное свойство подтверждает назначение средней – быть типической величиной в совокупности. Если в расчете (табл.4.2) среднеарифметическую заменить какой-либо другой постоянной величиной (с), то это свойство не будет выполняться.

3 свойство Если варианты признака увеличить или уменьшить на одну и ту же постоянную величину (с), то среднеарифметическая увеличится или уменьшится на одну и ту же величину

. (4.4)

Проверим данное свойство конкретными данными таблицы 4.1. Для этого варианты признака () увеличим на 200 руб. (с=200) и рассчитаем новую среднеарифметическую () (табл.4.3)

Таблица 4.3

Зарплата рабочего () руб.	Кол-во рабочих ()	Зарплата рабочих руб.
		()
3000 3500 3900	2 3 1	3200 3700 4100	6400 11100 4100
Итого	=6		21600

, .

Расчет показывает, что свойство выполнятся.

4 Свойство Если варианты признака увеличить или уменьшить в к раз, то среднеарифметическая увеличится или уменьшится в k раз

,. (4.5)

Проверим данное свойство конкретными данными таблицы 4.1,

увеличив каждую варианту признака () в 1,5 (k) раз (табл. 4.4)

Таблица 4.4

Зарплата рабочего () руб.	Кол-во рабочих ()	Зарплата рабочих руб.
		()
3000 3500 3900	2 3 1	4500 5250 5850	9000 15750 5850
Итого	=6		30600

Определим новую среднеарифметическую

, .

Расчет показывает, что увеличение вариант в 1,5 раза привело в увеличению средней в 1,5 раза.

5 Свойство Если веса уменьшить или увеличить в d раз, то среднеарифметическая останется без изменения

(4.6)

Проверим это свойство конкретными данными таблицы 4.1, увеличив веса () , т.е. количество рабочих по каждой варианте, например, в два раза. ()(табл.4.5)

Таблица 4.5

Зарплата рабочего () руб.	Кол-во рабочих			Зарплата рабочих руб.
	было()	стало()	было()		стало)
3000 3500 3900	2 3 1	4 6 2	6000 10500 3900		12000 21000 7800
Итого	=6		20400		40800

Определим среднеарифметическую зарплату до и после изменения численности рабочих по группам

Расчеты показывают, что равномерное увеличение численности по всем группам не привело к увеличению среднеарифметической зарплате.

Среднегармоническая величина В отличие от среднеарифметической среднегармоническая величина предназначена для расчетов средних величин по обратным признакам показателя. Прямые признаки показателя - это такие признаки, увеличение (уменьшение), которых приводит к увеличению (уменьшению) показателя. Например, увеличение (уменьшение) выработки (признака) приводит к увеличению (уменьшению) производительности труда. Обратные признаки показателя – это такие признаки, увеличение (уменьшение) которых приводит к уменьшению (увеличению) показателя. Например, увеличение трудоемкости (признак) приводит к уменьшению производительности труда. Область применения среднегармонической величины ограничена составом показателей. Отметим основные показатели в виде некоторой таблицы

Таблица 4.6.

П о к а з а т е л ь

Обратный признак

Прямой признак

1. Производительность труда

выработка трудоемкость

2. Использование основных фондов

фондоотдача фондоемкость

3. Покупательская способность рубля

кол-во товаров на 1рубль цена единицы товара

4. Использование ресурсов

ресурсоотдача ресурсоемкость

Обратный признак определяется из прямого следующим образом

. (4.7)

Среднегармоническая величина может быть простой и взвешенной и соответственно определяется следующим образом

(4.8)

(4.9)

Рассмотрим примеры использования среднегармонической величины.

Пример 1. Трудоемкость изготовления детали у токаря А равна 12 мин., у токаря Б – 10 мин., у токаря С – 15 мин. Определить среднюю трудоемкость изготовления детали. Так как в примере не указана общая трудоемкость изготовления детали по каждому токарю, для расчета используется среднегармоническая невзвешенная

Пример 2. Три токаря изготовляли одинаковые детали. Токарь А потратил на все изготовленные им детали 2 часа, с трудоемкостью изготовления одной детали в 12 мин., токарь Б потратил 1 час, с трудоемкостью в 10 мин., токарь С потратил 2,5 часа, с трудоемкостью в 15 мин. Определить среднюю трудоемкость изготовления детали. В данном примере дана общая трудоемкость изготовления детали по каждому токарю (). На основе исходных данных для расчета должна быть использована среднегармоническая взвешенная. Для проведения расчета необходимо исходные данные привести в сопоставимый вид, т.е. привести данные к одной единице измерения. Переведем все данные в минуты и рассчитаем среднегармоническую взвешенную

Среднегеометрическая величина Она бывает простой и взвешенной и, соответственно, рассчитывается следующим образом

(4.8)

(4.9)

Среднегеометрическая величина используется главным образом при изучении динамики изменения показателя, например, при расчете средних темпов роста. В теме временные ряды будет рассмотрено применение этой величины.

Среднеквадратическая величина Она бывает простой и взвешенной и, соответственно, рассчитывается следующим образом

. (4.10)

(4.11)

Данная средняя величина используется при расчете показателей вариации, где ее применение и будет рассмотрено.