Примеры z-изображений решетчатых функций.

Таблица 11.1 – Примеры z-изображений решетчатых функций.

Обратное z-преобразование

(Полюс функции – это точка, где предел функции равен бесконечности).

12. Решение разностного уравнения методом z- преобразования. Переход от z–изображения к оригиналу (решетчатой функции).

Метод z-преобразования можно применить к решению разностного уравнения цепи. В этом случае получение разностного уравнения является промежуточным этапом решения задачи. Ниже рассмотрен уже знакомый пример для RL цепи. Если непонятно, откуда взялись все эти формулы, то их вывод расписан в предыдущих вопросах.

13. Расчёт переходного процесса методом z- преобразования с использованием передаточной функции импульсной системы (в случае прямоугольных импульсов и δ-импульсов).

Рассмотрим расчёт тока в r-L цепи при воздействии на её вход последовательности δ-импульсов напряжения площадью К[n].

1 способ: применим z – преобразование для решения разностного уравнения цепи

z - изображение разностного уравнения:

Считаем, что все импульсы имеют одинаковую площадь К. Тогда z-изображение последовательности площадей δ – импульсов K[n]:

Переход к оригиналу:

2-й способ: с помощью передаточной функции при воздействии δ – импульсов H_δ(z). Если X_вх(z) =1, т.е. является z-изображением одиночного δ -импульса единичной площади, то X_вых(z) = Н_δ(z) – z-изображение реакции цепи на воздействие одиночного δ -импульса единичной площади h_δ[n], где h_δ[n]=h_δ(nT).

Находим сумму ряда:

Z-изображение тока:

z-изображение тока аналогично изображению, полученному при решении разностного уравнения.

14. Резонансные частоты цепи, состоящей из двух индуктивно связанных контуров.

Реактивные сопротивления и проводимости отдельных участков цепи могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, следовательно, могут взаимно компенсироваться. Поэтому возможны случаи, когда, несмотря наличие в цепи индуктивных катушек и конденсаторов, входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость всей цепи оказываются равными нулю. При этом ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе, и эквивалентное сопротивление всей цепи будет активным. Такое явление называют резонансным.

Выясним характерные черты этого явления и его связь с так называемыми частотными характеристиками на некоторых частных случаях, понимая под частотными характеристиками зависимости от частоты параметров цепи (r, x, z, g, b, y), а также величин, определяемых параметрами.

Резонанс и частотные характеристики

Рис. 14.1.

Определим резонансные частоты и частотные характеристики в цепи, изображённой на рис. 14.1.

Д ля упрощения расчёта пренебрежём активным сопротивлением вторичного контура. Собственные частоты контуров, при которых в них наступает резонанс, в случае отсутствия взаимной индукции равны:

И меем уравнения рассматриваемой цепи:

Условие резонанса напряжений – равенство нулю эквивалентного реактивного сопротивления, т.е. x_1э=0, откуда .

Разделив на обе части этого выражения, получим

Формула коэффициента связи:



При частотах и сопротивление цепи оказывается минимальным и равным r₁, а ток I₁ достигает максимальных значении: I₁ = U₁/r₁.

При имеем x_1э = ∞ и ток I₁ = 0. Это можно пояснить следующим образом: при частоте имеет место резонанс во вторичном контуре х₂ = L₂-1/( С₂) = 0 , и при условии r₂ = 0 получается z₂ = 0. Как видно из уравнения для второго контура, при конечном значении тока ЭДС взаимной индукции должна быть равна нулю, т. е. I₁ = 0. Ток устанавливается таким, чтобы ЭДС взаимной индукции со стороны второго контура уравновесила приложенное к первому контуру напряжение, что видно из первого уравнения при I₁ = 0. Этот случай по своему характеру аналогичен резонансу токов в контуре без потерь.

Н а рис. 6.24 представлена частотная характеристика I₁(ω) при U₁ = const, а также частотная характеристика х_1э(ω). Полюсами функции х_1э(ω) являются частоты ω=0, ω=ω₀ и ω=∞. Ее нулями являются частоты ω= и ω= . Во всем диапазоне частот соблюдается условие dx_1э/dω > 0 и полюсы, и нули чередуются. Штриховыми линиями показаны частотные характеристики при r₂ ≠ 0. Таким образом, резонансная кривая I₁ = F₁(ω) цепи, состоящей из двух связанных контуров с малым затуханием, имеет два максимума и один минимум.