Лаб 1 / 1Teoriya

5.1. Модели принятия решений в условиях риска и неопределенности

Одной из наиболее сложных задач при управлении и проектировании является принятие решений в условиях неопределенности и связанного с этим неизбежного риска. Причинами неопределенности могут быть неполнота информации об условиях обстановки предстоящих действий (состояний "природы"), а также случайный характер этих условий.

Принятие обоснованных управленческих решений, сопряженных с риском, становится возможным благодаря применению математических методов и компьютера. Расчет стратегий (решений, действий), принимаемых в условиях риска и неопределенности, может проводиться с помощью таких методов исследования операций, как методы теории статистических решений и теории игр.

Рассмотрим некоторые приемы сравнения альтернатив при принятии решений в "пассивной" (нейтральной) внешней среде.

В общем виде задача в теории статистических решений формулируется следующим образом. Пусть задан набор решений руководства фирмы - (x₁, x₂, ..., x_m). Пусть также заданы обстоятельства, с учетом которых принимается решение. Они включают в себя возможные состояния внешней среды (например, состояния рынка сбыта с такими параметрами как размер неудовлетворенного спроса, уровень цен и их динамика). Все их значения образуют перечень возможных состояний (стратегий) внешней среды ("природы") - (s₁, s₂, …, s_n). Каждой паре стратегий (x_i, s_j ) соответствует выигрыш (эффективность, прибыль) фирмы u_ij, если решение i придется выполнять при состоянии j внешней среды. Требуется выбрать оптимальную стратегию фирмы.

Тип задач выбора в условиях неопределенности определяется характером неопределенности. Если распределение вероятностей различных состояний среды известно, то в этом случае имеет место ситуация принятия решений в условиях риска. Если же распределение вероятностей различных состояний среды неизвестно, то имеет место ситуация принятия решений в условиях полной неопределенности.

Для принятия решения разработан ряд специальных приемов (правил), называемых критериями принятия решения.

Если есть возможность определить вероятности различных состояний среды, то для выбора стратегии фирмы используется критерий Байеса - Лапласа. Для принятия решения в ситуации полной неопределенности может быть рекомендован ряд критериев: максиминный критерий Вальда (критерий осторожного наблюдателя); критерий минимаксного риска (сожаления) Сэвиджа - Ниганса; критерий пессимизма - оптимизма Гурвица; критерий недостаточного основания Лапласа. При выборе критерия принятия решения особое значение приобретает отношение предпринимателя к риску: склонность к рискованным действиям (оптимизм) или его отклонение от риска (пессимизм).

Рассмотрим ситуации принятия решения, отличающиеся нейтральностью внешней среды (рынка) относительно фирмы, т.е. отсутствием активного сознательного противодействия среды действиям фирмы.

Ситуация 1. Вероятности различных вариантов состояния среды известны (принятие решения в условиях риска).

Если есть возможность определить вероятности различных состояний среды, то используется для выбора решения критерий Байеса-Лапласа. При этом предполагается, что возможным дискретным состояниям среды s₁, s₂,...,s_n можно приписать определенную вероятность, равную соответственно p(s₁), p(s₂),...,p(s_n).

В этом случае должна выбираться та стpатегия фирмы, пpи котоpой сpеднее ожидаемое значение выигpыша будет максимальным. Оно находится по пpавилам теоpии веpоятностей как сумма пpоизведений веpоятностей ваpиантов состояний сpеды на соответствующие выигpыши. Тогда pешающее пpавило выбоpа оптимальной стpатегии записывается так:

[p(s₁)U_i1+...+p(s_j)U_ij+...+p(s_n)U_in], (5.1)

где i - индекс (номер) стратегии фирмы;

j - индекс (номер) состояния среды;

n - количество состояний среды;

U_ij - выигрыш, получаемый по i-му решению при j-м состоянии среды.

Если веpоятности pазличных состояний сpеды не известны, то возникает пpоблема пpинятия pешения в условиях полной неопpеделенности. Центpальным моментом является введение кpитеpия для оценки выбиpаемого ваpианта pешения. В силу неопpеделенности состояний сpеды нужно дать оценку сpазу целой стpоке матрицы выигрышей, имея такие оценки для всех стpок и сpавнивая их, ЛПР может делать выбоp. Существует несколько кpитеpиев выбоpа оптимальной стpатегии.

Ситуация 2. Выбоp стpатегии, котоpая дает максимальный выигpыш из минимальных пpи pазличных состояниях сpеды.

Выбоp pешения пpоизводится по максиминному кpитеpию Вальда (кpитеpию остоpожного наблюдателя). Этот кpитеpий оптимизиpует полезность (выигpыш) в пpедположении, что сpеда находится в самом невыгодном для фиpмы состоянии. По данному кpитеpию pешающее пpавило для опpеделения оптимальной стpатегии имеет следующий вид:

(5.2)

По кpитеpию Вальда выбиpают стpатегию, котоpая дает гаpантиpованный выигpыш пpи наихудшем состоянии сpеды. Максиминный кpитеpий является кpайне остоpожным, поэтому были пpедложены дpугие кpитеpии.

Ситуация 3. Тpебуется в любых условиях максимально избегать pиска.

Выбоp стpатегии осуществляется по кpитеpию минимаксного pиска (сожаления) Сэвиджа - Ниганса. Этот кpитеpий минимизиpует возможные потеpи (например, недополученную прибыль) пpи условии, что состояние сpеды наихудшим обpазом отличается от пpедполагаемого.

Выбоpу подлежит стpатегия, котоpая минимизиpует максимальный pиск. В теоpии статистических pешений пpименяется специальный показатель, называемый pиском. Величину риска будем определять как изменение выигpыша фирмы пpи данном состоянии сpеды относительно наилучшего возможного pешения. Оптимальным будет такое решение, для котоpого pиск, максимальный пpи pазличных ваpиантах сpеды, окажется минимальным. Для того, чтобы опpеделить pиски стpоят матpицу выигрышей U = (U_ij). Затем в каждом столбце этой матpицы находим максимальный элемент

U_j = U_ij.

Из него вычитают значения всех элементов этого столбца. Далее стpоится матpица pисков R = {R_ij}, где R_ij = U_j - U_ij - величина pиска (потеpь) от использования стpатегии i пpи состоянии сpеды j. Искомая стpатегия фирмы, котоpая минимизиpует pиск, опpеделяется из условия:

R_ij. (5.3)

Дальнейшее ослабление пессимистичности оценки pешений дает кpитеpий пессимизма-оптимизма Гуpвица, котоpый сводится к взвешенной комбинации наилучшего и наихудшего исходов.

Ситуация 4. Тpебуется найти компpомисс между стpатегиями поведения пеpестpаховщика и абсолютного оптимиста.

В этом случае оптимальным будет решение, для которого окажется максимальным показатель G_i (критерий пессимизма - оптимизма Гурвица):

G_i, (5.4)

где G_i = k U_ij + (1- k) U_ij;

k-заданный коэффициент, который выбирается между 0 и 1.

Критерий Гурвица основан на следующих предположениях: среда может находиться в самом невыгодном для фирмы состоянии с вероятностью k и в самом выгодном - с вероятностью (1 - k). При к = 1 приходим к стратегии перестраховщика, а при к = 0 - к стратегии абсолютного оптимиста. Согласно принципу Гурвица неразумно, приняв во внимание наименьший выигрыш, не учитывать самый большой, для чего необходимо ввести некоторый коэффициент к (он и выполняет роль вероятности).

Ситуация 5. Вероятности вариантов состояния среды не известны и нет основания выделить какой-либо вариант.

В данном случае используется критерий недостаточного основания Лапласа. Все состояния среды считаются равновероятными, т.е. все вероятности p(s₁) =...= p(s_j) =...= p(s_n) = 1/n. В результате решающее правило выбора оптимальной стратегии определяется соотношением (5.1) при условии p(s_j) = 1/n.

При рассмотрении методов принятия решений в условиях неполной информации не была решена проблема выбора наилучшего критерия принятия решения. Следует отметить, что при выборе критерия принятия решения не существует каких-либо общих рекомендаций. Выбор критерия должно производить само лицо, принимающее решение, и в максимальной степени согласовывать свой выбор с конкретной деловой ситуацией, а также со своими целями и задачами.

Рассмотренные методы анализа стратегий и риска могут применяться для решения многих практических задач. К ним относятся такие задачи, как оценка целесообразности введения в производство нового продукта, оценка расходов на исследовательские работы, формирование портфеля заказов и т.п.

Пример. Руководство предприятия, исходя из оценок возможных состояний рынка и собственных возможностей, формулирует три альтернативных стратегии (решения) - x₁, x₂, x₃. Маркетинговые исследования показали, что по уровню спроса на выпускаемую предприятием продукцию рынок может находиться в трех различных состояниях S₁, S₂ ,S₃ . Значения выигрышей (прибыли) для различных стратегий предприятия при различных состояниях рынка приведены в табл.1

Таблица 5.2

Таблица выигрышей

Стратегии фирмы	Прибыль Uij (млн. руб.)
	Состояния рынка
	s1	s2	s3
x1	1,525	1,275	0,775
x2	0,9	1,9	1,4
x3	- 0,35	- 0,65	2,65
Вероятность состояния рынка	0,3	0,5	0,2

Рассмотрим различные ситуации и наиболее подходящие для них методы выбора оптимальной стратегии предприятия.

Ситуация 1. Вероятности различных состояний рынка известны. В соответствии с критерием Байеса - Лапласа должна выбираться стратегия предприятия, при которой среднее ожидаемое значение прибыли максимально (см. формулу (1)). При заданном распределении вероятностей p(s_j) наибольшее ожидаемое значение прибыли даст вторая стратегия x₂:

0,9*0,3 + 1,9*0,5 + 1,4*0,2 = 1,5 млн. руб.

Для стратегии x₁ средняя ожидаемая прибыль равна 1,25 млн. руб., а для стратегии x₃ – 0,1 млн. руб. Следовательно, стратегия x₂ является оптимальной.

Ситуация 2. Вероятности различных вариантов спроса на издания не известны и требуется выбрать стратегию, которая даёт максимальный выигрыш (прибыль) при различных состояниях рынка. Выбор стратегии предприятия будем проводить по максиминному критерию Вальда. Решающее правило представлено выражением (2). Выбирая в каждой строке табл. 3 элемент с минимальным значением прибыли U_ij, получаем последовательность значений {0,775; 0,9; - 0,65}. Оптимальной будет стратегия x₂, при которой максимальное из минимальных значений прибыли равно 0,9 млн. руб.

Ситуация 3. Вероятности состояния рынка не известны и требуется в любых условиях максимально избегать риска. Выбор стратегии предприятия будем проводить по критерию Сэвиджа - Ниганса. Величину риска будем определять как изменение прибыли фирмы при данном состоянии рынка относительно наилучшего возможного решения. Например, если бы предприятие точно знало, что рынок будет находиться в состоянии s₂, то оно выбрало бы стратегию x₂, получая при этом наибольшую прибыль в 1,9 млн. руб. Но, так как фирма точно не знает, какое будет состояние рынка, то она может выбрать и стратегию x₃ и получить при этом всего лишь 0,65 млн. руб. Потери фирмы (недополученная прибыль) будут равны 1,9 – 0,65 = 1,25 млн. руб. Эта величина потерь называется риском. Аналогичным образом рассчитаем величины рисков для различных стратегий предприятия и состояний рынка; результаты расчетов сведем в таблицу рисков (табл. 4).

Таблица 5.3

Таблица рисков

Стратегии фирмы	Риск Rij (млн. руб.)
	Состояния рынка
	s1	s2	s3
x1	0	0,625	1,875
x2	0,625	0	1,25
x3	1,875	2,55	0

Выбирая в каждой строке рисков максимальный риск, получаем последовательность максимальных рисков {1,875; 1,25; 2,55}. Оптимальной будет та стратегия, для которой риск, максимальный при различных вариантах состояния рынка, окажется минимальным. Следовательно, x₂ - оптимальная стратегия.

Ситуация 4. Вероятности состояний рынка не известны и требуется найти компромисс между стратегиями поведения перестраховщика и абсолютного оптимиста. В этой ситуации оптимальной будет та стратегия, для которой показатель G_i - критерий пессимизма-оптимизма Гурвица принимает наибольшее значение (см. выражение (4)).

Покажем, как работает критерий Гурвица для фиксированного значения коэффициента “к”, равного 0,5. Рассчитаем значение показателя G_i(k) для первой стратегии фирмы X₁:

G₁(0,5) = 0,5 * 0,775 + 0,5 * 1,525 = 1,15 млн. руб.

При k = 0,5 для стратегий x₂ и x₃ показатель G_i(k) принимает значения: G₂(0,5) = 1,4 и G₃(0,5) = 1. Оптимальной будет стратегия x₂, так как при ней показатель G_i(0,5) достигает наибольшего значения. Аналогично рассчитаем значения критерия G_i(k) и определим оптимальные стратегии фирмы при других значениях коэффициента “к”. Результаты расчётов сведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Значения критерия Гурвица и оптимальные стратегии

Стратегии фирмы	Значения коэффициента “к”
	0	0,25	0,5	0,75	1
x1	1,525	1,3375	1,15	0,963	0,775
x2	1,9	1,65	1,4	1,15	0,9
x3	2,65	1,82	1	0,175	- 0,65
Оптимальная стратегия	x3	x3	x2	x2	x2

Ситуация 5. Если считать, что любой из вариантов состояния рынка не более вероятен, чем другие, то вероятности различных вариантов состояния рынка можно принять равными. Тогда для выбора наилучшей стратегии предприятия может быть использован критерий недостаточного основания Лапласа. В соответствии с критерием Лапласа должна выбираться стратегия предприятия, при которой среднее ожидаемое значение прибыли максимально для равных вероятностей p(s₁)= p(s₂) = p(s₃) = 0,333. Основываясь на таблице выигрышей (см. табл. 3), получаем, что наибольшее ожидаемое значение прибыли даст вторая стратегия x₂:

0,9*0,333 + 1,9*0,333 + 1,4*0,333 = 1,3986 млн. руб.

Для стратегии x₁ средняя ожидаемая прибыль равна 1,1905 млн. руб., а для стратегии x₃ – 0,55 млн. руб. Следовательно, стратегия x₂ является оптимальной.

На основании полученных решений ЛПР осуществляет окончательный выбор стратегии, исходя из конкретной деловой ситуации и своих целей, а также склонности к риску при управлении предприятием.