МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ,

СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

Факультет «Информационных систем и технологий»

Кафедра «Интеллектуальных систем автоматизации и управления»

Направление подготовки:	09.03.02 - Информационные системы и технологии
Направленность (профиль):	Интеллектуальные информационные системы и технологии

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

по дисциплине:

Системный анализ и принятие решений

на тему:

Принятие решений в условиях риска и неопределенности

Вариант № 6

		Выполнил студент группы		ИСТ-112
		Медведева С.Г.
		Фамилия И. О.
		Руководитель	к.э.н.
оценка			уч. степень, уч. звание
		Фёдорова М.В.
дата, подпись		Фамилия И. О.

Цель выполнения работы

Цель выполнения лабораторной работы – освоение методов принятия решений в условиях риска и неопределенности.

Постановка задачи

Пусть задан набор решений руководства фирмы (стратегий) X₁, X₂, ..., X_m. Пусть также заданы обстоятельства, с учетом которых принимается решение и при которых оно в дальнейшем будет выполняться. Все их значения образуют перечень возможных состояний внешней среды («природы») S₁, S₂, …, S_n. Каждой паре стратегий (X_i, S_j) соответствует выигрыш (эффективность, прибыль) фирмы U_ij, если решение i придется выполнять при состоянии j внешней среды. Требуется выбрать оптимальную стратегию фирмы.

Описание метода решения задачи

Тип задач выбора в условиях неопределенности определяется характером неопределенности. Если распределение вероятностей различных состояний среды известно, то в этом случае имеет место ситуация принятия решений в условиях риска. Если же распределение вероятностей различных состояний среды неизвестно, то имеет место ситуация принятия решений в условиях полной неопределенности.

Для принятия решения разработан ряд специальных приемов (правил), называемых критериями принятия решения. Если есть возможность определить вероятности различных состояний среды, то для выбора стратегии фирмы используется критерий Байеса-Лапласа. Для принятия решения в ситуации полной неопределенности может быть рекомендован ряд критериев: максиминный критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя); критерий минимаксного риска (сожаления) Сэвиджа-Ниганса; критерий пессимизма-оптимизма Гурвица; критерий недостаточного основания Лапласа. При выборе критерия принятия решения особое значение приобретает отношение лица, принимающего решение (ЛПР) к риску: склонность к рискованным действиям (оптимизм) или его отклонение от риска (пессимизм).

Ситуация 1. Вероятности различных вариантов состояния среды известны (принятие решения в условиях риска). Если есть возможность определить вероятности различных состояний среды, то для выбора решения используется критерий Байеса-Лапласа. При этом предполагается, что возможным дискретным состояниям среды S₁, S₂,..., S_n можно приписать определенную вероятность, равную соответственно p(S₁), p(S₂),...,p(S_n).

Оптимальной выбирается та стратегия фирмы, пpи которой среднее ожидаемое значение выигрыша будет максимальным. Оно находится по правилам теории вероятностей как сумма произведений вероятностей вариантов состояний среды на соответствующие выигрыши. Тогда решающее правило выбора оптимальной стратегии записывается так:

, (1)

где i - индекс (номер) стратегии фирмы;

j - индекс (номер) состояния среды;

n - количество состояний среды;

U_ij - выигрыш, получаемый по i-му решению при j-м состоянии среды.

Если вероятности различных состояний среды неизвестны, то возникает проблема принятия решения в условиях полной неопределённости. Центральным моментом является введение критерия для оценки выбираемого варианта решения. В силу неопределённости состояний среды нужно дать оценку сразу целой строке матрицы выигрышей (платежной матрицы), имея такие оценки для всех строк и сравнивая их, ЛПР может делать выбор. Существует несколько критериев выбора оптимальной стратегии.

Ситуация 2. Выбор стратегии, которая дает максимальный выигрыш из минимальных пpи различных состояниях среды. Выбор решения производится по максиминному критерию Вальда (критерию осторожного наблюдателя). Этот критерий оптимизирует полезность (выигрыш) в предположении, что среда находится в самом невыгодном для фирмы состоянии. По данному критерию решающее правило для определения оптимальной стратегии имеет следующий вид:

(2)

По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантированный выигрыш пpи наихудшем состоянии среды. Максиминный критерий является крайне осторожным, очень пессимистическим; поэтому предлагаются другие критерии.

Ситуация 3. Требуется в любых условиях максимально избегать риска. Выбор стратегии осуществляется по критерию минимаксного риска Сэвиджа-Ниганса. Этот критерий минимизирует возможные потери (например, недополученную прибыль) пpи условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого. Выбору подлежит стратегия, которая минимизирует максимальный риск. В теории статистических решений применяется специальный показатель, называемый риском. Величину риска будем определять, как изменение выигрыша фирмы пpи данном состоянии среды относительно наилучшего возможного решения. Оптимальным будет такое решение, для которого риск, максимальный пpи различных вариантах среды, окажется минимальным. Для того, чтобы определить риски необходимо построить матрицу выигрышей U = (U_ij). Затем в каждом столбце этой матрицы находят максимальный элемент U_j = U_ij. Из него вычитают значения всех элементов этого столбца. Далее строится матрица рисков R = {R_ij}, где R_ij = U_j - U_ij - величина риска (потерь) от использования стратегии i пpи состоянии среды j. Искомая стратегия фирмы, которая минимизирует риск, определяется из условия:

R_ij. (3)

В случае, если риск (сожаление) определяется, как r_ij = U_ij - U_j, т.е. максимальный элемент j-го столбца вычитают из каждого элемента этого столбца, то искомую стратегию x_i, которая минимизирует сожаление, определяется из условия

. (3*)

Дальнейшее ослабление пессимистичности оценки решений дает критерий пессимизма-оптимизма Гурвица, который сводится к взвешенной комбинации наилучшего и наихудшего исходов.

Ситуация 4. Требуется найти компромисс между стратегиями поведения перестраховщика и абсолютного оптимиста. В этом случае оптимальным будет решение, для которого окажется максимальным показатель G_i (критерий пессимизма - оптимизма Гурвица):

G_i, (4)

где G_i = k * U_ij + (1- k) * U_ij;

k-заданный коэффициент, который выбирается между 0 и 1.

Критерий Гурвица основан на следующих предположениях: среда может находиться в самом невыгодном для фирмы состоянии с вероятностью k и в самом выгодном - с вероятностью (1-k). При k=1 приходим к стратегии перестраховщика, а при k=0 - к стратегии абсолютного оптимиста. Согласно принципу Гурвица неразумно, приняв во внимание самый маленький выигрыш, не учитывать самый большой, для чего необходимо ввести некоторый коэффициент k (он и выполняет роль вероятности).

Ситуация 5. Вероятности вариантов состояния среды неизвестны и нет основания выделить какой-либо вариант. В данном случае используется критерий недостаточного основания Лапласа. Все состояния среды считаются равновероятными, т.е. все вероятности p(S₁) =...= p(S_j) =...= p(S_n) = 1/n. В результате решающее правило выбора оптимальной стратегии определяется соотношением (1) при условии p(S_j) = 1/n.

Вариант 6

Описание деловой ситуации

Руководство фирмы предполагает выйти на рынок с двумя продуктами (А и Б). Предварительно проведенные маркетинговые исследования показали, что фирме целесообразно выйти на рынок с Продуктом А по цене, равной 120 руб. за единицу товара, а с Продуктом Б - по цене 360 руб. за единицу. Пусть постоянные затраты на производство Продукта А (амортизация оборудования; оплата управленческого персонала; реклама и т.п.) составляют 105 тыс. руб., а для второго вида продукции они равны 210 тыс. руб. Переменные затраты на производство единицы продукта А (расходные материалы и заработная плата рабочих) составляют примерно 75 руб., а для второго продукта - 195 руб.

Маркетинговые исследования показали, что по уровню платёжеспособного спроса рынок может находиться в трех различных состояниях. Значения спроса на продукцию и вероятности различных состояний рынка представлены в табл. 1.

Таблица 1

Состояния рынка

Продукция	Состояния рынка
	Уровень спроса (тыс. шт.)
	S1	S2	S3
Продукт А	6	10	15
Продукт Б	44	40	35
Вероятность состояния рынка	0,4	0,2	0,4

Руководство фирмы, исходя из оценок возможных состояний рынка и собственных возможностей, формулирует три альтернативных стратегии (решения) - X₁, X₂, X₃. Каждая стратегия i фирмы характеризуется определёнными значениями t_hi объемов производства продукта h (см. табл. 2). Требуется выбрать оптимальную стратегию фирмы.

Таблица 2

Стратегии фирмы

Продукция	Стратегии фирмы
	Объем производства (тыс. шт.)
	Х1	Х2	Х3
Продукт А	6	10	15
Продукт Б	44	40	35

Анализ результатов решения задачи

Для решения задачи строится таблица выигрышей (прибылей) фирмы.

Величина прибыли U_ijh, получаемой фирмой от реализации продукта h при стратегии X_i и состоянии рынка S_j, определяется по формуле:

U_ijh = g_h * min (t_hi,d_hj) - (FC_h + AVC_h * t_hi), (5)

где FC_h - постоянные издержки на производство продукта h;

AVC_h - средние переменные затраты на производство единицы продукта h;

g_h - цена единицы продукта h;

d_hj - объём платёжеспособного спроса на продукт h при состоянии рынка S_j;

t_hi – объем производства продукта h при стратегии фирмы X_i.

min (t_hi,d_hj) - определяется наименьшая из двух величин: объем производства продукта h при стратегии X_i и объем спроса на продукт h при состоянии рынка S_j. Если объём спроса d_hj меньше величины объема производства t_hi, то в этом случае продукция будет реализована лишь в объёме d_hj. При этом часть произведенной продукции, равная (t_hi - d_hj), не будет реализована.

Общая прибыль U_ij от реализации всех видов продукции при стратегии X_i и состоянии рынка S_j равна:

U_ij = U_ij1 + U_ij2 + ... + U_ijh + ... + U_ijr, (6)

где r - количество видов продукции, с которыми фирма выходит на рынок.

Для рассматриваемого примера r=2, следовательно, U_ij = U_ij1 + U_ij2.

Результаты расчетов значений прибыли от реализации продукции при различных сочетаниях вариантов стратегии фирмы и состояния рынка:

Результаты всех проведенных расчетов сведены в таблицу выигрышей:

Таблица 3

Результаты решения задачи выбора оптимальной стратегии фирмы при использовании различных критериев в зависимости от условий, в которых принимаются управленческие решения, представлены ниже:

Критерий Байеса-Лапласа. Вероятности различных состояний рынка известны. Выбирается стратегия фирмы, при которой среднее ожидаемое значение прибыли максимально (см. формулу (1)).

При заданном распределении вероятностей p(S_j) наибольшее ожидаемое значение прибыли даст вторая стратегия X₂, следовательно, стратегия X₂ является оптимальной.

Максиминный критерий Вальда. Вероятности различных вариантов спроса на продукцию не известны и требуется выбрать стратегию, которая даёт максимальный выигрыш (прибыль) при различных состояниях рынка. Решающее правило представлено выражением (2). В каждой строке табл. 3 необходимо выбрать элемент с минимальным значением прибыли U_ij. Получена последовательность значений {3 975 000; 4 935 000; 5 055 000}. Оптимальной будет стратегия X₃, при которой максимальное из минимальных значений прибыли равно 5 823 000 руб.

Критерий Сэвиджа-Ниганса. Вероятности состояния рынка неизвестны и требуется в любых условиях максимально избегать риска. Величина риска определяется как изменение прибыли фирмы при данном состоянии рынка относительно наилучшего возможного решения.

По таблице выигрышей для каждого состояния рынка определяется максимальное значение выигрыша (U_j):

Затем определяются потери фирмы (недополученная прибыль) по формуле R_ij = U_j - U_ij.

Результаты расчетов сведены в таблицу рисков (табл. 4).

Таблица 4

В каждой строке таблицы рисков было выбрано максимальное значение риска: {2 160 000; 1 200 000; 2 160 000}. Оптимальной будет та стратегия, для которой риск, максимальный при различных вариантах состояния рынка, окажется минимальным. Следовательно, X₁ или X₃ - оптимальные стратегии.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Вероятности состояний рынка не известны и требуется найти компромисс между стратегиями поведения перестраховщика и абсолютного оптимиста. В этой ситуации оптимальной будет та стратегия, для которой показатель G_i - критерий пессимизма-оптимизма Гурвица принимает наибольшее значение (см. выражение (4)).

Рассчитаны значения критерия G_i(k) и определены оптимальные стратегии фирмы при значениях коэффициента k. Результаты расчётов сведены в табл. 5.

Таблица 5

Критерий недостаточного основания Лапласа. Если считать, что любой из вариантов состояния рынка не более вероятен, чем другие, то вероятности различных вариантов состояния рынка можно принять равными. В соответствии с критерием Лапласа должна выбираться стратегия фирмы, при которой среднее ожидаемое значение прибыли максимально для равных вероятностей p(S₁) = p(S₂) = p(S₃) = 1/3 = 0,333.

Наибольшее ожидаемое значение прибыли даст вторая стратегия X₁, следовательно, именно она является оптимальной.