6. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим важный частный случай линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка – случай, когда функции p(x) и q(x) являются постоянными величинами. Такие урав-

нения называются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

6.1 Однородные линейные дифференциальные уравнения

где p, q − вещественные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения. Следуя Эйлеру, будем искать их в виде

где k = const ; тогда y′ = kekx , y′′ = k2ekx .

Подставляя эти выражения для y и производных y в уравнение (1.1), получаем ekx (k 2 + pk + q) = 0 .

Т. к. ekx ≠ 0 , то должно выполняться равенство k 2 + pk + q = 0 .

Следовательно, функция y = ekx будет решением уравнения (1.1), т. е. будет обращать его в тождество по x , если k будет удовлетворять алгебраическому уравнению

Уравнение (1.3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1.1), а его левая часть ϕ(k) ≡ k 2 + pk + q называется характеристическим много-

членом.

Уравнение (1.3) есть квадратное уравнение. Обозначим его корни через k1 и k2 ; они могут быть 1. вещественными и разными;

2.вещественными и равными;

3.комплексными.

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

1. Если корни k1 , k2 характеристического уравнения вещественные и разные, то частными решениями уравнения (1.1) будут функции (фундаментальная система решений)

Пример 1.3. Найти общее решение уравнения y′′−2y′ = 0 . ▲ Здесь характеристическое уравнение имеет вид k 2 −2k = 0 .

35

постоянные величины. Можно, в частности, положить A =1, B = 0 ; тогда z = x . Таким образом, в качестве второго частного решения уравнения можно взять y2 = xek1x .

Значит, общее решение нашего дифференциального уравнения y = C1 +C2 x . ▼

3. Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты p, q характеристического уравнения вещественные, комплексные корни входят как попарно сопряженные. Положим, что

Тогда у дифференциального уравнения (1.1) будут два (линейно независимых!) реше-

ния:

yн1 = e(a+ib) x , yн2 = e(a−ib) x .

Это комплекснозначные функции вещественного аргумента x, а мы будем заниматься лишь вещественными решениями. С помощью формул Эйлера

eibx = cosbx +isin bx, e−ibx = cosbx −isin bx

частные решения yн1 и yн2 уравнения (1.1) можно представить в виде yн1 = eax (cosbx +isin bx), yн2 = eax (cosbx −isin bx) .

Воспользовавшись теоремой 5.3, получим, что частными решениями уравнения (1.1) будут также функции (фундаментальная система решений) y1 = eax cosbx, y2 = eax sin bx . Эти решения линейно независимы, так как

y2 (x) = tg bx ≠ const . y1 (x)

36

Следует помнить окончательный вид решения дифференциального уравнения (1.1), даваемый формулой (1.6). Сопоставляя (1.6) с (1.5), мы видим, что решение (1.6) со-

стоит из двух сомножителей: показательного сомножителя, который полностью определяется вещественной частью корней характеристического уравнения, и тригонометрического, полностью определяемого мнимой частью упомянутых корней.

Пример 1.6. Найти общее решение уравнения y′′−6y′+ 25y = 0 .

▲ Составляем характеристическое уравнение k 2 −6k + 25 = 0.

Оно имеет корни k1 = 3 +4i, k2 = 3 −4i , поэтому a = 3, b = 4 ; искомое общее решение

y = e3x (C1 cos 4x +C2 sin 4x) . ▼

Пример 1.7. Найти общее решение уравнения y′′+ 25y = 0 .

▲ Решая характеристическое уравнение k 2 + 25 = 0 , находим k1 = 5i, k2 = −5i , поэтому a = 0

и b = 5 , откуда y = C1 cos 5x +C2 sin 5x . ▼

6.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка можно записать в

▲По условию, L[yн] ≡ f (x), L[yо] ≡ 0 .

Всилу линейности оператора L имеем

L[yо + yн] = L[y0 ] + L[yн] ≡ 0 + f (x) = f (x) .

Это означает, что функция yо(x) + yн(x) есть решение уравнения L[y] = f (x) . ▼

Теорема 6.2. Если y1 (x) есть решение уравнения L[y] = f1 (x) , а y2 (x) есть решение уравнения L[y] = f2 (x) , то функция y1 (x) + y2 (x) есть решение уравнения L[y] = f1 (x) + f2 (x) .

▲ По условию, L[y1 ] ≡ f1 (x), L[y2 ] ≡ f2 (x) , используя линейность оператора L , получаем

L[y1 + y2 ] = L[y1 ] + L[y2 ] ≡ f1 (x) + f2 (x) .

Последнее означает, что функция y1 (x) + y2 (x) есть решение уравнения L[y] = f1 (x) + f2 (x) . ▼

Теорема выражает так называемый принцип суперпозиции (наложения).

Теорема 7.3 (о структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального

37

где C1 , C2 , , Cn − произвольные постоянные, а y1 (x), y2 (x), , yn (x) − линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения L[y] = 0 , является общим решением неоднородного уравнения L[y] = f (x) .

Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций y(x) , определяемое формулой (2), удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащемся в

этом определении.

В самом деле, функция y(x) , определяемая формулой (2), является решением уравне-

ния (1) при любых значениях постоянных, поскольку сумма какого-либо решения неоднородного уравнения и любого решения соответствующего однородного уравнения есть решение неоднородного уравнения L[y] = f (x) .

Так для уравнения (1) при x [a; b] выполнены условия теоремы существования и

единственности решения задачи Коши, то остается показать, что подбором постоянных C1 , C2 , , Cn в (2) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям

где x0 (a; b) , т. е. можно решить любую задачу Коши. Ограничимся случаем, когда n = 2 . Потребовав, чтобы решение (2) удовлетворяло начальным условиям (3), приходим к

вестными. Она допускает единственное решение относительно C1, C2 при произвольных правых частях, так как определитель этой системы есть определитель Вронского W (x0 ) для

линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля в любой точке x (a; b) , в частности в точке x = x0 .

Значит, какова бы ни была пара чисел y0 , y0′, найдется решение C10 , C20 системы (4) такое, что функция y =C10 y1 (x) + C20 y2 (x) + ~y(x) будет решением дифференциального уравнения (1), удовлетворяющим начальным условиям y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′. ▼

Эта теорема сводит задачу нахождения общего решения дифференциального уравнения y′′ + p(x) y′ + q(x)y = f (x)

кдвум более простым задачам:

1.нахождение частного решения дифференциального уравнения

y′′ + p(x) y′ + q(x)y = f (x) ;

2. и нахождение общего решения однородного уравнения y′′+ p(x)y′+ q(x)y = 0 .

Замечание. Метода для нахождения фундаментальной системы решений уравнения L[y] = 0 не существует. Поэтому в общем случае невозможно найти частное решение

yн уравнения L[y] = f (x) и, следовательно, его общее решение. Других методов решения L[y] = f (x) уравнения также не существует. Только в частном случае, когда в уравнении L[y] = f (x) все коэффициенты pi (x) являются постоянными числами, су-

ществует метод нахождения фундаментальной системы решений и общего решения уравнения L[y] = f (x) .

38

6.3. Интегрирование неоднородного линейного дифференциал ьного уравнения 2-го порядка методом вариации

тогда y = C1 y1(x) +C2 y2 (x) (C1, C2 −постоянные) – общее решение уравнения (1.2).

Для интегрирования неоднородного уравнения (1.1) применим метод вариации постоянных (метод Лагранжа), который состоит в следующем. Будем искать решение неоднородного уравнения (1.1) в виде

где C1(x), C2 (x) − новые неизвестные функции от x . Для их нахождения необходимы два уравнения, содержащие эти функции. Естественно, что функции C1(x), C2 (x) должны удо-

влетворять тому уравнению, которое получится, если в исходное уравнение подставить

вместо y(x) выражение C1 (x)y1 (x) +C2 (x)y2 (x) .

Наложим на функции C1(x), C2 (x) еще одно дополнительное условие. Продифференцируем (1.3)

y′ = C1 (x)y1′ +C2 (x)y2′ +C1′(x)y1 +C2′(x)y2 ,

и в качестве дополнительного условия, налагаемого на C1(x), C2 (x) , возьмем следующее, (целесообразность этого будет видна из дальнейшего):

сле элементарной группировки слагаемых получаем

C1 (x)(y1′′+ p(x)y1′ + q(x)y1 )+C2 (x)(y2′′ + p(x)y2′ + q(x))+C1′(x)y1′ +C2′(x)y2′ = f (x) .

Выражения в скобках тождественно равны нулю, поскольку y1(x) и y2 (x) есть решения

Значит, функция y = C1 (x)y1 (x) +C2 (x)y2 (x) будет решением неоднородного дифференциального уравнения (1.1), если функции C1(x) и C2 (x) будут удовлетворять одновременно уравнениям (1.4) и (1.7), т. е. системе

Определитель этой системы есть определитель Вронского линейно независимых решений y1(x), y2 (x) уравнения (1.2) и, следовательно, отличен от нуля всюду в интервале (a; b) .

Решаем эту систему как линейную алгебраическую систему относительно C1(x), C2 (x) : C1′(x) =ϕ1(x), C2′(x) =ϕ2 (x) (здесь ϕ1(x), ϕ2 (x) − известные функции) и интегрируем:

C1(x) = ∫ϕ1(x)dx +C1, C2 (x) = ∫ϕ2 (x)dx +C2

39