Лаб 3 / LR3Zadanievarianti

Лабораторная работа N3

Оптимизация производственной программы предприятия при заданных ограничениях по ресурсам и спросу

Цель работы: получение навыков по моделированию и оптимизации функционирования производственных систем на примере расчета оптимальной производственной программы предприятия с учетом ограничений по ресурсам и спросу.

Все, что необходимо для производственного процесса (материалы и комплектующие, оборудование, рабочая сила и финансы и т.п.) можно объединить понятием “ресурсы”, среди которых можно выделить такие основные группы, как материальные, трудовые, ресурсы оборудования и финансовые.

Большинство процессов, возникающих в производстве, можно рассматривать как преобразование ресурсов в результат (получение продукта и его реализацию).

Поэтому значительная часть задач, возникающих при управлении производством, относится к классу задач распределения ресурсов.

В настоящей лабораторной работе рассматриваются два основных этапа задачи.

Первый этап: максимизировать полученный результат – P (прибыль) при заданных ресурсах (R).

Построение математической модели оптимизируемой системы:

1. Управляемые переменные: x_J - количество продукции j - го вида,

где j – номер (код) вида продукта, j=1,...,n,

n - количество видов продукции.

2. Целевая функция:

найти max P= _j (максимизация прибыли),

где c_J – прибыль, получаемая от реализации единицы j- го продукта.

3. Система ограничений на значения управляемых переменных:

Ресурсные ограничения:

. . . . . . . . . .

где а_ij – количество i – го ресурса, необходимого для производства единицы j- го вида продукции;

b_i – запас i – го ресурса;

m- количество видов ресурсов.

Граничные условия:

x_jmin ≤ x_j≤ x_jmax , j=1,...,n;

где x_jmin и x_jmax – соответственно нижняя и верхняя границы объема выпуска продукта j.

Эффективность производственной системы определяется как отношение результата функционирования системы (суммарной прибыли) к затратам (суммарной себестоимости).

Коэффициент эффективности производственной системы:

k = P/S.

Решение первого этапа задачи:

Все исходные данные приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные

Ресурсы	Вид продукции				Уровень располагаемого ресурса
	Затраты ресурса на единицу продукции
	П1	П2	П3	П4
Трудовые	1	2	3	4	40
Материальные	6	5	4	3	110
Финансовые	4	6	8	12	100
Границы объема выпуска продукции: нижняя верхняя	1 12	0 -	2 -	3 3
Объем выпуска продукции	x1	x2	x3	x4
Прибыль от реализации единицы продукции	60	70	120	130
Себестоимость единицы продукции	200	220	300	330

Первый этап задачи. Определить такие объемы выпуска продукции каждого вида, которые бы обеспечили максимум прибыли при заданных ограничениях (по уровням наличных ресурсов и границам выпуска продукции).

Для решения поставленной оптимизационной задачи использовать программу “Lindo”

Запись математической модели в соответствии с требованиями программы “Lindo”:

MAX 60X1 + 70X2 + 120X3 + 130X4

SUBJECT TO

R1) X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 <= 40

R2) 6X1 + 5X2 + 4X3 + 3X4 <= 110

R3) 4X1 + 6X2 + 8X3 + 12X4 <= 100

! Выражение для суммарной себестоимости

Sebst) 200X1 + 220X2 + 300X3 + 330X4 >= 0

X1 >= 1

X1 <= 12

X2 >= 0

X3 >= 2

X4 = 3

END

Символ «!» показывает, что данная строка является комментарием.

Рисунок 1. Вид диалогового окна программы Lindo с записью математической модели

Листинг программы Lindo c результатами расчетов:

Рисунок 2. Вид диалогового окна программы Lindo с результатами первого этапа задачи распределения ресурсов

Оптимальное решение задачи:

1. Максимальное значение прибыли (Р) равно 1350 ед.

2. X1 = 12 – объем выпуска продукта П1;

X2 = 0 - объем выпуска продукта П2;

X3 = 2 - объем выпуска продукта П3;

X4 = 3 - объем выпуска продукта П4.

3. Суммарная себестоимость продукции S равна 3990 ед.

4. Количество неиспользуемого ресурса вида 1 (SLACK OR SURPLUS) -10 ед. ресурса;

5. Количество неиспользуемого ресурса вида 2 (SLACK OR SURPLUS) -21 ед. ресурса;

6. Количество неиспользуемого ресурса вида 3 (SLACK OR SURPLUS) -0 ед. ресурса;

Коэффициент эффективности производственной системы:

k = P/S = 1350/3990 = 0,338.

Второй этап задачи. При заданном уровне прибыли, например, R=1350 минимизировать используемые ресурсы R.

C этой целью в модель вводятся дополнительные переменные: y₁, y_2, y_3..

Каждая из этих переменных является оценкой соответствующего неиспользуемого ресурса, т.е. разностью между располагаемым и использованным ресурсом.

Эта величина должна быть минимизирована.

Предварительно проведено нормирование переменных y₁, y_2, y_3.

Математическое выражение целевой функции имеет следующий вид:

Найти max (1/40* y₁+1/110*y₂+1/100*y₃ ).

Система ограничений приобретает следующий вид:

Кроме того добавляется ограничение по прибыли (P):

P= .

Граничные условия сохраняются.

Запись математической модели в соответствии с требованиями программы “Lindo”:

MAX 0.025Y1 + 0.009Y2 + 0.01Y3

SUBJECT TO

R1) X1 + 2X2 + 3X3 + 4X4 + Y1 = 40

R2) 6X1 + 5X2 + 4X3 + 3X4 + Y2 = 110

R3) 4X1 + 6X2 + 8X3 + 12X4 + Y3 = 100

! Дополнительное условие – ограничение по прибыли

Prib) 60X1 + 70X2 + 120X3 + 130X4 >= 1350

! Выражение для суммарной себестоимости

Sebst) 200X1 + 220X2 + 300X3 + 330X4 >= 0

X1 >= 1

X1 <= 12

X2 >= 0

X3 >= 2

X4 = 3

END

Результаты:

Рисунок 3. Вид диалогового окна программы Lindo с результатами второго этапа задачи распределения ресурсов

В оптимальном решении:

1. Значение целевой функции равно 0,697

2. Y1 = 4,5 – количество неиспользуемого ресурса вида 1;

Y2 = 65 - количество неиспользуемого ресурса вида 2;

Y3 = 0 - количество неиспользуемого ресурса вида 3;

3. X1 = 1 – объем выпуска продукта П1;

X2 = 0 - объем выпуска продукта П2;

X3 = 7,5 - объем выпуска продукта П3;

X4 = 3 - объем выпуска продукта П4.

4. Суммарная себестоимость S равна 3440 ед.

5. Прибыль (Р) равна 1350 ед.

Коэффициент эффективности производственной системы:

k = P/S = 1350/3440 = 0,392.

Таким образом, в результате проведения двухступенчатой оптимизации получен такой план выпуска продукции, который обеспечит получение максимально возможной при заданных ресурсах прибыли при максимально возможной экономии ресурсов.

Задание по вариантам (табл.2)

Номер варианта определяется последней цифрой студенческого билета

Рассчитать оптимальный план выпуска продукции при условии, что прибыль от производства и реализации единицы каждого вида продукции и границы объема выпуска каждого вида продукции принимают значения соответственно номеру варианта.

Таблица 2

Номер продукта	№ варианта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Прибыль от производства и реализации единицы продукта
П1	70	65	80	95	100	105	85	130	120	125
П2	65	70	90	60	120	100	105	120	115	110
П3	130	130	130	100	90	70	95	65	75	85
П4	120	140	150	115	75	90	100	70	80	90
Границы объема выпуска продукции
П1 (нижн. гр.)	1	4	-	6	-	10	-	18	0	-
П1 (верхн. гр.)	11	4	14	-	18	10	15	21	19	29
П2 (нижн. гр.)	0	2	6	4	0	3	0	3	0	-
П2 (верхн. гр.)	-	-	6	16	-	22	-	12	16	11
П3 (нижн. гр.)	3	-	3	0	7	2	4	7	0	8
П3 (верхн. гр.)	-	8	-	-	7	-	-	-	16	18
П4 (нижн. гр.)	3	0	2	7	6	-	0	2	4	7
П4 (верхн. гр.)	3	-	9	-	20	17	-	12	-	-

Уровень располагаемых ресурсов: R1=120; R2=310; R3=260.

Остальные параметры системы остаются без изменений.

6