y

2

=C ex

+4C

2

e2x +

25C

e5x +

1

ex

+

1

xex −6(C ex

+2C

2

e2x +5C

e5x +

1

ex +

1

xex +

1

)+

4

4

5

1

3

2

4

1

3

+6(C ex +C

e2x +C

e5x +

1

xex +

1

x +

17 )+2ex − x

=C ex

−3C

e2x +C

e5x −ex +

1

xex +

6

x +

21

,

4

5

5

1

2

3

50

−5(C ex

1

2

3

4

)+

25

y

3

=C ex

+4C

e2x +

25C

e5x +

1

ex

+

1

xex

+2C

2

e2x +5C

e5x +

1

ex +

1

xex +

1

4

4

5

1

2

3

2

4

1

3

+3(C ex +C

e2x +C

e5x +

1

xex +

1

x +

17 )+ex − x = −C ex

−3C

e2x +3C

e5x +

1

ex −

1

xex −

2

x +

1

.

1

2

3

4

5

50

1

2

3

4

4

5

50

Следовательно, общее решение системы (5.1) найдено:

y1 =C1e

x

+C2e

2x

+C3e

5x

+ 4 xe

x

+ 5 x + 50 ,

1

1

17

y2 =C1ex −2C2e2x +C3e5x +ex +

1

xex +

6

x +

21

,

4

5

25

x

−3C

2x

+3C

5x

x

x

1

.

y

3

= −C e

e

e

+

3

e

−

1

xe

−

2

x

+

1

2

3

4

4

5

50

Для решения задачи Коши воспользуемся начальными условиями. Получим систему

для определения C1, C2 , C3 :

17 =

C

+

C

2

+

C

3

+ 17 ,

50

1

50

−

4

= C1 −2C2 + C3 +1+

21

,

25

25

27

=

−C

−3C

+3C

+

1

+

1

,

2

3

4

100

1

50

откуда C1 = 0, C2

= 0, C3 = 0.

y1

=

4 xe

x

+ 5 x

+ 50 ,

1

1

17

Искомое частное решение имеет вид: y2

= −ex +

1

xex +

6

x +

21

, ▼

4

5

25

1

x

1

x

2

1

.

y

3

=

e

−

xe

−

x +

4

4

5

50

Стр.

Предисловие ……………………………………………………………………………………

3

Обыкновенные дифференциальные уравнения………………………………………………

4

1.

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям……………………… 4

2.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка………………………………………………

8

1. Основные понятия (8). 2. Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача

Коши (8). 3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (9).

4. Уравнениия с разделяющимися переменными (12). 5. Однородные дифферен-

циальные уравнения 1-го порядка (14). 6. Однородные линейные дифференциаль-

ные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли (19).

3.

Дифференциальные уравнения 2-го порядка………………………………………………

23

1. Задача Коши (23). 2. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

(24).

4.

Дифференциальные уравнения высших порядков………………………………………

26

5.

Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка…………………

27

ми………………………………………………………………………………………………

35

1. Однородные линейные дифференциальные уравнения (35). 2. Неоднородные

линейные дифференциальные уравнения (37). 3. Интегрирование неоднородного

линейного дифференциального уравнения 2-го порядка методом вариации (39). 4.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоян-

ными коэффициентами (40).

7. Уравнение колебаний………………………………………………………………………

45

1. Свободные колебания (46). 2. Вынужденные колебания (47).

8. Системы дифференциальных уравнений…………………………………………………

49