4. Четырехполюсники

Четырехполюсник (рис. 1.43) — это электрическая цепь, или часть цепи, изображаемая на схеме в виде прямоугольником с двумя входными и двумя выходными полюсами (зажимами).

Рис. 1.43. Четырехполюсник

На рисунке U₁ и I₁ —входные напряжение и ток, U₂ и I₂ — выходные. Токи и напряжения представлены в комплексной форме для действующих значений их модулей.

Четырехполюсник называется активным, если содержит источники энергии. Если источников энергии внутри четырехполюсника нет, он называется пассивным.

Четырехполюсник называется линейным, если входные и выходные напряжения и токи связаны линейными зависимостями.

Если при замене выходных полюсов входными, а входных выходными напряжения и токи не меняются, четырехполюсник называется симметричным.

Входные и выходные напряжения и токи связаны уравнениями, которые называются уравнениями четырехполюсника (уравнениями передачи). Коэффициенты при переменных в этих уравнениях называются первичными параметрами четырехполюсника. Всего таких систем уравнений шесть. Все величины в уравнениях, в общем случае, комплексные, так как основной интерес представляет работа четырехполюсников в режиме гармонических колебаний.

Уравнения с параметрами «а»:

Уравнения с параметрами «а» называются основными и их параметры часто обозначают буквами A, B, C, D.

Уравнения с параметрами «b»:

Уравнения с параметрами сопротивления «z»:

Уравнения с параметрами проводимости «y»:

Уравнения с параметрами «h»:

Уравнения с параметрами «f»:

Параметры четырехполюсника, входящие в эти уравнения можно вычислить или определить экспериментально из опытов холостого хода и короткого замыкания, приравнивая в правой части какой-либо ток или напряжение к нулю.

Определитель системы уравнений с параметрами «а»

, так как для линейных пассивных четырехполюсников . Поэтому, если известны три параметра «a», то четвертый определяется однозначно. У симметричного четырехполюсника , определитель и, следовательно, достаточно знать два параметра «a», чтобы найти остальные.

На рис. 1.44 приведена схема четырехполюсника с сопротивлением нагрузки Z_н. Входное сопротивление этой схемы равно:

Рис. 1.44. Нагруженный четырехполюсник

Комплексный коэффициент передачи (передаточная функция) четырехполюсника по напряжению

Передаточная функция по току

, где — амплитудно-частотная характеристика четырехполюсника, а — фазо-частотная характеристика. Комплексная величина называется постоянной передачи четырехполюсника. Ее вещественная часть — это рабочее (собственное) затухание четырехполюсника, — коэффициент фазы, равный сдвигу фаз между входным и выходным напряжениями (токами).

Два сопротивления и таких, что при нагрузке выхода четырехполюсника на сопротивление , его входное сопротивления равно и, при подключении к его входным зажимам сопротивления , сопротивление со стороны выходных зажимов (выходное) равно , называются входным и выходным характеристическими сопротивлениями четырехполюсника. Можно показать, что и . У симметричного четырехполюсника . Знак выбирается с учетом внутренней схемы четырехполюсника. Четырехполюсник согласован с нагрузкой, если его выходное характеристическое сопротивление равно сопротивлению нагрузки.

Схемы, состоящие из нескольких соединенных между собой четырехполюсников, и имеющие два входных и два выходных полюса, называются сложными четырехполюсниками. Есть пять основных видов таких соединений.

Каскадное соединение (рис. 1.45)

Рис. 1.45. Каскадное соединение четырехполюсников

На рисунке: A_1, A_2,…….,A_n — матрицы параметров a_ij систем уравнений, каскадно- соединенных четырехполюсников. А_1-n— общая матрица параметров a_ij этих четырехполюсников.

Если четырехполюсники согласованы, то общая постоянная передачи

и передаточная функция

Последовательное соединение (рис. 1.46)

Рис. 1.46. Последовательное соединение четырехполюсников

Для четырехполюсников задаются матрицы сопротивлений z_ij. Общая матрица параметров для этих четырехполюсников при их объединении . При последовательном соединении n четырехполюсников .

Параллельное соединение (рис. 1.47)

Рис. 1.47. Параллельное соединение четырехполюсников

Для четырехполюсников заданы матрицы проводимостей y_ij. Общая матрица параметров для этих четырехполюсников при их объединении . При параллельном соединении n четырехполюсников .

Последовательно-параллельное соединение (рис. 1.48)

Рис. 1. 48. Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников

В этом случае задаются матрицы параметров h_ij. Общая матрица параметров для этих четырехполюсников при их объединении . При последовательно-параллельном соединении n четырехполюсников .

Параллельно-последовательное соединение (рис. 1.49)

Рис. 1.49. Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников

Задаются матрицы проводимостей h_ij. Общая матрица параметров для этих четырехполюсников при их объединении .При параллельно-последовательном соединении n четырехполюсников .

Для описания внутренней структуры пассивных четырехполюсников обычно используются Т, П, Г – образные и мостовые эквивалентные схемы, соответственно (рис. 1.50 а, б, в, г) параметры элементов которых связаны с параметрами основных уравнений четырехполюсника простыми зависимостями.

а) б)

в) г)

Рис. 1.50. Эквивалентные схемы четырехполюсников: а) Т-образная; б) П-образная;

в) Г-образная; г) мостовая

Для Т-образной несимметричной схемы:

, , , .

Для П-образной несимметричной схемы:

, , ,

Для симметричных Т и П-образных схем . Формулы для Г-образных схем получаются, если приравнять нулю соответствующее сопротивление ( или ).

Для симметричной мостовой схемы четырехполюсника:

, , .

Эти формулы выводятся из уравнений четырехполюсника при короткозамкнутых и разомкнутых входах и выходах эквивалентных схем.